导数与原函数在经济学中的应用 毕业论文.doc

导数与原函数在经济学中的应用目录摘 要21、前 言32、导数和原函数的定义 43、经济学中各种边际量和弹性的定义和数学推导54、由边际函数求原函数125、导数与原函数在经济学中的应用举例 14总结与体会 20致 谢 词 20参 考 文 献 20导数与原函数在经济学中的应用摘要：在经济学疑难问题的处理中，我们通常会涉及到运用导数和原函数的情况，比如经济学中的边际分析和需求价格弹性等概念就是运用导数的性质而得出的。它的应用大大地推动了经济学的发展，所以综合运用数学理论知识分析和解决经济学中的疑难问题的是未来经济学的发展方向。本篇文章主要根据上述的思想，利用导数和原函数的性质解决经济学中的问题，并掌握这种重要的数学思想，对以后学习和探究经济学中更深层的问题有很大的帮助。关键词：函数；原函数； 边际分析；需求价格弹性。Abstract:In processing the problems of the economics , we usually involve the use of functions and their primitive functions , such as, the concepts of marginal economics analysis and price elasticity of demand. And their applications have greatly promoted the development of economics, therefore, comprehensive knowledge of the use of mathematical theory to analyze and solve problems in economics is the future direction of development economics. According to the above-mentioned ideas, this article will solve some problems of economicsby the use of the properties of functions and the primitive functions. And master the important mathematical ideas, to learn and explore the future of economics in the more profound issues of great help .Keywords : function; primitive function; marginal analysis; price elasticity of demand.1、前言19世纪70年代边际效用学派的出现被认为是经济学中爆发了一场全面革命的标志。这场革命被称为边际革命。这场革命使经济学从古典经济学强调的生产、供给和成本，转向现代经济学关注的消费、需求和效用。 边际革命从19世纪70年代初开始持续到二十世纪初，相继二、三十年，边际效用学派的代表人物应该是英国经济学家杰文斯，洛桑学派的法国经济学家瓦尔拉和奥地利学派的门格尔。边际革命包含着两项重要内容，即边际效用价值论和边际分析方法的广泛运用。 经济学的研究进入消费领域是资本主义经济发展的需要。资本主义经过了三、四百年的发展，竞争加剧，生产矛盾比较突出，而市场问题集中呈现在供求关系上，供求反映了人们的消费和欲望，所以经济学的研究不能不从人们的消费和欲望出发。门格尔曾经指出：“一切经济理论研究的出发点都是人类的欲望本性。没有欲望，就没有经济活动，就没有社会经济和以它为基础的科学。对欲望的研究是经济学的关键”。所以借助于边际分析的方法来测量消费者欲望的满足程度，衡量物的效用从而决定价值，推动着经济学的研究。 边际分析的方法实际上是一种数学分析方法，也就是运用数学中的微积分去观察经济问题。但是这一方法开始还不为更多的人所接受，甚至门格尔对在经济理论中使用数学的方法都表示怀疑。门格尔认为经济学理论是一种理性的、逻辑的科学，不可能用数学方法去“精确”测定，只能用演绎法或归纳法。随着时间的推移和经济研究的实践，特别是经济资源“稀缺性”的提出，使越来越多的人接受这一方法，运用边际分析的方法去观察经济问题。“稀缺论”认为，财富的增长，人类福利的增进不是经济增长的自由展现，而是经济资源的最优配置；不是一切增量投入都是可取的。在这种理论的影响下，在以后的经济研究中，经济学家提出了边际生产力、边际成本、边际收益、边际替代率、边际消费倾向等范畴，极大地丰富了经济学研究的内容。所以，边际分析的广泛使用是经济学研究的重大变革。2、导数和原函数的定义2.1 导数：设函数在有定义，在自变量的改变量，相应函数的改变量是。若极限存在，称函数在可导（或存在导数），此极限称为函数在的导数（或微商），表为或，即 或 若极限不存在，称函数在不可导。若极限 与 都存在，则分别称为函数在右可导和左可导，其极限分别称为函数在的右导数和左导数，分别表为，即= 与= =定理1 若函数可导，则函数连续。2.2 原函数：设函数 则称函数的原函数，或简称定理2 若的一个原函数，则函数的无限多个原函数仅限于的形式。2.3不定积分：函数的所有的原函数称为函数的不定积分，表为 其中称为被积函数，称为被积表达式，C称为积分常数。3、经济学中各种边际量和弹性的定义和数学推导3.1 边际量正是数学中的导数在经济学中大量的运用，进而产生了边际效用、边际消费倾向、边际成本、需求价格弹性、供给价格弹性等。大大地推动了经济学的发展。边际的概念植根于高等数学的一阶导数和偏导数的概念。在经济学中根据不同的经济函数，我们可求不同的边际。如边际成本、边际收入、边际效用、边际消费、边际储蓄等。边际分析实质上是研究函数在边际点上的极值，要研究因变量在某一点递增、递减变动的规律，这种边际点的函数值就是极大值或极小值，边际点的自变量是作出判断并加以取舍的最佳点，据此可以作出最优决策，因此是研究最优化规律的方法。3.1.1 边际的定义 设函数为可导函数,则称导数为的边际函数。在点处的值为边际函数值。即:当时,改变一个单位,改变了个单位。3.1.2边际的含义 经济学中的边际指的是因变量随着自变量的变化而变化的程度，即自变量变化一个单位，因变量会因此而改变的量。其数学含义是指：如果函数在点处可导,则在内的平均变化率为;在处的瞬时变化率为.在经济学中称它为在处的边际函数值。 设在点处,从处改变一个单位时(研究经济问题时,其自变量的变化一般是一个整数单位),函数的增量的准确值为:.由微分在近似计算中的应用知道,的近似值为:(若, 标志着由处减少一个单位). 这说明在处,当改变一个单位时,近似改变了个单位.在具体经济问题中解释边际函数值的具体意义时,一般都省略“近似”二字.于是,有如下定义: 下面我们讨论经济学中常用的几个边际函数。(1) 边际成本 总成本的导数称为边际成本.边际成本的经济意义 对于产量只取整数单位的产品而言,一个单位的变化则是最小的变化.边际成本应表示:当已生产了个单位产品时,再增加生产一个单位产品使总成本增加的数量。说明 (1) 因为总成本等于固定成本与可变成本之和.则边际成本为:.显然,边际成本与固定成本无关,只与可变成本有关,它反映了企业在短期生产中能直接控制的那部分成本。(2) 平均边际成本 是平均成本的导数。即:(2) 边际收益 总收益函数的导数称为边际收益。 边际收益的经济意义: 边际收益表示销售个单位产品后,再销售一个单位的产品所增加的总收益。 说明(1) 若已知商品的价格函数,此时总收益函数为,则边际收益为:.若价格函数=常数,则,此时边际收益=常数(即等于只销售一个单位产品的收益商品的价格)。 (2) 平均边际收益为: 即平均边际收益就是商品的边际价格.(3) 边际利润 总利润函数的导数称为边际利润。边际利润的经济意义: 边际利润表示当已生产了个单位产品时,再增加生产一个单位产品所增加的利润数量。 说明 (1) 一般情况下,总利润函数等于总收益函数与总成本函数之差,即,则边际利润:.也就是说边际利润等于边际收益与边际成本之差。且有: (2) 当时的经济意义是:如果产量已达到,再多生产一个单位产品,所增加的收益大于所增加的成本,因而总利润有所增加。而当时的经济意义是:此时,再增加产量,所增加的收益小于所增加的生产成本,从而总利润将减少。(4) 边际需求 若是需求函数,则需求量对价格的导数称为边际需求函数。 的反函数是价格函数.价格对需求量的导数称为边际价格函数,它与边际需求函数互为倒数。 边际需求函数的经济意义:当产品的价格在的基础上,上涨(或下降)一个单位时,需求量将增加(或减少)个单位。3.2弹性 弹性概念在经济学中得到广泛的应用。一般说来，只要两个经济变量之间存在着函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度。具体地说，它是这样一个数字，它告诉我们，当一个经济变量发生1%的变动时，由它引起的另一个经济变量变动的百分比。在经济学中，弹性的一般公式为：弹性系数= 设两个经济变量之间的函数关系为则弹性的一般公式还可以表示为： （）式中，为弹性系数；、分别为X、Y的变动量。该式表示：当自变量变化百分之一时，因变量Y变化百分之几。若经济变量的变化量趋于无穷小，即：当（）式中的时，则弹性公式为： ()通常将（）式称为弧弹性公式，将（）式称为点弹性。3.2.1 弹性函数 对于一般的,如果是可导函数,且,则有是的函数,称为的弹性函数(简称为弹性)。 说明 (1)弹性的意义:函数在点处的弹性反映了变化幅度对的变化幅度的大小的影响,也就是对变化反映的强烈程度(或灵敏度)。具体地, 表示在处,当改变1%时,近似地改变了%。在应用问题中解释弹性的具体意义时,我们还是略去“近似”二字。 (2) 由弹性的定义=这样，弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。 (3) 我们在讨论经济问题时,通常是比较其弹性的绝对值的大小,并且常常根据其绝对值的大小对弹性进行如下分类: 当时,称这个弹性为单位弹性； 当时,称这个弹性为相当有弹性； 当时,称这个弹性为相当无弹性。下面我们讨论经济学中常用的几个弹性函数：（1） 需求的价格弹性设某商品需求函数在处可导，则该商品在处的需求弹性为 例1 设某种商品的需求函数为,为价格,试求:(1)需求的价格弹性；(2) 讨论当价格为多少时,弹性分别为单位弹性、相当有弹性、相当无弹性。 解 (1) 根据弹性的计算公式,有 (2) 令,解出,即当价格时为单位弹性。说明此时需求量增加(或减少)的百分数与价格下降(或上涨)的百分数相等,即价格的相对少许变化不会引起相对需求量的较大变化。 令,解出,即当价格在25到50之间变化时为相当有弹性的。说明在这个范围内,若采取提价措施,相对需求量将大幅减少,从而减少收益；若采取适当的降价措施，就会达到薄利多销，从而会增加总收益。 令,解出,即当价格在25以下时为相当无弹性的。此时,需求量减少的百分数小于价格上涨的百分数,因而,若采取适当的提价措施,虽然相对需求量会有所减少,但总收益反而会增加。（2） 供给的价格弹性设某商品供给函数在处可导，则该商品在处地供给弹性，为（3） 收益的价格弹性3.2.2需求弹性与总收益的关系 在市场经济中,企业最关心的是商品涨价或降价对总收益的影响程度.现在我们利用需求的价格弹性对其进行具体的分析。 设需求函数为,则总收益函数(市场销售总额)为,故边际总收益:这样,由微分的应用知,当商品价格有微小变化(比较小)时,商品销售收益(市场销售总额)的改变量为: 在现实生活中,绝大多数商品的需求函数是单调减函数(价格上升时需求量减少,价格下降时需求量增加),因而有,从而需求的价格弹性,所以,上式又可写作: 这样,根根需求的价格弹性的大小,我们可作如下需求弹性对总收益的影响分析:(1) 当商品的需求的价格弹性时,商品涨价,将使商品销售的总收益减少; 商品降价,将使商品销售的总收益增加。(2) 当商品的需求的价格弹性时,商品涨价,将使商品销售的总收益增加;商品降价,将使商品销售的总收益减少。(3) 当商品的需求的价格弹性时,商品价格的变动对商品销售总收益基本没有影响。 例2 已知某集团公司生产经营的某品牌电器的需求弹性在之间,如果该公司计划在下一年度内将价格降低10%,问这种电器的销售量的增长率将会增加多少? 总收益将会增长多少? 解: 由需求弹性知: ,从而有.再由和得因而,当时, 当时, 即当下一个年度内将价格降低10%以后,该公司这种电器的销量将会增长,总收益将会增加。3.2.3点弹性 定义 设函数在点处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比称为函数从到两点间的平均相对变化率,或称为两点间的弹性。当时, 的极限称为函数在处的相对变化率,或称为函数在处的点弹性。记作, 或 即4、由边际函数求原函数对于一个经济函数,它的边际函数就是它的导数,因此若已知某经济函数的边际,则可利用积分法求得原经济函数。4.1 用不定积分求原经济函数若已知某经济函数的边际,则由不定积分定义有.注意到不定积分的结果有一积分常数,因此要求得经济函数,还须由初始条件来确定积分常数。比如已知边际成本函数,则成本函数,其中的积分常数可以由固定成本来确定；又若已知边际收入函数,则收入函数,其中的积分常数则由来确定。4.2 用定积分求原经济函数若已知经济函数的边际和初始条件,那么也可以用定积分求原经济函数。这是因为由牛顿莱布尼兹公式有，所以就有.比如成本函数 ；收入函数 4.3 用定积分求原经济函数的改变量若已知经济函数的边际,则可以利用定积分求得原经济函数从到的改变量,即;从而函数从到的平均改变量为.5、导数与原函数在经济学中的应用举例5.1 消费者行为 我们对于消费者行为的一个基本假设是消费者总是在其负担得起的商品组合中选择最偏好的商品组合，也即是效用最大的商品组合。这里假设消费集，表示消费者的收入，是商品价格向量，消费者的行为不能影响。集合被称为消费者的预算集。从而消费者的问题变成如下的约束最优化问题： 其中，为消费者的效用函数。定理3：如果，那么是连续的，那么效用最大化问题有解。证明：如果，那么集合是有界闭集，从而是紧集，而是连续的，连续函数在紧集中总存在最大值。如果偏好是局部不满足的，那么最优选择一定满足。不然，若，由局部不满足性，总可以在的小邻域内找到，但>，这和是最优解矛盾。因此在局部不满足假设下，效用最大化问题变成： 记为在给定价格和收入条件下的最优需求，如果偏好是严格凸的，那么是唯一的，如果偏好不是严格凸的，那么可能是多值的，也即最优解不只一个，此时是一个对应。被称为普通需求或瓦尔拉斯需求函数或对应。如果效用函数是可微的，那么效用最大化问题可以利用拉格朗日乘数法求解，效用最大化问题的拉格朗日函数为：这里是拉格朗日乘子。 一阶条件为： ， 为了解释这个条件，我们将第个条件除以第个条件得到下式： ， 上式左边被称为商品和商品之间的边际替代率，它反映了当保持效用不变时增加一个单位的第种商品需要减少多少单位的第种商品的消费。这是由于当时，是某个常数，对两边求微分，我们有 整理得 ： 而右边被称为经济替代率，它是商品和商品的价格之比。效用最大化选择必须使得两种替代率相等。 这样我们就利用了导数轻易的得出了消费者的最优选择。5.2 AC曲线、AVC曲线和MC曲线之间的关系 AC曲线即平均成本曲线；AVC曲线即平均可变成本曲线；MC曲线即边际成本曲线；TC曲线即总成本曲线；TVC即总可变成本曲线。由短期成本曲线我们知道AC曲线、AVC曲线和MC曲线之间的关系：U形的MC曲线分别与U形的AC曲线相交于AC曲线的最低点，与U形的AVC曲线相交于AVC曲线的最低点。在AC曲线的下降段，MC曲线低于AC曲线；在AC曲线的上升段，MC曲线高于AC曲线。相类似地，在AVC曲线的下降段，MC曲线低于AVC曲线；在AVC曲线的上升段，MC曲线高于AVC曲线。下面我们用数学证明上面的关系：由于Q>0,所以，当MC<AC时，AC曲线的斜率为负，AC曲线是下降的；当MC>AC时，AC曲线的斜率为正，AC曲线是上升的；当MC=AC时，AC曲线的斜率为零，AC曲线达极值点（此为极小值点）。类似地，由于Q>0,所以，当MC<AVC时，AVC曲线的斜率为负，AVC曲线是下降的；当MC>AVC时，AVC曲线的斜率为正，AVC曲线是上升的；当MC=AVC时，AVC曲线的斜率为零，AVC曲线达极值点（此为极小值点）。5.3 利润最大问题利润函数是收益函数与成本函数之差,即利润函数为.若厂商以利润最大为目标来控制产量,这就是利润最大问题。设总利润在产量时达到最大,则由极值存在的必要条件,在处就有,.这即是 , () . () ()式表明,利润最大时,必有边际收益等于边际成本,在经济学中,这称为最大利润原则.()式表明,利润最大时,还须边际收益的变化率小于边际成本的变化率。5.4质量选择 垄断者不仅选择产量水平，也选择他们生产产品的其他方面，如考虑到产品质量。让我们假定产品数量以数级来表示，假定效用和成本依赖于质量，假定取社会目标函数为：（通常我们假定效用函数为拟线性的。）我们假定质量是一种商品，故有。其生产耗费大，故有。垄断者最大利润：该问题的一阶条件为：让我们在点计算福利函数微分，我们有：用一阶条件对上式进行替代，我们发现： 式 告诉我们，将质量固定，垄断者相对于社会最优水平将生产很少。式不会那么容易理解。由于为生产更多质量的边际成本，它必须为正。因而，福利关于质量的导数是两个正数之间的差异，从表面上看，它并不清楚。 如果我们将社会目标函数写成消费者剩余加利润，而不是效用减成本，似乎更加容易看到答案。消费者剩余+利润现在，对此定义求关于和的微分，并在垄断者最大化利润的产量水平处对此进行评价。由于垄断者最大化利润，垄断利润关于产量和质量的导数必须等于零，表明了福利关于数量和质量的导数精确地消费者剩余关于数量和质量的导数。消费者剩余关于数量的导数总是为正，这是垄断者生产很少产量的另一种说法。消费者剩余关于质量的导数是模糊的可能为正，也可能为负。其符号依赖与的符号。另一种解释式的方法是基于保留价格模型的考虑。将认作计量消费者消费x的保留价格，故即为保留价格的总和。在此解释中，为平均支付意愿，为边际支付意愿，我们可以重写式为：现在我们可以看到，福利关于数量变化的导数与平均支付意愿关于质量变化的导数减去边际支付意愿关于质量变化的导数称正比。社会福利依赖于消费者效用或支付意愿的总和。但是，垄断者只关心个人的边际支付意愿。如果这两个值不同，从社会角度看，垄断者的质量选择将不是最优的。5.5 广告策略问题某出口公司每月销售额是100万美元,平均利润是销售额的10%,根据公司以往的经验,广告宣传期间月销售额的变化率近似服从如下增长曲线(以月为单位）。公司现在需要决定是否举行一次类似的总成本为13万美元的广告活动,按惯例,对于超10万美元的广告活动,如果新增销售额产生的实际利润超过广告投资的10%,则决定做广告。试问,该公司按惯例是否应该在当年做此广告？解 由题设知,所以在当年做广告期间,12个月的总销售额为 (万美元).由于公司利润是销售额的10%,若设新增销售额产生的毛利润为,则(万美元)故公司做广告产生的实际利润为 (万美元)这表明做广告产生的利润大于广告成本的10%,即大于1.3(万美元),因此公司应该做此广告。5.6 终身供应问题 某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了,但该公司承诺将为客户终身供应一种适于该机型的特殊润滑油。一年后该批运输机的用油率(单位：升/年)由下式给出：,其中表示运输机服役的年数。若该公司要一次性生产该批运输机一年以后所需的全部润滑油并在需要时分发出去，问需要生产此润滑油多少升？解 由于是一年后该批飞机的用油率,所以等于第一年到第年间该批飞机所用的润滑油数量,从而积分理论上就等于该批飞机终身所需的润滑油的数量。但.这表明公司生产600升润滑油就可以保证该批飞机的终身供应。5.7 政府税收最大化 首先假设政府不存在掠夺性，将全部税收收入用于公共服务，即。这种情况可以理解为政府的效用来自于控制更多的资源，或者说来自于税收收入的外部性。于是政府的行为可以用税收最大化表示。设政府效用函数为对数函数，政府行为模型可以写为 （5.7.1）其中：是贴现率。净现值函数为 （5.7.2）一阶条件，为 （5.7.3） （5.7.4） 平衡解为 （5.7.5） 我们知道企业部门的最大化行为可以写为 （5.7.6）其中函数代表政府提供的公共服务，为税率，为企业部门的生产函数，又假设单位投资成本为，其中是单位投资的调整成本。 根据式（5.7.6）横截条件，应有，因此。这意味着当政府追求税收最大化通常无法达到最大增长率，或者说无法达到最优税率。而且由于，政府确定的税率要大于最优税率，因此对应的增长率也会低于。总结与体会在陈广贵、徐艳艳老师的指导下，经过几个月的努力，终于按时完成了论文的写作。在这个过程中，我学到了许多的知识，同时也了解到了自己的不足。虽然在做得过程中我遇到了许多的困难，但是经过老师的帮助，自己努力的查找资料，这些问题也就迎刃而解了。我的收获是：第一，我对导数与原函数在经济学中的应用有了比以前更深的了解。第二、我对数学论文的写作有了初步的了解，特别是对论文写作方面材料的收集、资料的整理、论文的格式等方面有了一定的了解。第三、对综合运用数学理论知识分析和解决经济学中的疑难问题的能力有较大的提高。在经济学疑难问题的处理中，我们通常会涉及到运用导数和原函数的情况，本篇文章主要根据上述的思想，利用导数和原函数的性质解决经济学中的问题，并掌握这种重要的数学思想，对以后学习和探究经济学中更深层的问题有很大的帮助。参考文献1 高鸿业，西方经济学第三版（微观部分）M,中国人民大学出版社，20042 高鸿业，西方经济学第三版（宏观部分）M,中国人民大学出版社，20043 郑玉歆，范金，谭伟，中级微观经济学M，经济管理出版社，20044 邹恒甫，高级微观经济学M，武汉大学出版社，20005 刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁，数学分析讲义（上）第四版M，高等教育出版社，20046 刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义M，高等教育出版社，19857 王艳芬，数学在经济学中的应用J, 泰山学院学报，2008 (3)：1-28 吴怡，论数学在经济学中的应用J, 商场现代化，2008 (14)：5-89 张素芬，王琳 ，浅谈数学在经济学中的应用J, 商场现代化，2008(12)：3-710 林庄，浅谈数学在经济学中的应用J，引进与咨询，2006(9)：4-6.18