分类思想在初中数学教学中的渗透.doc

分类思想在初中数学教学中的渗透摘要：分类思想是一种重要的数学思想，在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁为简，化难为易，分而治之的目的，这是学习任何科学，包括数学学习的一种科学方法。本文从教学实践出发从三个方面：“1、有意识地分阶段渗透分类讨论思想2、启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质3、创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想。”阐述了分类思想在初中教学中的渗透。义务教育初中数学指导纲要中指出，初中数学的基础知识主要是“初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理以及由内容所反映出来的数学思想和方法。”学生从小学进入初中，数学学科不论是学习内容、学习方法，还是思维方法都发生很大变化，解决数学问题的思想方法将得到不断的充实更新。渗透在数学概念和方法中的数学思想需要在教学中充分的挖掘和应用，成为教学目标的不可缺少的组成部分。分类讨论是一种重要的数学思想，在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的，这是学习任何科学，包括数学学习的一种科学方法。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，就可以培养学生的综合分析能力和思维的条理性、严谨性和完整性，提高和发展他们的思维能力。一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。分类讨论一般应遵循以下的原则：1） 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准。2） 分类要完整：不重复，不遗漏。3） 有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。数学思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，因此，我们要有机地利用数学学习过程进行渗透，不断加以归纳、提炼、强化。这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学。比如学习分类思想，要明确分类思想方法具体分散在哪些章节的哪些知识的教学中，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。 一、有意识地分阶段渗透分类讨论思想初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。初一数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数或将有理数分为整数、分数。让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复，不遗漏；标准不同则分类不同的基本原则。此时可提出问题“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a<0三种情况考虑。在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括出a>0， a=0， a<0时，应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题。例如去掉，中的绝对值符号，在解题的过程使学生体会分类讨论的思想方法，学会初步应用。在学习有理数加法的教学时应进一步渗透这一思想。首先让学生讨论：在引入负数后，有理数的加法会出现几种情况？请学生举例说明。学生归纳出有理数相加的几种类型，如（+100）+（+50），（-50）+（-100），（+100）+（-50），（-100）+（+50），至于（+100）+（-100）可能是学生想不到的，可在以后教学活动中逐步产生，但像（+100）+0，（-50）+0则应该让学生补充完整。然后让学生思考：怎样计算以上两个有理数相加呢？可让学生根据生活中具体的例子，如飞机的两次运动（规定上升为正，下降为负）来找出正确答案。然后让学生考虑：如果把两数的和从符号和绝对值两个方面思考，判断和的符号与加数的符号有什么关系？和的绝对值与加数的绝对值有什么关系？归纳出几条法则后，提出新的问题：有没有两个有理数之和为零？这一运算是否已包含在我们已经归纳出的几条法则内？为什么？从而使学生体会分类的完整性和严谨性。这个让学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程。使学生在学习知识的过程中体会：为什么要分类？（是因为一个问题存在几种不同的情况，不能一概而论）及分类的基本原则（分类要完整，不重不漏）。在随后的去括号法则、有理数的乘法、乘方的教学中均可仿照此方法渗透分类的思想。在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟出和接受解决问题中的分类讨论的思想，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法。 二、启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质 分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合大纲要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质。例1 方程kx2-2x+3=0有几个实数根？学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k0两类讨论。当k0时，再分>0，=0，<0三种情况进行讨论。例2 二次函数y=a（x-1）2+m的图像过哪几个象限？这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。这两道例题是初中数学的常见习题，在教学中引导学生思考此类问题，一方面渗透分类思想，一方面通过具体的实例使学生体会分类的实质为：化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之；其次，有时分类并不是一次就可完成，需逐级分类AOBCAABCDOBOCD例3 初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。只有通过学生的活动，才能体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，这是常用分类的方法。教材在第六册弦切角的定理的证明时，再一次用到这一方法。此时，可试着让学生自己分类证明。在此阶段的教学中，应结合具体的例题，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。使学生进一步加深对分类讨论的理解。三、创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想分类讨论的思想对学生的能力要求较高，除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会，得到强化，克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生的综合运用这种数学思想解题的能力。在教学中应边学习边总结，使学生明确引起分类讨论的原因，增强学生自觉应用分类讨论的意识。在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：1、有些知识本身是分类定义和概括的。如绝对值的定义、一元二次方程根的判别式等2、数和式的变形中需要附加条件3、研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解4、涉及几何图形的形状和位置的问题5、开放性的数学问题6、一般得，当问题的条件特别少时，需要分类以补充条件的情况例4 解方程： 分析：该题是含有绝对值的方程，怎样去掉绝对值的符号化为一般的一元一次方程为解题的关键。由绝对值的定义，求出各绝对值的零点：2，-3，把数轴分成三段：x2，-3<x<2，x-3，就可去掉绝对值转化为我们能解的方程。该题通过分段讨论，将一个复杂的含绝对值的问题转化为不含绝对值的方程求解。例5 当a为何值时，方程只有一个实数根？求满足条件的实数a的值及方程的根。分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：1） 化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根 为增根。OBCEDAF图2OBCEDAF图3F´´DFF´OBCEDAF图1例6 如图：O是等边三角形ABC的外接圆，D是BC上异于B、C的一点，1）在CD的延长线上取一点E，使DE=BD，求证：BDE是等边三角形；2）若BD与DC的度数的比为13，O的的半径为1，取点F，使DCF为等腰钝角三角形，试指出这时DF的长或其取值范围。分析：该题的第二问求使DCF为等腰钝角三角形时的DF的长或取值范围，并没有指出哪一个角为钝角，因此要分类讨论F或D或C为钝角时，DF的长或其取值范围。若F为钝角，DC为等腰钝角DCF的底边时，（如上图1） 则<DF<1；若D为钝角，DC为等腰钝角DCF的腰时，（如上图2） 则DF=DC=若C为钝角，DC为等腰钝角DCF的腰时，（如上图3）若DCF要为等腰钝角三角形，则DF必须夹在 DF´和DF´´之间， 则2<DF<。在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：1、 等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？2、 O的半径为5cm，AB和CD为O中的两条平行弦，求AB和CD间的距离？如果不在教学中予于强化，大多数同学往往不会进行分类讨论。因此，在平时教学中要创设情景，培养学生自觉应用分类讨论的意识。例7 已知抛物线y=x2+x+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，得到ABC，试根据m的取值范围把ABC按角分类。BCxyA图5BCxyA图4分析：该题可先从图形的位置的不同分为两类：抛物线与x轴的交点在x轴的同侧，该三角形为钝角三角形；抛物线与x轴的交点在X轴的两侧时，再分直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类考虑。这时可以直角三角形为突破口，若ABC为直角三角形，则OAOB=OC2，由此得到若ABC为钝角三角形，则OAOB>OC2，若ABC为锐角三角形，则OAOB<OC2从而推出m的范围。这道例题并不是一次分类就可完成的，需要逐级分类且在分类中应用了由特殊推广到一般的分类方法，具有一定的代表性。总之，在日常教学中要根植于课本，着眼于提高，注意数学思想的渗透和强化，这将有助于提高学生分析问题，解决问题的能力，有助于提高学生的数学能力和数学水平，从而有助于培养学生良好的思维品质，从而尽快适应高中阶段的学习。