1、资料一：导数.学问点1.导致的概念例I.曲线产加上的一点HO.0),求过点P的切线方程,解析：如图，按切线的定义，当XTo时，割线P。的极限位置是)，轴(此时斜率不存在)，因此过P点的切线方程是=0例2.求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程解析：*/y=x2,=.t(.r)2=4x+(x)2.=1.im=1.im(4+r)=4.AITnArtO，曲线y=x2在点(2,4)处切线方程为y-4=4(-2)即4r-v-4=0.例3.物体的运动方程是S=I+/+尸，其中S的单位是米，r的单位是杪，求物体在t=5秒时的瞬时速度及物体在一段时间5,5+八内相应的平均速度.解析：*.*S=1.+r+?,
2、AS=1.+Ar)+Ar)2-(+什乃=2.A+Ar+(A)2,A三2+1.+,HPv()=2+1.+,二v(5)=Z+1.1.,Ar即在5,5+八的一段时间内平均速度为(/+II)米/秒.*.v()=S=Iim=1.im(2r+1.+r)=2r+1.|oAro即5)=25+1.=1.1.物体在t=5秒时的瞬时速度是11米/秒.例4.利用导数的定义求函数产J=在尸1处的导致.解析:1,1-1+a.v-1Ay=I，I=.3.-，/,J1.+At1.+xA.V1.+x(1.+1.+ZJ)r11ArtI2v+-)2+i-解析：1.)三1.,Iim=IimrHrATrKr=1.im(1.+-)=1.,
3、a.o-2Iim=Iimo,At)-(1.+x+1.)-1.1.2=1,.11m丝2arAxIim包,，x.,.函数产%6在x=1.处不行导.例7.函数y=2+3,求)，.解析：y=2x3+3,=2(x+)5+3-(2+3)=6a-.v+6()2+2(x)j.=6t2+6ra+2(.r)2,y=Iim=6.r.XMrD,V例8.曲线v=2+3上一点P,P点横坐标为,r=1.,求点P处的切线方程和法线方程.解析：Y=1.产5,点的坐标为(1.5),利用例7的结论知函数的导数为F=6，：.v,.i=6,曲线在P点处的切线方程为)，-5=651)即6-y-1.=0,又曲线在P点处法线的斜率为-6：.
4、曲线在P点处法线方程为)，一5=一!(*-1),UP6)+-31=0.6例9.抛物线y=x2在哪一点处切线平行了直线),=41.5?(tiik.Av(x+x)-2CWtJi：.V=Iim-=Iim=2x.Z7AArfUZ令2x=4.J.户2,y=4,即在点P(2,4)处切线平行于直线)=41.5.例10.设”WO,凡目在网处可导，求以下极限值(1)Iim(2)IimXi0Ar解析：要将所求极限值转化为导数/(秋)定义中的极限形式。()imf(二TAD-f(XI1.)=1.imROA1uo-n,v(-m)=-n-f(x0),(其中一gAXTo)(2)IimAi0Ax=Iim-11/(%+-/(%
5、)I1-t1=7,().Av(其中-AITO)t例II.设函数40在X=I处连续，且1.im=2,求/(I).,-1解析：.(x)在x=1.处连续，1.imCo=川).J1.而又Iimf(x)=1.im(x-1)=1.im(.v-1)Iiin=02=0.-IIX-Ix-1.x1.大一,/(1)=0./.广=Iim+Ar)-，=Hm-/=2(将AX换成X-I)v0ArXfJVHP,(1)=2.例12.抛物线)，=+法+c(aWO),通过点(I,I),且在点(2,1)处与直线)=-3相切，求,b,C的值.ft2i1.jrh1.y.a(x+x)2+b(x+x)+c-(ax2+bx+c)_,解析：1J
6、V=Iim=Iim=2ax+b,-xi*-*Ax由函数在点（2,一D处与直线S=X3相切./.2a2+b=.乂函数过点（1，I），（2,1）,a+b+c=,4u+2b+c=-.由三式解得=3,b=1.（-9.例13.设曲线y=siu在点4四，：）处切线倾斜角为0,求tan（f-3）的值.624解析：y=siav.：.Ay=Sin（X+AR-SinX=2cos（x+孚）sin孚，CAr.At.xv2cqs(x+-)sn-AXS1.n于：.y=Iim=Iini-=IimCoS(X+)-Iini-=cosx.近例14.设KX)是定义在R上的函数，I1.对任何H2R.都有凡11+.可可3次,假设0)0
7、/(0)=1,证明：对任何WR,都有儿v)=(x)解析：由人口+w)MxVtc),令M=X!=0得40)=;(OmO),又Ho)WO胆)=1由八0)=1即Iim3七幽=Mmg21=1,z,vNfOx,=Iim八AD-/。)=1,m/W(Am)=zw.1.imZ)1.=M.a*oArArTDArvoAt即广(MMx)成立.2.几种常见函数的导数例1.v)=,求/(X)，,()-(D),(015)解析：Kr)=AA，f(x)=3J=3,fO.5)=3(O.5)2,SI)=0.说明：导函数与函数在某点处导数要弄清区分与联系.后者是导函数的某一函数值，因此在求函数某一点处导数时可先求导函数，再干脆求
8、导函数值.例2.曲线y上有两点A(.I).B(2.4),求割线AB的斜率：在I,1+Aa内的平均改变率：过点八处的切线斜率匕r:点A处的切线方程.解析：匕H=土=3；21平均改变率”=ArAr2+5y=2x.Ay=2,即点A处的切线斜率为KAT=2.点4处的切线方程为)-1=2(x-1.)即2v-y-1.=0.说明：通过本例搞清割线斜率，区间上平均改变率，某点处切线斜率与某点处的导数之间的区分与联系，捋次验证了导数与平均改变率之间的关系V,=Iim.“AitDA-例3.利用导数定义和导致公式两种方法求曲线尸1.在点P(1.,I)处的切线倾斜X角及该点处的法线方程.解析：解法-：U)=1.A.v
9、/1.+Ax)yU)=1-v,X1.+,v1.+Av1：.yg=1.im=Iim=-1.MWx一1=一1即入一、=0.解法(二)：.V=巩0=,j*=f,()三-二yJr三I=-1.X尸即在点？处切线斜率为4一1，以下同法(一)说明：求导致方法有两种，一种是利用导致定义法求导数,其次种用导数公式，要留意题目要求,假设无声明，用最简洁的方法即可.例4.曲线产上的一点P(0,0),求过点P的切线方程.解析：由尸方.F=(Y7)=金.在X=O处导数不存在，由图形知过P点的切线方程是=0例5.设曲线y=cosr在A(j)点处的切线倾斜角为仇求Cotc-O)的值624解析：y=cosr./=_siav
10、Ut,j1.=_sin=.*.tan=，66221+ianO彳I：.cot(-0=tan(-(9)4=一=M=1.-tan+232例6.求曲线)，=9在点(3,27)处的切线与坐标轴所用成的三角形面积.解析：:尸3,y=3x2,y,=27,：.曲线.v=F在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x3).即)=27x-54.其与X轴,y轴交点分别为(2,0),(0.-54)二切线与坐标轴围成的三角形面积为5=254=54.例7.在抛物线Y=X2上取横坐标为项=1及4=3的两点，作过这两点的割线,何该抛物线上哪一点的切线平行于这一割线？解析：两点411)取3.9),别线斜率为匕s=4.V
11、y,=2x,令V=2x=4得x=2,即在点(2,4)处切线平行于这一割线.3.函数和、差、积、商的导致例1.求以下函数的导数：)=32+cosx:产.；产MarU-；产一XCOSXI,1I+X解析：CCy=6x+cos-xsinx：I丫,_(IUnx)x-1.an(x),_XScc、-IanXXsinK-2COSX(XCOSA+sinx)coSX-(XSinK-2)(-sinx)cos2X_sinx(8s.r-2)+Kcos2X例2.函数/U)=/-7x+1.,求尸(X)，,(1).,(1.5).解析：v)=V-7x+1.,=,(x)=32-7,(1)=-4,*(1.5)=-.4留意：导函数与
12、导数的区分与联系，函数在某一点的导数是导函数在这一点处的函数值.例3.函数=j+-g的导数为。的值也都使)，值为0,求常数。的值.解析：y=3r+2ax,令=0.那么3ri+2E),M=O.c=一三a.3当DB寸，y=O=-j,=(),即=0满意条件.当尸一时.y=O=,+j得=0或.=3检验知。=3不满意条件，常数的值为().例4.曲线产一片+4X上有两点A(4,O),(2,4),求割线八8的斜率心你过山A处的切线斜率匕；点A处的切线方程。解析：别线的斜率公产耳=-2：2-4y=2x+4,.*.y=-4.即M=-4：过A点的切线方程为)-0=-4(-4),即v=4x+1.6.例5.F（八）=
13、x)+.?（八）,就以卜.两种情形推断F(X)在*=和处是否可导？Ju)在X=Ae处可导，g(x)在X=Xo处不行导.人外，g(x)在X=即处均不行导解析：Rk)在X=W处不行导.假设F(X)在X=处处可导，由F(X)MX)+g(x).g(x)=F(x)Ax).*.r)在X=Xo处可导，.g(x)在=.VO处可导，与条件g()在X=AX1.处不行导冲突，：,RX)在X=AD处不行导.F(.r)在X=而处不肯定可导.如设凡V)=SinA,+1.g(x)=coN-,那么/U),g(x)在X=O处均不行导，XX但F(X)=风r)+g(x)=sinx+Cosx在X=O处可导.另：假设g(x)=tam+
14、上，在=0处不行导，X2r（八）=(x)+g(.v)=sinr+aar+-在,v=0处也不行导.X例6.曲线y=F+-上求一点P,使过P点切线与直线产4*一7平行.解析：=(+-1),=3-2+1.由过P1切线与直线y=4-1.平行，令3+1.=4得x=1.,当X=I时,y=1.,此时切线为.fT=4(1.1),即)=41.3与直线.v=41.7平行，,P点坐标为(1,1)。当工=-1时，=-3,此时切线为y+3=-3(x+1.),即y=4.r+1.也满意条件，；.P点坐标为(一I,一3).综上得P点坐标为(I,1)或(一I,-3).例7.证明：过抛物线丫=。(工一.船)(.1一q).(4;
15、0,.仃：戈2)上两点八3，O),B(.X2,0)的切线帧斜角互补.解析：y,=2r-(.v+X2).：.31.,=(-x2).k=a(x-X2).y1.&=a(.q-M).Wjfc=a(.V2-.r).V1.三-far两切线倾斜角互补.例8.曲线)弓(X)及y=Ax)sinv,(0).其中加r)0,且为可导函数,求证:两曲线在公共点处彼此相切.解析：由Sinax,/(x)0,：.SinaA=1.ar=2以+g(Z).211+-2k11+-X=-,设曲线交点(私V),即,ro=-.aa又两曲线F=i/U),y,=fx),yi=fix)sin(i.x,n,=(.v)sinax+rtcos.v
16、y(x)EUb=/(，I=/(%)sin(2Ar+1)+硬(AJeOS(2丘+=,(0),：.加=依，即两曲线在公共点处相切.例9.直线S=质与曲线y=F-3f+2r相切，求A的值.解析：y=3x2-6x+2=k,又由h=3-3.F+2t,工3-6r2+2-.?-3+2即2/3/=0得.仃=0或4=2.：.A:=2或一1.244.爱合函数的导致、对数函数与指数函数的导数例1.函数y=(sin?户是由函数y=,u=,V=三个函数豆合而成.解析：答案分别为：y=/,M=sinv.V=A2.例2.求以下函数的导数：,=(.v2+2v);)1=*：y=Mr2+fet+c：y=(sin)J：=1.n(.
17、t+1.+)；=.v1.igvrs=2;)，=炉.(.aR).sin2.v解析：尸，+2)3,y,=3(.r+2)2-(2+2)=6(.v+1.)(+Zv)2.产尸J-=(8a)=8*.y=ax+bx+c.r,=-(r2+m+.r)5(2-v+Z).3J=(SinF)I,),=g(SinF)acos2=2cosX2W(Sinf+G产7+/=忌.y=1.igu.y,=1.r1.igu-+-,-1.ig,e=3.r1.igr+.r1.ig5e=21.igeAj).cos5.vsinIx,一(CoS5x(sin2x-cos5x(sin2x)-5sin5xsin2x-2cos5xcos2x(sin2x
18、)2(sin2x)2J=Cn)=ef),=W1.=1.=t.XX说明：本例集中训练常见函数求导公式，导数的四那么运算法那么，更合函数的求导法那么等，这些要反更熟记例3.求函数0xb.Vb的导数.解析：/=.VbXb2(-4)(x-b)(x-b)+(x-创0“、2(x-Xx-b)(2x-a-b)。这xW/(-0=CF,0xb例4.假设Hx)=X+1.n(-5),g(x)=1.n(-1),解不等式/(x)g(x).解析：,(.v)=1.+-,()=-,由/”)g(x),有x-5X-I0.：.Q5或xg(x)的解集为(5,+8).说明：求导数有关问题时还要留意原函数定义域.例5.证明：可导奇函数的导
19、数是偶函数。解析：法-：定义法：设Kr)为可导奇函数，那么人一幻=-KV),：./D=Iim=im-1.roArZeZIime-3-1r导函数为偶函数.法二：复合函数求导法：设/U)为可导奇函数，那么；(一幻=一凡小两边对X求导得：(-)j,=-,即一/(一幻=一/(的，.f(-)=fx)./(X)为偶函数，即命题成立.同理可证：可导偶函数的导数是奇函数.例6.石头落在安静水面上，产生同心水纹，假设最外他波半径增大速度总是“加S,问在8秒末波扰动水面积的增大速度是多少？解析：设力秒末垃外一圈水纹的半径为R,那么R=ab,：.S=XR又R=a,.*.S尿,=2R/?(Ok=M=23%.即b秒末波
20、扰动水面积的增大率为2hA例7.将水注入锥形容器中，其速度为4米3/分,设锥形容器的i为8米，顶门直径为6米，求当水深为5米时，水面上升的速度.(如图)解析：设注入水，分钟后，水深为4米.由相像三角形对应过之比可得水面直径为2力米，4这时水的体积温V=1汗(2.力=空3，由于水面高3864度为随时间，而改变，因此/，是/的函数介=分)，由此可得水的体积关T时间/的导数为口=VyR,，S1=微力忙吟R忙,由假设，注水的速度为4米3/分.vr-h2h4,即产史咛，64,9nh2.当仁5米时，水面上升的速度为We黑伙分).5.函数的单调性和极值1.求函数y=e0得0,即函数在(0,+8)上为增函数:
21、由et-0,.KO在(0,1)上递增：当x(1.,2)时，y0,二式外在(I,2)上递减.例3.探讨函数产1.2sinx在(0,2%)内的单调性.，：y=1.-2cosx,x(0,2x),由广0,得(tv,即产兀0在年)内是单调递增；同理，由)J0,得0“色或把a0),求”的范,使函数Hx)在(0,+8)上是单调函数.解析：,(x)=-=-f1.,当x(0.+8)时，(KV=o,且AV)在(O,+8)上是单调函数，那么必有f(x)1.M.函数.心)在(0，+8)上是单调函数.例5.函数AO=1.aj(0且H1.)在定义域(0,1)上是减函数，求”的取值范围.解析：:定义域耍求2-atX),x2
22、又函数在(0,1)上都有意义,a：.221,：2.a：v,=a,p?1.n-Iog10e(-a)=apIga1.2-C1.X2a由y,O2C或X0,假设那么碗0,那么.022与定义域0.1)冲突,aa：.只有a1.,此时g.O,x-0.r-2,1.0时、证明不等式-1.n(1.+x)xI+.V解析：设/Ir)=1.n(1.+,v)=1.1.n(i+).1.+x+x那么广(幻=!-=J,(1+X)21+X(1+X)2当QO时，/Y)=-J().即/(X)在(0，+8)上是递减函数，(1.+)又当X=O时，f1.O)=O.:.fix).即1.n(1.+)O.1.n(1.+x).I+.r1.+令g
23、x)=1.n(1.+x)-,g,(x)=1=41+x1+x当Qo时,g,(x)O,：.g(x)也为减函数,又当A=O时.g(x)=O,：.g(x)vg(O).1.n(1+x)-x0即In(I+jr)r.：.1.n(1.+x)比它接近点的函数值大，/U)比它接近点的函数值要小，/(一：)，,NI)分别是函数的极大值和微小值，除此之外,没仃其它极值点,例8.设函数710=33+5r2+5,在K=I与X=-I处有极值，且/(I)=-I,求九6表达式.解析：V0=+r+cx.，f(x)=3v2+2bx+c.x(-8.+8),由已加段)在A=1与X=I时仃版值.:.,(1.)=,(-1.)=0.又0)
24、I,3a+2b+c=O：.3-2b+c=O,解得=1.=0.c=3.,22+c=-1.工/（八）=-x.例9./(x)=+c,且g(x):伏切y*2+1.),设0恒成立.次刈在-3,4上单调递增.当X=-3Uty*at=-157,当-=4时w=20+2-77.函数的值域为一15，2()27).77例2.设;J（八）,J(-1.)J(),./()mrr7三(1),_九_一九=一巫,222.”=述，ft=1.3-1(-1.0)O(O,a)a(a.1.)1,(*)O一01-6b-岑.6ZI-2-ab：.须要比拟40)与/U)的大小，V/(O)-1)=-IX),/.凡。的最大值为40)=-1,X.
25、/1-1)-fia)=1(3-3-2)=(+1)2(一)0,Vfix)0./(Dx-At)X),.J(X)y=/(.r)-()0.也在(0,0上是增函数。X.rX：.立在(0,H上最大值为色.Xa例4.设g(=1.-d+4yj-y4在y-,0上城大值为凡r)，.rR,求/U)表达式：求1U)最大值。解析：g(v)=4)2(y3x),)1,0,当工20日，gG)o,；.&G)在一,o上递增.yU)=g(O)=-F.当一gWO时，g(y)O,在-1，3x上恒成立，在(3-0)上恒成立，./(x)=g(3x)=1.+27.r4.当XW-J时，g(y),g(y)在-1,0上递减.工KrAg(T)=-s
26、4r.1.-r2QO0=1.-x2+27x4-x0.3-X2-4.v-3当x20时，v)1.O)=1.当XW(T0)时，v)=27(x-)2-1.+20成立。解析：,(x)=6-.令U(X)=O得X=(芋，当(Xr(芋时CX)0,：.X=q口是唯一的极值点，是微小值点且是最小值点.要使J(X)220恒成立，.J(X)IM孑20.：./(一)=3V+-=-20.解得264.22审炉例6.圆柱形金属饮料揣的外表积肯定时，应怎样制作，其容积最大？解析：设圆柱的高为面底面半径为K,那么5=2兀刖+2xK,._S-2打RCidc,S-2rR61CPh=V(R)Si1.MjJ=*R=-SR-JtR.2汽
27、R211R2由U(R)=O得:s-3nRJ()得S=6n/?2,：,67tR2=2nRh-211R2.：.1.=2R.即当楙的高和后面直径相等时容积最大.例7.三次函数/()k(x-aKr)，其中OVaV人.设46在X=S及.v=/处取最值，其中SVh求证：QsatV2,求证：过原点且与曲线y=；U)相切的两直线不行能垂直。解析：(I)f,(x)=3x22(a+b)x+ab,由Kr)在X=S和*=r处取最值，s,，分别是方程Ua)=O的两实根.：f(Q=abO,f（八）=3a2-2(a+h)a+ab=a(ab)0,，/(X)=O在(0,)及(,协内分别有一个实根,.s,Osat)A1.+ab.当幻=0时，切线的斜率为Jh=时，当”=吆时，切线斜率为一!a+a24,：a./?().+Zk241:fe=-(a+)2+ah,4Ab=(ab?(ab)2ab(ab)2-2tb=(ab-I)2-1-141.2-h即两切线不行能垂直。
