教师资格考试《高中数学学科知识》专项试题.doc

教师资格考试高中数学学科知识专项试题2解析几何解答题1、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 （1）求此时椭圆G的方程； （2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由2、已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为. （）求的取值范围，并求的最小值；（）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.3、已知抛物线的焦点为F，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点A关于轴的对称点为D （1）求抛物线的方程。（2）证明：点在直线上；（3）设，求的面积。4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点（2，3）、在该椭圆上，线段的中点在直线上，且三点不共线 (I)求椭圆的方程及直线的斜率； ()求面积的最大值5、设椭圆的焦点分别为、，直线： 交轴于点，且 （）试求椭圆的方程； （）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示），若四边形的面积为，求的直线方程6、已知抛物线P：x2=2py (p>0)（）若抛物线上点到焦点F的距离为（）求抛物线的方程；（）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F7、在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.8、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值9、过抛物线C:上一点作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。（1）求证：直线AB的斜率为定值；（2）已知两点均在抛物线：上，若的面积的最大值为6，求抛物线的方程。10、已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为 （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值； （2）求的值。11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(ab0)的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使 (i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求OA2+OB212、已知圆的圆心为，一动圆与圆内切，与圆外切。（）求动圆圆心的轨迹方程； （）（）中轨迹上是否存在一点，使得为钝角？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由13、已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足若点满足()求点的轨迹的方程；()设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由14、在平面直角坐标系中，已知圆B：与点，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）曲线C与轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线为常数，且）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为，求的值（用表示）。答案：1、解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心1分故该椭圆中即椭圆方程可为3分设H（x,y）为椭圆上一点，则4分若，则有最大值5分由（舍去）(或b2+3b+9<27,故无解)6分若7分由所求椭圆方程为8分（1） 设，则由 两式相减得又直线PQ直线m 直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，11分由得Q（）12分而Q点必在椭圆内部，由此得,故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称 14分2、解：（）与圆相切, 由 , 得 , ,故的取值范围为.由于， 当时，取最小值. 6分（）由已知可得的坐标分别为， ，由，得 ， 为定值. 12分3、解：（1） 设，的方程为（2）将代人并整理得，从而 直线的方程为 ，即 令所以点在直线上（3）由知，因为 ，故 ，解得 所以的方程为又由知 故4、解：（I）设椭圆的方程为，则，得，.所以椭圆的方程为.3分设直线AB的方程为(依题意可知直线的斜率存在)，设，则由，得,由，得，设,易知，由OT与OP斜率相等可得，即，所以椭圆的方程为，直线AB的斜率为.6分（II）设直线AB的方程为，即，由得，.8分.点P到直线AB的距离为. 于是的面积为10分设，其中.在区间内，是减函数；在区间内，是增函数.所以的最大值为.于是的最大值为18.12分5、解：（）由题意， -1分 为的中点-2分 即：椭圆方程为 -3分 （）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积不符合题意故舍掉；-4分同理当与轴垂直时，也有四边形的面积不符合题意故舍掉； -5分 当直线，均与轴不垂直时，设:， 代入消去得： -6分设 -7分所以 ， -8分所以 ， -9分同理 -11分所以四边形的面积由， -12分所以直线或或或 -13分6、解：（）（）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F的距离与到准线距离相等，即到的距离为3； ，解得 抛物线的方程为 4分（）抛物线焦点，抛物线准线与y轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为由， 消y得， 6分，解得 7分切线方程为 8分（）直线的斜率显然存在，设：，设，由 消y得 且 ，； ， 直线：， 与联立可得， 同理得 10分 焦点， ， 12分 以为直径的圆过焦点 14分7、解：（1）由题意可得， 2分所以，即 4分即，即动点的轨迹的方程为 5分（2）设直线的方程为,，则.由消整理得， 6分则，即. 7分. 9分直线 12分即所以，直线恒过定点. 13分8、解：（）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以， 1分又椭圆的离心率为，即，所以， 2分所以，. 4分所以，椭圆的方程为. 5分（）方法一：不妨设的方程，则的方程为.由得， 6分设，因为，所以， 7分同理可得， 8分所以， 10分， 12分设，则， 13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 14分方法二：不妨设直线的方程.由 消去得， 6分设，则有，. 7分因为以为直径的圆过点，所以 .由 ，得 . 8分将代入上式，得 . 将 代入上式，解得 或（舍）. 10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以. 12分设，则.所以当时，取得最大值. 14分9、解：（1）不妨设5分（2）AB的直线方程为：点M到AB的距离。7分 9分又由且 11分设为偶函数，故只需考虑，所以上递增，当时，。 故所求抛物线的方程为13分10、（）解：由题意椭圆的离心率，所以，故椭圆方程为， 3分则直线， 故或， 当点在轴上方时， 所以， 当点在轴下方时，同理可求得， 综上，为所求 6分 ()解：因为，所以， 椭圆方程为,直线，设， 由消得， 所以8分 故 由，及，9分得，将代入上式得，10分注意到，得，11分所以为所求 12分11、解：(1)依题意，得 c=1于是，a=，b=1 2分所以所求椭圆的方程为 4分(2) (i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则， 又设M(x，y)，因，故 7分因M在椭圆上，故整理得将代入上式，并注意，得 所以，为定值 10分(ii)，故又，故所以，OA2+OB2=3 16分12、解: （）设动圆P的半径为r,则两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为，实轴长为4的椭圆其方程为 6分（）假设存在，设（x,y）.则因为为钝角，所以，又因为点在椭圆上，所以联立两式得：化简得：，解得：13、解：() 椭圆右焦点的坐标为， (1分)，由，得 (2分)设点的坐标为，由，有，代入，得 (4分)（）解法一：设直线的方程为，、，则， (5分)由，得， 同理得 (7分)，则 (8分)由，得， (9分)则 (11分)因此，的值是定值，且定值为 (12分) 解法二：当时， 、，则， 由 得点的坐标为，则由 得点的坐标为，则 (6分)当不垂直轴时，设直线的方程为，、，同解法一，得 (8分)由，得， (9分)则 (11分)因此，的值是定值，且定值为 (12分)，所以存在。 13分14、解：(1)连接，由题意得，所以，2分由椭圆定义得，点的轨迹方程是.4分(2)设，则，的斜率分别为，则，6分所以直线的方程为，直线的方程，8分令，则，10分又因为在椭圆，所以，所以，其中为常数.14分