2020高考数学大一轮复习第四章平面向量课下层级训练26平面向量的数量积及应用举例含解析文新人教A版.pdf

课下层级训练(二十六) 平面向量的数量积及应用举例课下层级训练(二十六) 平面向量的数量积及应用举例 A 级 基础强化训练 1已知(2,1)，点C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为( )AB AB CD A B3 3 2 2 5 C D3 3 2 2 5 C C 因为点C(1,0)，D(4,5)，所以(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向CD AB AB CD 上的投影为|cos， .AB AB CD AB ·CD |CD | 15 5 2 3 2 2 2设向量a a，b b满足|a ab b|，|a ab b|，则a a·b b( )106 A1B2 C3 D5 A A 由条件可得，(a ab b)210，(a ab b)26，两式相减得 4a a·b b4，所以a a·b b1. 3已知向量a a(，1)，b b(0,1)，c c(k，)，若a a2b b与c c垂直，则k( )33 A3B2 C1 D1 A A 因为a a2b b与c c垂直，所以(a a2b b)·c c0，即a a·c c2b b·c c0，所以k233 0，解得k3.3 4已知平面向量a a(1,2)，b b(4,2)，c cma ab b(mR R)，且c c与a a的夹角等于c c与b b 的夹角，则m( ) A2B1 C1 D2 D D a a(1,2)，b b(4,2)， c cma ab b(m4,2m2)， |a a|， |b b|2， a a·c c55 5m8，b b·c c8m20. c c与a a的夹角等于c c与b b的夹角， ，解得m2. c c·a a |c c|·|a a| c c·b b |c c|·|b b| 5m8 5 8m20 2 5 5 已知F1，F2分别为椭圆C：1 的左、 右焦点， 点E是椭圆C上的动点， 则· x2 9 y2 8 EF1 的最大值、最小值分别为( )EF2 A9,7B8,7 C9,8 D17,8 B B 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)( 3x3)， 则(1x， y)，(1x， y)， 所以·x21y2x218x2EF1 EF2 EF1 EF2 8 9 7，所以当x0 时，·有最小值 7，当x±3 时，·有最大值 8. x2 9 EF1 EF2 EF1 EF2 6(2016·全国卷)设向量a a(m,1)，b b(1,2)，且|a ab b|2|a a|2|b b|2，则m _. 2 |a ab b|2|a a|2|b b|22a a·b b|a a|2|b b|2，a a·b b0. 又a a(m,1)，b b (1,2)，m20，m2. 7(2018·安徽合肥检测)若非零向量a a，b b满足|a a|1，|b b|2，且(a ab b)(3a ab b)， 则a a与b b夹角的余弦值为_. 由(a ab b)(3a ab b)可得(a ab b)·(3a ab b)0，又|a a|1，|b b|2，则可得a a·b b 1 4 ，设a a，b b的夹角为，0，则 cos . 1 2 a a··b b |a a|·|b b| 1 4 8已知在直角三角形ABC中，ACB90°，ACBC2，点P是斜边AB上的中点，则 ··_.CP CB CP CA 4 由题意可建立如图所示的坐标系 可 得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)， 则·· (1,1)·(0,2)CP CB CP CA (1,1)·(2,0)224. 9已知|a a|4，|b b|8，a a与b b的夹角是 120°. (1)计算：|a ab b|，|4a a2b b|； (2)当k为何值时，(a a2b b)(ka ab b) 解 由已知得，a a·b b4×8×16. ( 1 2) (1)|a ab b|2a a22a a·b bb b2162×(16)6448， |a ab b|4.3 |4a a2b b|216a a216a a·b b4b b216×1616×(16)4×64768， |4a a2b b|16.3 (2)(a a2b b)(ka ab b)，(a a2b b)·(ka ab b)0， ka a2(2k1)a a·b b2b b20， 即 16k16(2k1)2×640，k7. 即k7 时，a a2b b与ka ab b垂直 10已知向量a a(cos x，sin x)，b b(3，)，x0，3 (1)若a ab b，求x的值； (2)记f(x)a a·b b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 解 (1)因为a a(cos x，sin x)，b b(3，)，a ab b，3 所以cos x3sin x.3 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾， 故 cos x0.于是 tan x. 3 3 又x0，所以x. 5 6 (2)f(x)a·ba·b(cos x，sin x)·(3，)3 3cos xsin x2cos.33 (x 6) 因为x0，所以x， 6 6 ，7 6 从而1cos， (x 6) 3 2 于是，当x，即x0 时，f(x)取得最大值 3； 6 6 当x，即x时，f(x)取得最小值2. 6 5 6 3 B 级 能力提升训练 11设a a，b b为单位向量，且a ab b，若向量c c满足|c c(a ab b)|a ab b|，则|c c|的最大 值是( ) A2B22 C D12 A A 由题意结合a ab b， 可设a a(1,0)，b b(0,1)，c c(x，y)， 则由|c c(a ab b)|a ab b|， 得|(x，y)(1,1)|(1，1)|，由此可得(x1)2(y1)22， 即c c对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示 圆过原点，|c c|的最大值为圆的直径 2.2 12(2017·全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上若，则的最大值为( )AP AB AD A3B2 2 C D25 A A 建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1) 设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD CD1，BC2， BD，12225 EC， BC·CD BD 2 5 2 5 5 即圆C的半径为， 2 5 5 P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2 . 4 5 设P(x0，y0)，则Error!(为参数)， 而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)AP AB AD (0,1)(2,0)(2，)，AP AB AD x01cos ，y01sin . 1 2 5 5 2 5 5 两 式 相 加 ， 得 1sin 1cos 2 sin()3 2 5 5 5 5 ， (其中sin 5 5 ，cos 2 5 5) 当且仅当2k，kZ Z 时，取得最大值 3. 2 13已知|a a|2|b b|，|b b|0，且关于x的方程x2|a a|xa·ba·b0 有两相等实根，则 向量a a与b b的夹角是_. 由已知可得|a a|24a·ba·b0， 2 3 即 4|b b|24×2|b b|2cos 0，cos . 1 2 又0，. 2 3 14已知向量a a，a ab b，a ab b，若OAB是以O为直角顶点的等腰 ( 1 2， 3 2) OA OB 直角三角形，则OAB的面积为_. 1 由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以，|OA OB |.OA OB 由，得(a ab b)·(a ab b)|a a|2|b b |20，OA OB 所以|a a|b b |1，由|，得|a ab b |a ab b |，OA OB 所以a a·b b0. 所以|a ab b|2|a a|2| b b |22， 所以|，故SOAB ××1.OB OA 2 1 2 22 15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)·c·.2BA BC CB CA (1)求角B的大小； (2)若|，求ABC面积的最大值BA BC 6 解 (1)由题意得(ac)cos Bbcos C2 根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2 所以sin Acos Bsin(CB)，2 即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以 sin A0，所以 cos B，又B(0，2 2 2 )，所以B. 4 (2)因为|，所以|，BA BC 6CA 6 即b， 根据余弦定理及基本不等式得 6a2c2ac2acac(2)ac(当6222 且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，2 故ABC的面积Sacsin B， 1 2 3 21 2 即ABC的面积的最大值为. 3 23 2 16已知平面上一定点C(2,0)和直线lx8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足 为Q，且·0. (PC 1 2PQ ) (PC 1 2PQ ) (1)求动点P的轨迹方程； (2)若EF为圆Nx2(y1)21 的任意一条直径，求·的最值PE PF 解 (1)设P(x，y)，则Q(8，y) 由·0， (PC 1 2PQ ) (PC 1 2PQ ) 得|2 |20，PC 1 4 PQ 即(2x)2(y)2 (8x)20，化简得1. 1 4 x2 16 y2 12 所以动点P在椭圆上，其轨迹方程为1. x2 16 y2 12 (2)易知， ，PE PN NE PF PN NF 且0，由题意知N(0,1)，NE NF 所以· 22(x)2(1y)21 PE PF PN NE 16(y1)21y22y16 (1 y2 12) 1 3 (y3)219. 1 3 因为2y2，33 所以当y3 时，·取得最大值 19，PE PF 当y2时，· 取得最小值 124.3PE PF 3 综上，·的最大值为 19，最小值为 124.PE PF 3