2020高考数学刷题首秧专题突破练5立体几何的综合问题文含解.pdf

专题突破练(5) 立体几何的综合问题专题突破练(5) 立体几何的综合问题 一、选择题 1已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 D 解析 “ab”不能得出“” ，反之由“”也得不出“ab” 故选 D 2如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，A1AAB2，BC1，AC，若规5 定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为( ) A B2 45 5 5 C4 D2 答案 A 解析 在ABC中，AC2AB2BC25， ABBC 作BDAC于D， 则BD为侧视图的宽， 且BD，侧视图的面积为S2×故选 A 2 × 1 5 25 5 25 5 45 5 3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共 5 条故选 C 4在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD将四边形ABCD沿对角线BD2 折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是( ) AACBD BBAC90° CCA与平面ABD所成的角为 30° D四面体ABCD的体积为1 3 答案 B 解析 ABAD1，BD， ABAD ABAD 平面ABD平面BCD，CD2 BD，CD平面ABD，CDAB，AB平面ACD，ABAC，即BAC 90°故选 B 5(2018·河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族 建筑中首创的榫卯结构， 这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合， 十分巧妙， 原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上 看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90 度榫卯起来，若正四棱柱体的高为 4，底面正 方形的边长为 1，则该鲁班锁的表面积为 ( ) A48 B60 C72 D84 答案 B 解析 复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得；如图所示： 投影面积为 4×21×210，共有 6 个投影面积，所以该几何体的表面积为 10×6 60故选 B 6 如图所示， 已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直， 平面ABC平面DEFG， 平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为( ) A2 B4 C6 D8 答案 B 解析 如图所示， 将多面体补成棱长为 2 的正方体， 那么显然所求的多面体的体积即为 该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V ×234故选 B 1 2 7(2018·湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为 2 的等边三角形， 俯视图是半圆(如图) 现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周 回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为( ) A B62 C D262 答案 B 解析 由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点A，M的 最短距离， 即为线段AM PAPB2， 半圆锥的底面半圆的弧长为 ， 展开图中的BPM ，APB，APM，在APM中，根据余弦定理有，MA22222 PB 2 3 5 6 2×2×2cos84()2， MA， 即蚂蚁所经过路程的最小值为 5 6 362626 ，故选 B2 8 已知圆锥的底面半径为R， 高为 3R， 在它的所有内接圆柱中， 表面积的最大值是( ) A22R2 B R2 9 4 C R2 D R2 8 3 5 2 答案 B 解析 如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相似三角形的比例关系， 得 ， 则PO13x， 圆柱的高为 3R3x， 所以圆柱的表面积为S2x22x·(3R3x) PO1 3R x R 4x26Rx，则当xR时，S取最大值，Smax R2故选 B 3 4 9 4 9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F 是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为( ) A B2 2 2 C D 2 2 2 答案 D 解析 在正方体ABCDA1B1C1D1中，依题意知，EFAD，所以异面直线AC1与EF所成角 为C1AD 连接C1D， 因为AD平面C1CDD1， 所以ADDC1， 设正方体的棱长为1， 则tanC1AD ，所以异面直线AC1与EF所成角的正切值为故选 D C1D AD 2 1 22 10(2018·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则异面 直线A1B与B1C所成角的余弦值为( ) A B C D 10 5 1 5 5 5 15 5 答案 B 解析 在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，可得A1DB1C，所以异面直线A1B与B1C 所成的角即为直线A1B与直线A1D所成的角，即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在 长方体ABCDA1B1C1D1中，设ABBC2AA12，则A1BA1D，BD2，在A1BD中，52 由余弦定理得 cosDA1B 故选 B A1B2A1D2BD2 2A1B·A1D 558 2 × 5 × 5 1 5 11 在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD 的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分， 则满足的实数的值有( )MQ MN A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案 C 解析 本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足 条件故选 C 12 (2019·四川第一次诊断)如图， 在 RtABC中， ACB90°，AC1，BCx(x0)，D 是斜边AB的中点，将BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD， 则x的取值范围是( ) A，2 B，2 2 2 33 C(0，2) D(0，3 答案 D 解析 由题意得，ADCDBD，BCx，取BC中点E，翻折前，在图 1 中，连 x21 2 接DE，CD，则DEAC ， 1 2 1 2 翻折后，在图 2 中，此时CBADBCDE，BCAD，BC平面ADE，BCAE， 又E为BC中点，ABAC1，AE，AD，在ADE中 ： 11 4x 2 x21 2 x21 2 1 2 ，5(舍去)，当x(0，2)时，V0，即在(0，2) 20 3 上，V(x)是增函数 ； 当x(2， 5)，V0， 即在(2， 5)上，V(x)是减函数， 所以当x2 时，V(x) 有最大值为 144 三、解答题 17 (2018·广东华南师大附中测试二)如图，AB为圆O的直径， 点E，F在圆O上，ABEF， 矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB2，EF1 (1)求证：平面DAF平面CBF； (2)设几何体FABCD，FBCE的体积分别为V1，V2，求V1V2的值 解 (1)证明：如图，在矩形ABCD中，CBAB， 平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB， CB平面ABEF， AF平面ABEF， AFCB， 又AB为圆O的直径， AFBF， CBBFB，CB，BF平面CBF， AF平面CBF， AF平面DAF，平面DAF平面CBF (2)几何体FABCD是四棱锥，FBCE是三棱锥，过点F作FHAB，交AB于H 平面ABCD平面ABEF，FH平面ABCD 则V1AB·BC·FH， 1 3 V2 ×EF·FH·BC，4 1 3 1 2 V1 V2 2AB EF 2 × 2 1 18 (2018·厦门开学考试)如图， 直三棱柱ABCABC中，ACBC5，AAAB6， D，E分别为AB和BB上的点，且 AD DB BE EB (1)当D为AB中点时，求证：ABCE； (2)当D在AB上运动时，求三棱锥ACDE体积的最小值 解 (1)证明：三棱柱ABCABC为直三棱柱，AAAB， 平行四边形ABBA为正方形， D为AB的中点，故E为BB的中点， DEAB ACBC，D为AB的中点，CDAB 三棱柱ABCABC为直三棱柱， CD平面ABBA， 又AB平面ABBA，CDAB 又CDDED，AB平面CDE， CE平面CDE，ABCE (2)设BEx， 则ADx，DB6x，BE6x 由已知可得点C到平面ADE的距离等于ABC的边AB上的高h4，AC2AB 2 2 V三棱锥ACDEV三棱锥CADE (S正方形ABBASAADSDBESABE)·h 1 3 363x (6x)x3(6x)·h 1 3 1 2 (x26x36) 2 3 (x3)227， 2 3 当x3，即D为AB的中点时，三棱锥ACDE的体积有最小值 18 19 (2018·厦门质检一)如图， 平面ACEF平面ABCD， 四边形ABCD是菱形， ABC60°， AFCE，AFAC，ABAF2，CE1 (1)求四棱锥BACEF的体积； (2)在BF上有一点P，使得APDE，求的值 BP PF 解 (1)四边形ABCD是菱形，BDAC， 又平面ACEF平面ABCD 平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ABCD， BD平面ACEF 在ABC中，ABC60°， ABAC2， 设BDACO，则可得AC2，BO，3 在梯形ACEF中，AFCE，AFAC，ACAF2， CE1， 梯形ACEF的面积S ×(12)×23， 1 2 四棱锥BACEF的体积为 V ·S·BO ×3× 1 3 1 3 33 (2)在平面ABF内作BMAF，且BM1， 连接AM交BF于P，则点P满足APDE， 证明如下： AFCE，CE1， BMCE，且BMCE， 四边形BMEC是平行四边形， BCME，BCME， 又在菱形ABCD中，BCAD，BCAD， MEAD，MEAD， 四边形ADEM是平行四边形， AMDE，即APDE， BMAF，BPMFPA， 又BM1， BP FP BM FA 1 2 20 (2018·河南考前适应测试)如图所示， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为直角梯形， ABCD， BAD90°，DCDA2AB2， 点E为AD的中点，BDCEH，PH平面ABCD，5 且PH4 (1)求证：PCBD； (2)线段PC上是否存在一点F，使三棱锥PBFD的体积为 5？若存在，请找出点F2 的位置；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：ABCD，BAD90°， EDCBAD90° DCDA2AB，E为AD的中点， ABED BADEDC DBADEH DBAADB90°， DEHADB90° BDEC 又PH平面ABCD，BD平面ABCD， BDPH 又PHECH，且PH，EC平面PEC， BD平面PEC 又PC平面PEC， PCBD (2)假设线段PC上存在一点F满足题意， 由(1)可知，DHEDAB， ， DH DA EH BA DE DB BDEC5，ABDE， 2 52 525 EH1，HC4，DH2，HB3 PH，EC，BD两两垂直，且PHHC4， HPC45° BD平面PEC， V三棱锥PBFDV三棱锥BPHFV三棱锥DPHF SPHF·BD × ×PH·PF·sin45°×5 1 3 1 3 1 2 PF5， 52 3 2 PF3 PC43，2 线段PC上存在满足条件的点F，点F的位置满足PF3