高中数学论文：巧用“构造法”解决高中数学问题.doc

巧用“构造法”解决高中数学问题以构造为题材的试题，已成了高考中的一个亮点，同时也成了数学教学研究的热点. 所谓数学上的构造法，就是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题从一般到特殊，从抽象到具体，从陌生到熟悉，得以解决.运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力大有帮助. 下面就如何运用构造法解题作如下说明：1、构造函数例1 （全国高考题）已知是正整数，且，求证：.证明 且正整数， ，设，则.由知， ， ， 即是单调递减函数，又， ，故有 ， 即 .解后反思 本题采用二项式定理证明也不难，但构造函数用导数法证明亦属易事，这种解题的思维具有一定的创造性. 从中说明“构造函数”的解题方法给学生创新思维的培养与发展提供了一个广阔空间，需要不断去探索、总结、发展. 教师在教学中应鼓励学生大胆尝试、主动参与、积极探讨，让他们在观察、分析、思考与运用中不断提高.2、构造数列例2 已知，求证：.证明 构造数列，使，下面只要证明. ， ， 即，所以， 即 .同理可证 .解后反思 本例的思路还是比较法，但由于作差后得到一个变式，符号难以判断，但它是关于自然数的整式，可以联系到数列，再利用数列的增减性，可以获证.3、构造向量例3 （“希望杯”试题）求函数的最大值.解 设 则， ， ，由 得 ，.又 ， .，即 的最大值为.解后反思 本例通过构造三维向量，利用向量数量积的定义及性质来求最大值，大大降低了本题求最大值的难度.在求最值中，巧妙构造适当的向量，会收到直观明快、出奇制胜的效果，同时也体现了向量解决问题的优越性.4、构造图形例4 求值：.解 构造使 ，由余弦定理得：，又由正弦定理得：（其中为外接圆的半径）. ， ， . 例5 若，求证：.分析 由关系式 和余弦定理，联想到构造三棱锥PABC，使 ，由两边之和大于第三边知，原不等式成立.解后反思 注意到例4原式即为：，此表达式结构特点，令人迸发创新思维，联想到构造三角形，再利用正、余弦定理分析求值. 随着例4的思路，例5的三个表达式很容易想到构造三棱锥PABC，成为一个立体图形.通过图形构造，把代数问题转化成几何问题，数形结合形象生动地说明数量关系.5、 构造模型例6 如图，在中，D、E三等分BC，F为AC的中点，求与的面积的比. 解 构造杠杆模型求解. 先在A、B、C处分别配置质量为1，2，1个单位的3个质点，因D、E三等分BC，且F为AC中点知B、C的质量中心在D，代表的质量是3. A、C的质量中心在F，代表的质量是2.因A、B、C三点的质量中心应在直线AD上，也应在直线BF上，故AD与BF的交点M是A、B、C三点的质量中心. A、D分别具有质量1及3，据杠杆原理，有AM：MD=3：1， AM：AD=3：4.同理重新配制A、B、C三点的质量分别是2、1、2个单位，可得AN：AE=3：5. . 又 ， 与的面积之比是.解后反思 本例根据题目已知条件，运用已掌握的数学知识和物理知识建立杠杆模型加以求解，增加了学科之间的联系，同时把这门高度抽象的基础学科与实际生活紧密地联系在一起，在实际中渗透数学思想.从以上数例可以看出，构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法. 运用构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益.