1、导数解答题题型分类之拓展篇题型一，最常见的关于函数的单调区间；极值：最值；不等式恒成立：阅历1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决】第一步；令/3=。得到几个根1其次步：列表如下；第三步，由表可知；阅历2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种I变更主元(即关于某字母的一次函数)；题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元)；其次种：分别变1：求最值(请同学们参考例5),第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征(Cr)g5恒成立=/0)=/(”)-身*)0恒成立)；参考例4；例1.已知函数/(x)=%J-2+2x+,x=2必/(X)的一个极值点
2、1)求/(x)的单调递增区间：(I1.)若当xg,3时，(x)J:恒成立，求”的取值范围.例2.设=g(x)=r+5-2(0)0x+1.(1)求71(x)在xw0,1上的值域:(2)若对于随意演0,1,总存在.e0,1.,使得g(0)=/(.、)成立,求的取值范围。例3.已知函数/(x)=V+图象上一点P(I向的切线斜率为-3,(1)求力的值;(II)当Xei4时，求/的值域;(I1.1.)当xw1.,4时,不等式/(gg(x)恒成立,求实数t的取值范围。例4.已知定义在R上的函数/()=-211+4(0在区间-2J上的最大值是5,最小值是一I1.(1)求函数/(X)的解析式；(11)若，
3、wT,1.时,r(Ha0恒成立，求实数X的取值范围.例5.已知函数/(x)=E图象上斜率为3的两条切线间的距离为粤，函数a52g(x)=(x)-咚+3a(1)若函数g(x)在A1.处有极值,求g(*)的解析式；(2)若函数g(x)在区间-1,1上为增函数,且公-，汕+4Ng(x)在区间T1.)上都成立,求实数用的取值范围.题型二，已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数及X轴即方程根的个数问题；阅历1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即/()0或T(M()在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题：用分别变量时要特殊留意是否需分类探讨(
4、看是否在0的同侧)，假如是同侧则不必分类探讨；若在0的两侧，则必需分类探讨，要留意两边同处以一个负数时不等号的方向要变更！有时分别变量解不出来，则必需用另外的方法：其次种：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值及0的关系和对称轴相对区间的位J1.可参考其次次市统考试卷；特殊说明：做题时肯定要看清晰“在(a,b)上是减函数”及“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清晰两句话的区分；阅历2：函数及X轴即方程根的个数问题解题步骤第一步，画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式
5、)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减其次步I由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组上主要看极大值和微小值及。的关系；第三步：解不等式(组)即可一例6.已知函数八g(x)-kx,且/a)在区间(2,+上为增函数.(1)求实数A的取值范围：(2)若函数/Cr)及g)的图象有三个不同的交点，求实数及的取值范围.例7.已知函数/(x)=a?-3/+1.-(I)探讨函数/a)的单调性。(II)若函数y=f(外在A、B两点处取得极值，且线段AB及X轴有公共点，求实数a的取值范围。例8.已知函数f(x)=x-ax4x+4a,其中a为实数.(I)求导数r(x)：(id若r
6、i)=o,求f(x)在-2,2上的最大值和最小值：(In)若f(x)在(一8,一2和2,+8)上都是递增的，求a的取值范围例9.已知：函数f(x)=x3-axi+bx+c(I)若函数/(.的图像上存在点P，使点P处的切线及X轴平行，求实数为的关系式；(II)若函数/)在X=T和x=3时取得极值且图像及X轴有且只有3个交点，求实数,的取值范围.例10.设,=x)为三次函数，且图像关于原点对称，当*=g时，f()的微小值为-1(1)求/(X)的解析式；（三）证明：当xe(1.,+8)时，函数AX)图像上随意两点的连线的斜率恒大于0.例11.在函数f=以、加(O)图像在点(1,F(D)处的切线及
7、直线6x+y+7=0.平行，导函数r(x)的最小值为一12。求a、Z的值；(2)探讨方程f(x)=m解的状况(相同根算一根)。例12.已知定义在R上的函数/(x)=+bx+c(.b.cwf),当X=T时，/(x)取得极大值3,/(0)=1.(I)求/(X)的解析式：（三）已知实数，能使函数f(x)在区Wtj+3)上既能取到极大值，又能取到微小值，记全部的实数r组成的集合为M.请推断函数冢的=午(XWM)的零点个数.例13.已知函数/)=AF-3(A+1)/-2代+4.若/(幻的单调减区间为(0,4)(I)求A的值：(II)若对随意的7T1.,关于X的方程2d+5+=/总有实数解，求实数的取值范
8、围。例14.已知函数X)=O+版-UmR是常数)，且当“1和x=2时,函数/(x)取得极值.(I)求函数/(X)的解析式：(II)若曲线y=()及身(幻=-3工-“2q”0)有两个不同的交点，求实数，”的取值范围.例15.已知f(x)=x+bx+cx+2.若f(x)在x=1.时有极值-1,求b、C的值；若函数y=+-5的图象及函数y=W的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围.X例16.设函数/(x)=gF-+&jf(x)=2x+b,当x=1.+i时，/(x)取得极位.(1)求。的值，异推断川+石)是函数/*)的极大值还是微小值；(2)当xe-MJ时,函数及g(x)的图象有两个公共点,求人
9、的取值范围.题型三：函数的切线问题,阅历1:在点处的切线，易求；阅历2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；其次步：写切线(一般用点斜式)；第三步：依据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：推断三次方程根的个数；例17.已知函数x)=+加5在点与处取得微小值-4,使其导数0的的取值范围为(1.3),求：(1)/(x)的解析式：(2)若过点P(T.可作曲线y=()的三条切线，求实数，的取值范围.例18.e1.(x)=-4.v(为常数)在x=2时取得一个极值，1)确定实数/的取值范围，使函数/在区间上2上是单调函数；(2)若经过点A(2,c)(c-8)可作曲线)，=/a
10、)的三条切线，求0),其中a,/,W/?.(I)若曲线.y=(x)在点P(2J)处的切线方程为y=3x+1.,求函数f(x)的解析式;(I1.)探讨函数/(*)的单调性；(111)若对于随意的awg,2,不等式/(x)IO在Rj上恒成立，求6的取值范围.例23.已知函数/(x)=#+dF+1.(AR.a,为实数)有极值，且在X=I处的切线及宜线x-y+1.=O平行.(1)求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使得函数八)的微小值为1,若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；例24.已知函数f()=1f1.-1.X2+c.r+d(a、c、dK)满意/(0)=0./=0且,()034在R
11、上恒成立。(1)求a、c、d的值；(2)h(x)=-x2-bx+-t解不等式/m(x)+(*)3时，证明存在Ae11O,使得不等式-COS*)(F-cos1.)对随意的XCK恒成立。导数解答题题型分类之拓展篇答案题型一例1、解：(1)f)=z-2bx-2.*、=2是/()的一个极值点，.x=2是方程丁-2阮+2=0的一个根，解得方=*令/(x)0,贝U-3.r+20,解得x2.；函数y=f(M的单调递增区间为(to.1),(2.+8).(11)Y当Xea时/(x)v,Xe(2.3)时/(X)0,/在(1,2)上单调递减,/(x)在(2,3)上单调递增./是f(x)在区间U,3上的最小值，且/=
12、2+若当XG1.1.3时，要使人幻-/2恒成立,33只需/(2)+2,即2+2,解得O0)在xwO,1.上的值域5-24,5-0.由条件，只须(0,1.Ju5-2,5-”卜二=W4.5-1.2例3、解：(I)/(0=3/+2小，|八1)=-3,解得:(I1.)由(1)知，f(x)在T,0上单调递增,在0,2上单调递减,在2,4上单调递减又f(F=-4J(O)=0(x)n.=/=T(x)nu=%=16，/(幻的值域是【4,16(III)令/，*)=/(X)-gCr)=-：r+a+1.)x-3.ten,4.要使f(x)g(x)恒成立，只需力(x)0,即-2x)N2x-6(1)当XWU时rF：,解得
13、r-1.;-2x(2)当x=2时IwR;当“4帅N泞解m8;综上所述所求t的范围是STM功例4、解：(I)./()=ax-2nx+b.:.f()=3.v*-4v=ax(3x-4)令/(x)=0,得A1.=O.A-,=-2.1因为“0,所以可得下表：X-2。)0(o,fix)+0/极大因此/(0)必为最大值，.S)=5因此=5,/(-2)=-16f1.+5J(1.)=-a+5,.-./(1.)/(-2),UP/(-2)=-16a+5=-i1.=1.,.*./(x)=x-2xz+5.(II),：f(x)=3x2-4x,.r(x)+k0等价于32-4x+T0,令g(t)三xt+32-4x,则问题就是
14、g(r)O在,w-1JJ上恒成立时,求实数X的取值范围,为此只需因雷3/-5x()X2-x0解得OMXM1,所以所求实数K的取值范围是0,1.例5、解：V,(x)三-x2,由W=3有*=,即切点坐标为(,),(-,-)a*.切线方程为.、,一“=3(.r-),或y+=3(x+),整理得3x-y-2。=0或3x-.y+2=0.*.I二-tf1.=,解得=1,f(x=x,.*.g(x)=x-3hx+3。(1)3+(-1),5g,(x)=3x2-3b,g(x)在x=1.处有极值，.g0,又:-力+4g(x)在区间-IJ上恒成立，b-nh+4(1),即b2-mb+44-3b,整/+3在(-8.0上恒成
15、立，n3,m的取值范围是3+题型二答案：例6解：(1)由题意八刈=/_(4,+1).一./a)在区间(2,+8)上为增函数，Af,(x)=-仪+Dx0在区间(2.+S)上恒成立即R+1.2,A+1.2,故女1的取值范围为AG(2)设()=/(x)-g()=-+1X2+A-323令CO=O得X=&或X=I由(1)知AM1.,当k=I时，,()=U-DjO,Mx在R上递增,明显不合题意当kI时,MX),伍X)随K的变更状况如下衣：X(-.Ar)k(.kA)1(1.+),()+OO+hx/极大值-1+(W623微小值口Z由于?0,欲使.及以刈的图象有三个不同的交点，即方程MX)=O有三个不同的实根，
16、故需喀+0,即(IX人2k-2)01J5综上，所求a的取值范围为5例7、解：(1)f(x)=3x.x2-6-.f,(x)=0r1.=OsJcv,=-.当a0时，a(70.0)递增.(0,2)递减.P,X)递增：aa当a0时X(-.0)0(0,2)a2a(2,)a八月+00+/(.V)增极大值减微小值增此时，极大值为/(0)=-3.极小值为f(2)=-W+-3.7分aa(a当a=1.因为线段AB及X轴有公共点aaaa所以/(O)fA(脚段二吗也0,解得aeTO)53,4aa例8、解：(I)r(x)=3-20r-4（三）由f(-I)=O得=：,二/(x)=x-8-40.=-22.-2区2.436.
17、6例9、解：(I)设切点P(XQ3.r(r)=32-2a+M=0,.3灯肛+3=0,因为存在极值点,所以A=4/-0,即12舫。(II)因为X=-1,x=3是方程fx)=3/-2x+6=O的根，所以4=3.b=-9,.f(x)=X3-3x2-9x+c0,3,.r-1；.f(x)O-1.t0?得：xg或)(,+).w(1.,+8)时，函数/(X)单调递增；设(XQJG)、)是*w(,+o)时，函数/(X)图像上随意两点,-S.V2X1则有力”过这两点的直线的斜率Jt=91.0例11、解：(1)Tr(X)=次1+6的股小值为-12,.”=-12,且0.(3)又直线6x+7=阴J斜率为一6,因此(1
18、)=%+/=-6,.,“=Zb=-12.(6)(2)由(1)/(x)=2xi-12x,.,(x)=Gx2-12=6(+211x-2),列表如下:XS,-)-2(-2,2)、】(2,+oo)f,+00/(*)极大值微小值所以，函数Fa)的单调增区间是(YO1.五)和(I,y)例12、解.：(1)由/(O)=I得C=I八*)=3/+/(F=3+=0,a=1.,b=-3：.1/(-1)=-ft+1.=3f(x)=xi-3x+1.(2) (x)=3(X-IXX+1)得x=T,X=I时取得极值.由-1w(r+3),1.e(+3)得2t-!,M=(-2.1)gi)=/+2.-3，g(x)=2.v亍，当XW
19、M时,XXX*g(x)0g(x)在/上递减.乂g(-2)=g,g(-I)=-3.函数g(x)=A4,xw/的零点有且仅有1个“例13、解：(I),()=32-6(*+1)x乂.,(4)=OjA=I(II),(r)=3-1.21.-t0;()1I1.ftfa)-1.=0,=-./=-/(.V)=-+-X-X（三）由(I)知，曲线)，=/*)及6464g(x)=-3X-m(-2WO)有两个不同的交点，BP1V1-.r-2a-;n=O在-2刈上有两个64不同的实数解。设例)=1-%-2af,则*K)=*.1,由d=O的x=4或x=T,当X(-NT)时0,(.r)0,于是Q(M在-2.-1上递增：当X
20、e(TO)时,(.r)0on0PO0m-.12例15、解：(1.)f(x)=32+2bx+c,由题知f(1.)=0n3+2b+c=0,f(D=-InI+b+c+2=-1.,.b=bc=-5,f(x)=xs+x2-5x+2,f(x)=3x2+2x5f(x)在一1为减函数，f(x)在(1,+8)为增函数.b=1.,c=-5符合题意即方程：=史怡有三个不同的实解：x3+x2-5x+2=k(x0)X即当XWo时，f(X)的图象及宜线y=k恰有三个不同的交点，由知f(X)在F暂为增函数，f(X)在FJ为减函数，f(X)在(1,+8)为增函数，又八_。)=型，f(1)3327=-1.,f(2)=2.TAy
21、箸旦k2例16、解：(1)由题意r(x)=-2x+“.当X=1.+i时，/(X)取得极值，所以r+i)=()/.(1+-2(1+)+=0.p=-1此时当x1.+&时，,()1.+5时，/()O,/(1+五)是函数/(X)的最小值。(2)设/(x)=g(x),则-x-x-3.v-Z=O=-.v,-x:-3x8分33设F(X)=1.T-3x,G(X)=bF1(X)=X2-2x-3,令F(加八2r-3=0解得X=T或x=3列3表如下:函数F(X)在(-31.1.)和(3.4)上增函数,在(-1.3)上F(x)一9/彳-9Zz-J是减函数。X=T时，F(x)有极大值F(F=I:当x=3时，F（八）有微
22、小值尸=-9函数/*)及g(x)的图象有两个公共点，.函数尸(幻及G(X)的图象有两个公共点或h=-9.e(-.-)U-93333题型三答案：例17、解：(1)由题意得：f(x)=3f:+2bx+c=3(x-1)(.v-3),(a1)上0;在(3,+oo)上八X)VO因此/(x)在用=1处取得微小值-4A=-I由联立得:b=6.,./(x)=-r1+6x2-9xc=-9(2)设切点QaJ)，F-)=rx*)=(-31+-9)x+-&)过(Tni)令g)=62-6rT2=6(尸-2)=0,求得：f=T=2,方程g()=0有三个根。由f(-)0-2-3+I2+9-m0n16(g(2)0(16-12
23、24+9-m-1.1.故：-1.1.n16;因此所求实数的范围为：例18、解:(1)函数/*)在X=2时取得一个极值，且r*)=3-2&t-4,.x=-2或=2时，r(x)=0,x2时，,(x)0.-x2,333/(t)+8-C=O有三个不同的实根.设Hr11)=2M-84-8%+8+c,则,(i)=6a)-16.v1.1.+8=0=o=a!cv1.,=2g(%)在y.：)上单调递增，在上单调2递减，在(2,钙)上单调递增，故M=%)得：-*c-81.=g2题型四答案：例19、解：依据导数的几何意义知/()=g=f+34由已知-2,4是方申F+gT=。的两个实根由韦达定理，?+：=:.1=J
24、x)=、.2(2)g(x)在区间T3上是单调递减函数，所以在-1.3区间上恒夕弋方f(x)=g(x)=x2+ax-b(),即/(x)=x+ar-Mo在一1.3区间上笆成丁9这只需满意Ef)即叽也即而“F产可视为平面区域1+“内的点/(3)40b-3a98一329到原点距离的平方由图知当：=/时，/+力有最小值13：6=3例20、解：(1)./()=；/+d-bx/.fx)=X1+2ax-5由题意得,fix)=-x3-2-3x,()=(x+I)(x-3),()=0i=-,x2=33由此可知3(3,+oo)0+微小值一9A(-,-)-1(-1.3),(x)+0-/(x)Z极大值；当X=-1时f(
25、x)取极大值I(2).y=(x)在H.2上是减函数/,(X)=+2c-0(-1,21上恒成立作出不等式组表示的平面区域如图当直线z=+6经过点P(-?,2)时z=+取最小值上22例21、解.：(I)由图象在(2,f(2)处的切线及X轴平行，知,(2)=0,n=-3n3分又nm,故”0.4分(11)令r(.v)=3nxi+2nx3mx1-6mv=0,得X=O或X=26分易证X=O是/(X)的极大值点，x=2是微小值点(如图).7分令/Xx)=/(0)=0，得x=0或x=3.8分分类：当0m3时，/(x)ma=/(0)=0,.w-rt2=0.由，解得卅=/符合前提03时，f(x)1MK=f(tn)
26、J+n,“J+nrn=tn-n.由,得m3-3m2+9m-1.=O.记g(w)=M+9w-1.,g(j)在K上是增函数,又j3,.*.g(m)g(3)=260,.g(i)=O在(3.+)上无实数根.综上，制的值为1=曰.题型五答案：例22、解：(【),(x)=1.-4*由导数的几何意义得了,=3,于是=-8由切点xP(2(2)在直线y=3x+1上可得-2+=7,解得b=9.所以函数/(x)的解析式为/()=X-号+9.X(II)解：IHX)=I4X当0时,明显Oo(XWO).这时/(X)在(yo,O,(0,+)上内是增函数.当0时,令f(x)=O,解得x=.当X变更时，/3/Cr)的变更状况
27、如下表:x(-.-,7)-JaV,0、(O,Ja)Ja(+co),(-v)+O-O+/(-O/X、微小值/所以/(X)在(-8,-6)，(4,+8)内是增函数，在(0,+OC)内是减函数.(in)解：由(11)知，/co在I1.I上的最大值为八3及7的较大者，对于随意44的引:.2,不等式”x)M1.o在J上恒成立，当且仅当“(本力,即，弓7,/(I)10b9-a对随意的c4.2成立.从而得b2,所以满意条件的人的取值范围是(to.口.244例23、解：(1)V/(X)=+x2-Zx+1.,(x)=x2+2r-b,j,()=1+2-b=I,由、可得，0.-2或”0,故”(-8.-2)11(0.
28、8)X(.1)Cv1.AT2)X2(x,+)f,(x)+OO+/(X)单调增极大值单调减微小值单调增=O(2)存在=-圣山(1)可知n.t)=.d+2at反如x)=0,二存在实如=-*使得函却(X)的微小值为1.%aQ例24、解：(1)/(x)=df+c,f(O)=OJ解得4=%=%=0。从而/(x)=，*-：11-”。.,f(x)No在R上恒成立，(2)由(1)知，,(x)=4-v2-v+7-.h()=-i-bx+424424不等式rco化为-：x+；+；即X2-(+b)x+-):，则不等式/(r)+/J(X)o解为(x方：(b)若b=T，则不等式)+r()o解为空集；(O若；,则不等式r
29、0)+f()整理得(I1.)解：/(x)=-t(x-0)2=-x5+2r-azxf(x)=-3x2+4r-a=-(3x-a)(x-).令八处=0,解得X.或.由于0,以下分两种状况探讨.(1)若a0,当Xa更时，/(X)的正负如下表：XDa3停”)a(.+)/(X)O+O因此,函数人外在Y处取得微小值)，且/=一%；函数f(x)在X=a处取得极大值/（八）,且/（八）=O.(2)若a3,W-1当Ag-1,0时，-cosI)k2-cos2x1.由（三）知，/3在(q,1.上是减函数，要使/(k-COSK)2/尚-cos、)，XGR只要火一CoSXWy-cos-(R)KPcosx-cosk2-k(xeR)设8(X)=cos2Xcos-V=(COV,则函数g(x)在R上的最大值为2.要使式恒成立，必需心T22,即人三2或火WT.所以，在区间kIM上存在A=T,使得/(A-COSX)/(3-COST)对随意的XGR恒成立.
