专题5.2：可转化为线性规划的问题的研究与拓展.pdf
专题 5.2：可转化为线性规划的问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_. n an n S 45 10,15SS 4 a 法 1：待定系数法；法 2：线性规划法 变式 1：设实数满足，则的最大值是 。, x y 2 2 38,49 x xy y 3 4 x y 解：取常用对数，得不等式组，求的取值范围（两种方法：二元 9lglglg24lg 8lglg2lg3lg yy yx yxlg4lg3 一次不等式组线性规划问题；待定系数法）求得的取值范yxlg4lg3 围是，所以 4 3 y x 的最大值为 27（从而转化为线性规划问题）27lg, 2lg 变式 2：各项均为正数的等比数列中，若，则的取值范围是 . n a 1 1a 2 2a 3 3a 4 a 8 , 2 9 拓展 1：已知线段长度为,在线段上任取两点将线段分成段，则这三段长度能构成三角形的概AB6AB3 率为_ 拓展 2： 已知是锐角三角形，其中既不是最大角也不是最小角，则的取值范围是_ABCCC 拓展 3：（2011 年清华等该高水平大学自主招生）在锐角中，已知，则的取值范ABCCBABcos 围是_. 2 2 , 0 探究 2：已知函数在区间上是减函数，则rqxpxxxf 23 2 1 3 1 )(1 , 2 的最小值为_.96 22 pqp 变式：若改为求的最小值呢？结论如何？95 22 pqp 探究 3：已知实数，满足不等式xy 20 40 3 xy xy x （1）的取值范围是_ x y （2）的取值范围是_ x yx 2 （3）则的取值范围是 33 2 2xy x y 变式 1：设实数6n，若不等式08)2(2nxxm对任意2 , 4x都成立，则 nm nm 3 44 的最小值 为 . 变式 2：若不等式恒成立，则实数的最小值为 . 222 ()()a xyxya 变式 3：已知 x，y，满足，x1，则的最大值为 R24yx 22 222 1 xyxy xyxy 3 10 探究 4：已知点到原点的距离为 1，则的最大值为_),(yxP 2 2 yx yx 变式 1：已知，对于任意实数，的最大值为_. 2cos2 2sin2 ),( 2 2 aa aa aF, a),(aF 变 式 2： 已 知 ,.若， 则的 取 值 范 围 2 ( )22f xmxm0,mmR xR 12 1xx 1 2 () () f x f x 是 . 22 , 2 2 1 解：将视作曲线上的点与动点连线的斜率因， 1 2 () () f x f x | 1xy 22 22 (,) 22 mm mm 2 2 |2 2 m m 所以点的轨迹是两射线 22 22 (,) 22 mm mm 变式 3：已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则x 2 0 ()axbxcabR 的最小值是_. 8 24abc M ba 解析：分子分母同时除以，变形为（消元思想） （其中条件为） ，而a 1)( )(4)(21 a b a c a b M 0 04 2 a acb 后转化为的函数，易求得最小值为 8 a b 探究 5：在中，已知三边长满足，则的取值范围是_.ABC bac acb 2 2 a b 2 3 , 3 2 变式 1：在中，角所对的边分别为，且，ABCCBA,cba,12cos 2 sin2 2 C ba 2, 1ba （1）求角；cC, （2） 若在内任一点 （含边界） ， 点到三边距离之和为， 设到的距离之和分别为PABCPdPBCAB,yx, ，请用表示，并求的取值范围.yx,dd （1）；（2），3, 3 cC 2 3 2 1 2 3-2 2 -3-3 yx yx yxd 且，则的取值范围是 33 30 10 yx y x d 3, 2 3 变式 2：已知正数满足:则的取值范围是a b c， ，4ln53lnbcaacccacb ， b a _. 解法 1：令，则原不等式组可转化为，所求为x c a y c b xy xyx ln 435 x y a b 满足不等式组的线性区域内的点与原点连线的斜率，利用线性规划易得取值范围是 b a 7 , e 解法 2： 我们注意到所求的是的取值范围，和参数无关，所以可以将参数特殊化，不妨取,则条 b a cc1c 件可转化为,则由得 ab aba ln 435 aa435 2 1 a ,易得的取值范围是 a e a b aa b a a 1 4 3 5 b a 7 , e 解法 3：令,则,由得 a b x a c y 1)ln(ln 1435 yxy yxy 1435yy2y ： ： 综上可得的取值范围是7xexxy y x1lnln 1 ln b a 7 , e 拓展 1：已知点的坐标满足，则的取值范围为_.),(yxP 30 320 0 xy xy y 22 3 yx yx 拓展 2：函数，对有)2)(2()(mnxmnxnxf 4 1 2 1 )( x xg,Rx 或成立.若，则实数的取值范围是_ 0)(xf0)(xgannm3 2 a 拓展 3：在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数，使得, ,A B C 22 1xy, ，则的取值范围 OCOAOB 22 (3)(2,) 解：平方得，为的夹角， 22 12cos,OA OB cos( 1,1) 又，0,0 1 1 探究 6：已知，若( , )2,0,0Ax y xyxy(,2 ) ( , )Bxy xyx yA ，则的最小值为 ( , )m nB2mn 解：，由条件得： 1 (2) 3 21 () 3 xmn mxy nxy ynm 20 0 26 mn nm mn 当过点时，2zmn( 2,4)P min 8z 探究 7：已知实数满足，且目标函数的最大值为最小值为，则yx, 0 02 2 cbyax yx x xyz3, 15 的值为_（你考虑过的符号么？） a cba32 6ba, 解析：不管怎样，恒成立，的符号不确定；0ba 取得最大值的点必为与直线的交点；13 xy02 yx)2 , 1 (M 取得最小值的点必为与直线的交点；53 xy2x) 1 , 2(N 且为直线的两个点；易得答案为0cbyax6 变式：已知实数满足，且目标函数的最大值为最小值为，则yx, 0 02 2 cbyax yx x xyz3, 15 的值为_（你考虑过的符号么？）不管怎样，恒成立，的符号不确定 ba cba 32 3ba,0ba 探究 8：已知 a，b 为常数，a 0，函数( )() ex b f xa x （1）若 a = 2，b = 1，求在（0，）内的极值；( )f x （2） 若 a 0，b 0，求证：在区间1，2上是增函数；( )f x 若，且在区间1，2上是增函数，求由所有点形成的平面区域的(2)0f 2 ( 2)ef ( )f x( , )a b 面积 变式：（2012 年浙江） 已知 a0，b，函数R 3 ( )42f xaxbxab （1）证明：当 0x1 时， 函数的最大值为；( )f x2aba ；( )20f xaba （2）若对 x0，1恒成立，求 ab 的取值范围1( )1f x 解：（1） 2 122fxaxb 当 b0 时，0 在 0x1 上恒成立， 2 122fxaxb 此时的最大值为：|2ab|a； f x 1423fababab 当 b0 时，在 0x1 上的正负性不能判断， 2 122fxaxb 此时的最大值为： f x |2ab|a； max 2 max (0)1 max()3 32 baba fxffbaab ab ba ， ，（），() ， 综上所述：函数在 0x1 上的最大值为|2ab|a； f x 要证|2ab|a0，即证|2ab|a f x g x f x 亦即证在 0x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a， g x ， 3 42g xaxbxab 令 2 1220 6 b gxaxbx a 当 b0 时，0 在 0x1 上恒成立， 2 122gxaxb 此时的最大值为：|2ab|a； g x 03gabab 当 b0 时，在 0x1 上的正负性不能判断， 2 122gxaxb max max ()1 6 b gxgg a ，（） 4 max2 36 4 6 36 6 2 b babba a b ba bab a ba ba ， ， ， |2ab|a； 综上所述：函数在 0x1 上的最大值小于(或等于)|2ab|a g x 即|2ab|a0 在 0x1 上恒成立 f x （2）由（1）知：函数在 0x1 上的最大值为|2ab|a， f x 且函数在 0x1 上的最小值比(|2ab|a)要大 f x 11 对 x0，1恒成立， f x |2ab|a1 取 b 为纵轴，a 为横轴 则可行域为：和，目标函数为 zab 2 1 ba ba 2 31 ba ab 作图如下： 由图易得：当目标函数为 zab 过 P(1，2)时，有 max 3z 所求 ab 的取值范围为：3， 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
