求函数极限的若干方法 毕业论文.doc

江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 求函数极限的若干方法求函数极限的若干方法 The Methods of Functional Limit 姓 名： * 学 号： 090*0*0*3 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 完成时间：2013 年 4 月 19 日 I 求函数极限的若干方法求函数极限的若干方法 【摘要摘要】在数学分析中，极限思想贯穿于始末，求极限的方法也显得至关重 要。极限包括数列的极限与函数的极限，两类极限的本质上是相同的，其中数 列极限是函数极限的特例，因此本文只就函数极限进行讨。结合例题，本文阐 述了求函数极限的十三种方法，包括利用无穷小量、洛必达法则、泰勒公式、 中值定理等求极限。 【关键词关键词】函数极限 洛必达法则 泰勒公式 中值定理 II The Methods of Functional Limit 【Abstract】In the mathematical analysis, the limit idea runs through the whole story. The methods of the limit are crucial. Limit includes the sequence limit and functional limit. Essence of the two kinds of limit is the same, and the sequence limit is a special case of functional limit, therefore this paper only discusses the functional limit. With the examples, this paper discusses thirteen methods of functional limit , including the use of infinitesimal, LHospital Rule, Taylor formula, the mean value theorem and so on. 【Key words】functional limit LHospital Rule Taylor formula the mean value theorem. III 目录 1 引言1 2 函数极限的定义及作用1 3 函数极限的计算及多种求法2 3.1 利用左、右极限求极限 2 3.2 利用极限运算法则求极限 3 3.3 利用初等变形求函数极限 3 3.3.1 约分法 3 3.3.2 有理化法 4 3.3.3 比较最高次幂法.4 3.4 利用迫敛性求函数极限 5 3.5 利用两个重要极限公式求函数极限 5 3.6 利用变量替换求函数极限 7 3.6.1 利用等价无穷小量替换来求极限.7 3.6.2 利用其他替换来求极限 .8 3.7 利用无穷小量的性质求函数极限 8 3.8 利用初等函数的连续性质求函数极限 9 3.9 利用导数的定义求函数极限 9 3.10 利用洛必达法则求函数极限 10 3.10.1 型不定式极限 10 0 0 3.10.2 型不定式极限11 3.10.3 其它类型不定式极限 12 3.11 幂指函数求函数极限 13 3.11.1 ,的极限均为有限常数，即型的极限求法13)(xf)(xg B A 3.11.2 型未定式极限问题.13 1 3.12 利用泰勒公式求函数极限 14 3.13 利用中值定理求函数极限 16 参考文献.17 1 1 引言 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算， 主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。可 以说，没有极限理论就没有微积分。众所周知常见的求极限的方法包含四则运 算，夹逼准则、无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。但实际在求极限时 并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。对函数极限求解方法的 讨论是本文的核心点，本文给出了十三种求极限的方法，每种方法都是以定理 或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法，下面就根据函数的特点分类 进行讨论。 2 函数极限的定义及作用 定义定义 1 1 ：设函数在点的某空心邻域内有定义,为定数.若对任 1 f 0 x o' 0; UxA 给的,存在正数（） ，使得当时有 ，则称0 ' 0- o x x( )f xA 函数当时以为极限,记作f 0 趋于xxA 或 . 0 lim( ) xx f xA( )f xA 0 xx 定义定义 2 2 ：设为定义在上的函数,为定数.若对任给的，存在正 1 f, a A0 数,使得当时有MaxM ，( )f xA 则称函数当趋于时以为极限,记作fxA 或 .lim( ) x f xA ( )f xAx 对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义： =A: 当-M 时，|f（x）- A |0, g(x)=B,则= )( x 0 lim x x )( x 0 lim x x )( x 0 lim x x )( )( xg xf B A 例例 1515 求（7x-6） 1 lim x 2 ln 解解 因为 y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的， 2 ln 7 6 所以在 x=1 处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值， 所以（7x-6）=（7-6）=0 1 lim x 2 ln 2 ln 3.9 利用导数的定义求函数极限 定义定义 4 4（导数的定义）（导数的定义）：函数在附近有定义，若极限 1 ( )f x 0 x 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx ( )f x 0 x 在点处的导数，记为。在这种方法的运用过程中，首先要选好( )f x 0 x 0 ()fx ，然后把所求极限表示成在定点的导数( )f x( )f x 0 x 10 例例 1616 求xx x 2cot) 2 (lim 2 解解 取则 xxf2tan)( 2 ) 2 2tan(2tan lim 1 2 2tan lim 1 2cot) 2 (lim 2 2 2 x x x x xx x x x ' 2 2 x 2 11 ( )()() 22 lim 2 1 (2sec 2 ) 1 2 x f xff x x 3.10 利用洛必达法则求函数极限 以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则。利用洛必达法则求 极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的 函数求极限的过程，但运用时需注意条件。 3.10.1 型不定式极限 0 0 定理定理 6 6：若函数和满足： 1 fg i 00 limlim0 xxxx f xg x 在点的某空心邻域内两者都可导，且 ii 0 x 0 0 Ux ' 0gx （为实数，也可为或） iii 0 ' ' lim xx fx A gx A 11 则 00 ' ' limlim xxxx f xfx A g xgx 注意注意 若将定理中换成只要相应地修 0 xx 00 ,xxxxxx 正条件中的邻域，也可得到同样的结论。 ii 例例 1717 求 2 1 cos lim tan x x x 解解 容易检验与在的邻域里满足定理的( )1 cosf xx 2 ( )tang xx 0 x 条 2 1 2 cos lim sectan2 sin lim )( )( )2() 1 ( 3 2 x xx x xg xf xx ，又因和件 故由洛必达法则求得 2 1 )( ' )( ' lim )( )( lim 00 xg xf xg xf xxxx 在利用洛必达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用 适当的代换。 例例 1818 求 0 lim 1 x x x e 解解 这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但是比较麻烦。 0 0 如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令当时有，于, xt 0x 0t 是有 1 1 lim 1 lim 1 lim 000 t x t x x x ee t e x 3.10.2 型不定式极限 若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。 定理定理 7 7：若函数和函数满足： 1 ( )f x( )g x i 00 limlim xxxx f xg x 在点的某空心邻域内两者都可导，且 ii 0 x 0 +0 Ux ' 0gx （为实数，也可为或） iii 0 ' ' lim xx fx A gx A 则 00 ' ' limlim xxxx f xfx A g xgx 注意：若将定理中换成只要相应地 0 xx 00 ,xx xxxx 修正条 件中的邻域，也可得到同样的结论。 ii 12 例例 1919 求 ln lim x x x 解解 由定理 得， 0 1 lim )( )(ln lim ln lim xx x x x xxx 3.10.3 其它类型不定式极限 不定式极限还有，等类型。这些类型经过简单的0 1 0 0 0 变换，都可以化为型和型的不定式极限。 0 0 例例 2020 求 0 limln x xx 解解 这是一个型的不定式极限，作恒等变形=，将它转化为0xxln x x 1 ln 型的不定极限，并用洛必达法则得到 0)(lim 1 1 lim 1 ln limlnlim 0 2 000 x x x x x xx xxxx 例例 21 求 2 1 0 )(coslim x x x 解解 这是一个型的不定式极限，作恒等变形 1 = 2 1 )(cos x x x x e cosln 1 2 求得型的不定式极限，可先是其指数部分的极限 0 0 cosln 1 lim 2 0 x x x 2 1 2 tan limcosln 1 lim 0 2 0 x x x x xx 所以= 2 1 0 )(coslim x x x 2 1 e 例例 2222 求（为常数） 1 ln 0 lim(sin ) k x x x k 解解 这是一个型的不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限， 0 0 k x x xk x x xk x xk xxx sin coslim 1 sin cos lim ln1 sinln lim 000 然后得到= 1 ln 0 lim(sin ) k x x x k e 13 例例 2323 求 1 2 ln lim(1) x x xx 解解 这是一个型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型） 0 2 2 2 1 ln(1) 1 limlim 1 ln 1 lim 1 1 1 lim xx x x xx x x x x x exx x x ln 1 2 )1(lim于是有 注意注意 运用洛比达法则应注意以下几点 1、要注意条件，也即是说，在没有化为时不可求导。 0 , 0 2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式 的导数。 3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定 式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。 3.11 幂指函数求函数极限 一般来说，幂指函数是形如的函数。幂指函数求极限在数学分 )( )( xg xfy 析中比较常见。由于幂指函数兼具幂函数和指数函数的特点，对幂指函数求极 限又显得比较困难。下面我介绍两种常用方法。 3.11.1 ,的极限均为有限常数，即型的极限求法)(xf)(xg B A 命题命题 1 1： ，且 A 和 B 为有限数，A0,则有 Axf xx )(lim 0 Bxg xx )(lim 0 B xg xx xg xx Axfxf xx )(lim )( 0 00 )(lim)(lim 例例 2424 求极限. 13 1 )51 (lim x x x 解解 因为 ，6)51 (lim 1 x x 2) 13(lim 1 x x 由上述定理得：366)51 (lim 213 1 x x x 14 3.11.2 型未定式极限问题 1 命命题题 2 2: 设有连续函数和，在自变量的某个变化过程中，)(xf)(xgx 1)(limxf ，则 )()1)(lim()( )(lim xgxfxg exf lim( )1f x lim ( )g x 例例2 25 5 求极限 x x x 2 csc 0 )(coslim 解解 2 2 0 lim (cos1)csc csc 0 lim(cos ) x xx x x xe 2 0 2 2 0 1 lim (cos1)sin 1 lim. 2 1 2 x x x x x x e e e 注注 对于型未定式的极限用可通过将幂指函数化为对数恒等 1 )( )(lim xg xf 式的形式，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。 y ey ln 0 0 例例2626 求极限. x x xx ) 1 cos 1 (sinlim 解解 令，则当时，那么 1 u x x 0u u u x x uu xx 1 0 )cos(sinlim) 1 cos 1 (sinlim u uu u e )cosln(sin 0 lim u uu u e )cosln(sin lim 0 0 cossin lim sincos u uu uu e e 3.12 利用泰勒公式求函数极限 定义定义 5 51： 若函数在存在阶导数,则有=+（x-f 0 xn( )f x 0 ()f x ' 0 () 1! fx ）+(x-+（x-+- (1) 0 x '' 0 () 2! fx 2 0) x ( ) 0 () ! n fx n 0) n x(o x 0) ) n x 这里-为佩亚诺型余项,称(1)为函数在点的泰勒公式.(o x 0) ) n x 0 x 15 当=0 时,（1）式变为=+ x+ +称 0 x( )f x(0)f '(0) 1! f '' 2 (0) 2! f x ( )(0) ! n n f x n () n o x 此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式。 常见函数的麦克劳林公式 2 n = 1+ + + . . . .+ + o 2! n x xx exx n （） 352 +1 2 +1 sin = + .+ ( 1)+ () 3!5!(2 +1)! n nn xxx xxo x n - . 2462 2 cos =1 + + ( 1) + () 2!4!6!(2 )! n nn xxxx xo x n 23 ln(1) 23 xx xx+=-+() n nn x x n +1 +1 +(-1)+o +1 2 (1) (1)1 2 m m m xxx - += +m + ! (1)(+1) ! n m mmn x n () n x+o 2 1 =1+ + + . + + () 1 nn xxxo x x 为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒公式来代替该项,使得原来函数的 极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简洁地求出函数极限。 例例 2727 求 2 2 4 0 cos lim x x xe x 解解 本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰 勒公式求解，考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分 4 x 子， 24 4 cos1() 224 xx xo x 2 24 4 2 1() 28 x xx eo x 16 2 4 4 2 cos() 12 x x xeo x 因而求得 2 4 4 - 2 44 0x0 -+o cos -e1 12 lim=lim=-12 x x x x x xx 3.13 利用中值定理求函数极限 定理定理 8 8( 拉格朗日微分中值定理)：若函数满足(1)在上连续,(2) 1 )(xfba, 在可导；则在内至少存在一点，使。),(ba),(ba ab afbf f )()( )( 例例 2828 求 3 0 sin)sin(sin lim x xx x 解解 由 01 sin sin-sin = sin -cos+sin -xxx xxx x （） 3 0 3 0 2 0 sin sin-sin lim sin -cos+sin - =lim cos -1 =cos0 lim 3 x x x xx x x xxx x x x x （） 得 定理定理 9 9(积分中值定理)：设函数在闭区间上连续,则至少存在 1 f, a b 使得. ,a b b a f x dxfba 例例 2929 求 1 3 00 1 lim 1dxx . 解解 由积分中值定理， 1 33 0 11 ,(01) 11 dx x ， 所以 1 33 000 11 limlim1 11 dx x 以上方法是在数学分析求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅 仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的， 必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会 省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓， 明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题 善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。 从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格， 我们应具体问题具体 分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方 17 法混合使用，要学会灵活运用。 参考文献: 1华东师范大学数学系.数学分析上册M.北京：高等教育出版社,2006. 2刘玉琏.数学分析(上册)M,第四版. 北京：高等教育出版社，2003. 3王艳,周文丽,董明辉.求极限的几种方法J.西安欧亚学院学报,2005: 79- 83. 4郝 梅.求函数极限的方法J.福建教育学校学报,2006:10. 5曹学锋, 孙幸荣. 无穷小量在求极限中的应用J. 数学学习与研究(教研 版), 2008, (01). 6华东师范大学数学系.数学分析下册M.北京:高等教育出版社,2006. 7陈 璋,朱学炎等.数学分析M.复旦大学数学系.高等教育出版社,2006. 8郝 涌,卢士堂等.数学考研精解M.华中理工大学出版社,2004. 9费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解M.济南：山东科学技术 出版社，2005. 10张筑生.数学分析新讲（第二册）M.北京：北京大学出版社，2003.