专题13 计数原理-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学（理） Word版含解析.pdf

专题 13 计数原理 1【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12B16C20 D24 【答案】A 【解析】由题意得 x3的系数为，故选 A 31 44 C2C4812 【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 2【2019 年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项 9 ( 2)x 的个数是_ 【答案】 16 2 5 【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为 9 ( 2)x 9 19 C ( 2)(0,1,29) rrr r Tx r 0r ；若展开式的系数为有理数，则，有共 5 个项故 09 19 C ( 2)16 2T 1,3,5,7,9r= 246810 T , T , T , T , T 答案为：， 16 2 5 【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次， 计算要细心，确保结果正确 3【2019年高考江苏卷理数】设已知 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN 2 324 2aa a （1）求n的值； （2）设，其中，求的值(13)3 n ab * , a bN 22 3ab 【答案】（1）；（2）5n 32 【解析】（1）因为， 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以， 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为， 2 324 2aa a 所以， 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn 解得5n （2）由（1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一：解法一： 因为，所以， * , a bN 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab 从而 2222 3763 4432ab 解法二：解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为，所以 * , a bN 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力 4 【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试】 已知二项式的展开式中第 2 1 2(*) n xn x N 项与第 3 项的二项式系数之比是 25，则的系数为 3 x A14BC240D14240 【答案】C 【解析】二项展开式的第项的通项公式为，1r 1 1 C2 r n r r rn Tx x 由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 25，可得：即， 12 C :C2:5 nn 22 (1)5 n n n 解得或（舍去）所以，6n 0n 3 6 6 2 16 C 21 r r rr r Tx 令，解得，所以的系数为故选 C 3 63 2 r2r = = 3 x 2 26 2 6 C 21240 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属 于中档题 5【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）】已知的展开式中各项系数 5 1 (1)(2) a x xx 的和为 2，则该展开式中常数项为 AB CD 80404080 【答案】D 【解析】令1，得展开式的各项系数和为， x 5 1 (1)(2) 11 a 1a ，12a 1a= ， 55 111 1212 a xx xxxx 55 111 22xx xxx 所求展开式中常数项为的展开式的常数项与项的系数和， 5 1 2x x x 展开式的通项为， 5 1 2x x 555 2 155 1 C)( 1) ( )( 1) 2(2C rrrrrrrr r Txx x 令得；令，无整数解，521r2r = =520r 展开式中常数项为，故选 D 2 5 8C80 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题 二项展开式定理的问题也 是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二 项展开式的通项公式； （可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数 1 Cr n rr rn Tab 和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用 6【山东省淄博市 2019 届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】展开式的常数项为 8 3 1 x x AB CD 56285628 【答案】D 【解析】展开式的通项公式为， 8 3 1 x x 4 8 8 3 188 3 1 C()C( 1) r rrrrr r Txx x 令，得，所求常数项为：，故选 D 4 80 3 r6r 66 8 C( 1)28 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题 7【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试】安排，共 6 名义工照顾甲，乙，ABCDEF 丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，A 义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有B A30 种B40 种C42 种D48 种 【答案】C 【解析】名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：种安排方法，6 22 64 C C90 其中照顾老人甲的情况有：种，A 12 54 C C30 照顾老人乙的情况有：种，B 12 54 C C30 照顾老人甲，同时照顾老人乙的情况有：种，AB 11 43 C C12 符合题意的安排方法有：种，故选 C903030 1242 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解 8【上海市浦东新区 2019 届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式展开式 6 1 (2) 2 x x 的常数项为第_项 【答案】4 【解析】由二项式展开式的通项公式得：Tr+1（2x）6r（）r（1）r262rx62r， 6 Cr 1 2x 6 Cr 令 62r0，得 r3，T4为常数项，即二项式展开式的常数项为第 4 项，故答案为：4 6 1 (2) 2 x x 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题 9【河北省唐山市 2019 届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中 甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_种（用 数字作答） 【答案】660 【解析】若甲校 2 人，乙、丙、丁其中一校 2 人，共有种， 223 643 C C A 若甲校 3 人，乙、丙、丁每校 1 人，共有种，则不同的分配方案共有+种， 33 63 C A 223 643 C C A 33 63 C A660 故答案为：660 【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题 10【上海市交大附中 2019 届高三高考一模试卷数学试题】已知 ，且 232* 012 1111 nn n xxxxaa xa xa xnN（）（） （）（）（） ，那么的展开式中的常数项为_ 012 126 n aaaa 1 n x x （） 【答案】20 【解析】， 232* 012 1111 nn n xxxxaa xa xa xnN（）（） （）（）（） 令， 可得， ， 1x 21 012 2 1 2 22222 1 2 n nn n aaaa （） 1 22126 n 6n ， 那么，即的展开式的通项公式为， 1 n x x （） 6 1 x x （） 3 16 C1 rrr r Tx （） 令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：2030r3r 3 6 C20 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键， 属于基础题 11【江西省南昌市南昌外国语学校 2019 届高三高考适应性测试数学试卷】设为正整数， m 2m xy 展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为， 若， 则 21m a xy ，b158abm _ 【答案】7 【解析】 展开式中二项式系数的最大值为， 2m xy 2 Cmma 展开式中二项式系数的最大值为， 21m xy 1 21 Cmmb 因为，所以，即，解得158ab 1 221 15C8C mm mm (2 )!(21)! 158 ! !(1)! mm m mm m 7m 【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数 的最大值 12【北京市首都师范大学附属中学 2019 届高三一模数学试题】若展开式中的二项式系数和为 2 1 n x x （） 64，则等于_，该展开式中的常数项为_n 【答案】6 15 【解析】由展开式中的二项式系数和为 64，可得，解得， 2 1 n x x 264 n 6n 的展开式的通项公式为， 6 22 11 n xx xx 12 212 3 166 CC rrrrr r Txxx 令，解得，故该展开式中的常数项为，1230r4r 42 66 CC15 本题正确结果为：6，15 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系 数的性质，属于中档题 13【广东省 2019 届高三六校第一次联考数学试题】若，则的展开式中 0 2sinc(s )oaxx dx 6 a x x （） 常数项为_ 【答案】240 【解析】， 0 0 2sincos( 2cossin )(|()20)( 20)4axx dxxx 展开式的通项公式为， 6 4 x x （） 6 3 6 6 2 166 4 C41 C r r r rrrr r Txx x （） 令，即 3 -60 2 r 4r 的展开式中，常数项是，故答案为 240 6 4 x x （） 6 444 6 41 C =240 （） 【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系 数是解题关键 14 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】 二项式的展开式中，00 n b axab x ， 设“所有二项式系数和”为 A，“所有项的系数和”为 B，“常数项”值为 C，若，则25670ABC， 含的项为_ 6 x 【答案】 6 8x 【解析】 依题得， 所以 n=8， 在的展开式中令 x=1， 则有， 所以 a+b=2， 2256 n n b ax x 8 256ab 又因为展开式的通项公式为，令 n b ax x 88 8 2 188 CC r rr rrrr r b Taxab x x 所以得到（舍），当时，由得 8204rr 444 8 C7011a babab ，1ab 2ab 所以令，所以，故答案为： 1ab8261rr 166 28 C8Txx 6 8x 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： （1）求展开式中的特定项可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可 （2）已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由特定项 得出 r 值，最后求出其参数 15【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）】设在，则展开 2 0 |sin|nx dx 1 2 (1)nx x 式中的系数为_ 2 x 【答案】8 【解析】由题意， 22 0 2 00 |sin|sin|sin|sin( sin )nx dxx dxx dxxdxx dx ，的通项公式为， 2 0 coscos4xx 4 (1) x 4 144 C1C rrrrr r Txx 当时，当时，故2r = = 222 34 C6Txx3r 333 44 C4Txx 展开式中的系数为故答案为： 1 2 (1)nx x 2 x 4( 2) 68 8 【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出值，是解题的关键 n 16【湖南省师范大学附属中学 2019 届高三考前演练（五）】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察 时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略为配合国家精准扶贫战略，某省 示范性高中安排 6 名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所 学校至少 1 人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_ 【答案】360 【解析】方法 1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少 1 人，可分四种情况： （1）甲校安排 1 名教师，分配方案种数有； 1142232 5542532 C C C AC C A150（） （2）甲校安排 2 名教师，分配方案种数有； 213222 543242 CC C AC C140（） （3）甲校安排 3 名教师，分配方案种数有； 3122 5322 C C C A60 （4）甲校安排 4 名教师，分配方案种数有； 411 521 C C C10 由分类计数原理，可得共有（种）分配方案150 14060 10360 方法 2：由 6 名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为 4，1，1；3，2，1；2，2，2， （1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有种，其余 5 名分成一人组和 1 2 C 四人组有种，共（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有 42 52 C A 421 522 C A C20 312 522 C C A40 （种），则第一种情况共有（种）；204060 （2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有（种），李老师分配到三人组有 3221 5222 C C A C40 （种），李老师分配到两人组有（种），所以第二种情况共有 2212 5222 C C C A120 1132 5242 C C C C80 （种）；4080 120240 （3）对于第三种情况，共有（种）； 1122 5242 C C C C60 综上所述，共有（种）分配方案6024060360 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类 讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 17【上海市复旦大学附属中学 2019 届高三高考 4 月模拟试卷数学试题】袋中装有 5 只大小相同的球，编 号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 若从该袋中随机地取出 3 只， 则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_ （结果用最简分数表示） 【答案】 2 5 【解析】从 5 只球中随机取出 3 只，共种情况， 3 5 C10 而取出的 3 只球的编号之和为奇数，有 2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种情况， 若取出 3 只球中有 2 只偶数 1 只是奇数，则有种情况， 12 32 C C3 若取出的 3 只球中有 3 只是奇数则有种情况， 3 3 C1 所以取出的球的编号之和为奇数的概率为 123 323 3 5 C CC42 C105 故答案为： 2 5 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运 用 18【河北省衡水市 2019 届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为 1，2，3，4 的四个座位， 甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙 不能相邻，则所有选座方法有_种（用数字作答） 【答案】8 【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻， 1 4 C 所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种， 2 2 A 所以共有坐法种数为种故答案为：8 12 42 CA4 28 【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时 就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反 原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正 确解题