专题一 第1讲 集合.pdf

第第 1 讲 集合与常用逻辑用语讲 集合与常用逻辑用语 考情解读 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查 集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命 题的否定，考查充要条件的判断 1集合的概念、关系 (1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进 行检验 (2)集合与集合之间的关系：AB，BCAC，空集是任何集合的子集，含有 n 个元素的 集合的子集数为 2n，真子集数为 2n1，非空真子集数为 2n2. 2集合的基本运算 (1)交集：ABx|xA，且 xB (2)并集：ABx|xA，或 xB (3)补集：UAx|xU，且 xA 重要结论：ABAAB； ABABA. 3四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命 题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理 4充分条件与必要条件 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若 pq，则 p，q 互为充要条件 5简单的逻辑联结词 (1)命题 pq，只要 p，q 有一真，即为真；命题 pq，只有 p，q 均为真，才为真；綈 p 和 p 为真假对立的命题 (2)命题 pq 的否定是(綈 p)(綈 q)；命题 pq 的否定是(綈 p)(綈 q) 6全称量词与存在量词 “xM，p(x)”的否定为“x0M，綈 p(x0)” ；“x0M，p(x0)”的否定为“xM， 綈 p(x)”. 热点一 集合的关系及运算 例 1 (1)(2014·四川)已知集合 Ax|x2x20，集合 B 为整数集，则 AB 等于( ) A1,0,1,2 B2，1,0,1 C0,1 D1,0 (2)(2013·广东)设整数 n4，集合 X1,2,3，n，令集合 S(x，y，z)|x，y，zX，且 三条件 xb”是“a|a|b|b|”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 (2)(2014·江西)下列叙述中正确的是( ) A若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” Dl 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件 的含义 答案 (1)C (2)D 解析 (1)当 bba|a|b|b|； 当 b0 时，显然有 aba|a|b|b|； 当 b0 时，ab 有|a|b|，所以 aba|a|b|b|. 综上可知 aba|a|b|b|，故选 C. (2)由于“若 b24ac0，则 ax2bxc0”是假命题，所以“ax2bxc0”的充分条件 不是“b24ac0” ，A 错； 因为 ab2cb2，且 b20，所以 ac.而 ac 时，若 b20，则 ab2cb2不成立，由此知“ab2cb2” 是 “ac” 的充分不必要条件， B 错 ； “对任意 xR， 有 x20” 的否定是 “存在 xR， 有 x2log3N”是“MN 成立”的_条件(从“充要” 、“充分不必要” 、“必要 不充分”中选择一个正确的填写) 答案 (1)若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数 (2)充分不必要 解析 (1)判断词“都是”的否定是“不都是” (2)由 log3Mlog3N， 又因为对数函数 ylog3x 在定义域(0， )单调递增， 所以 MN； 当 MN 时， 由于不知道 M、 N 是否为正数， 所以 log3M、 log3N 不一定有意义 故不能推出 log3Mlog3N， 所以“log3Mlog3N”是“MN 成立”的充分不必要条件 热点三 逻辑联结词、量词 例 3 (1)已知命题 p：xR，x2lg x，命题 q：xR，sin xlg 10，即 81，故命题 p 为真命题 ； 对于命题 q， 取 x ，则 sin xsin( )1，此时 sin xx，故命题 q 为假命题，因此命题 pq 是真 2 2 命题，命题 pq 是假命题，命题 p(綈 q)是真命题，命题 p(綈 q)是真命题，故选 C. (2)命题 p：xA,2xB 是一个全称命题，其命题的否定綈 p 应为xA,2xB，选 D. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假 与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成由命题的真假求某个参数的取值 范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算 (1)已知命题 p：在ABC 中，“CB”是“sin Csin B”的充分不必要条件；命 题 q：“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) Ap 真 q 假 Bp 假 q 真 C“pq”为假 D“pq”为真 (2)已知命题 p：“x1,2，x2a0” ，命题 q：“x0R，2ax02a0” 若命 2 0 x 题“(綈 p)q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( ) Aa2 或 a1 Ba2 或 1a2 Ca1 D2a1 答案 (1)C (2)C 解析 (1)ABC 中，CBcb2Rsin C2Rsin B(R 为ABC 外接圆半径)， 所以 CBsin Csin B. 故“CB”是“sin Csin B”的充要条件，命题 p 是假命题 若 c0，当 ab 时，则 ac20bc2，故 ab ac2bc2， 若 ac2bc2， 则必有 c0， 则 c20， 则有 ab， 所以 ac2bc2ab， 故 “ab” 是 “ac2bc2” 的必要不充分条件，故命题 q 也是假命题，故选 C. (2)命题 p 为真时 a1；“x0R，2ax02a0”为真，即方程 x22ax2a0 2 0 x 有实根，故 4a24(2a)0，解得 a1 或 a2.(綈 p)q 为真命题，即綈 p 真且 q 真， 即 a1. 1解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键 ； 其次关注元素的 互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和 Venn 图加以解决 2判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义 ； 二是根据充要条件与集合之间的对应关 系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式 给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法 3 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的， 这类试题首先把其中的基本命 题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断 4 一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系， 但一个命题与这个命题的否定是互 相对立的、一真一假的. 真题感悟 1(2014·浙江)设全集 UxN|x2，集合 AxN|x25，则UA 等于( ) A B2 C5 D2,5 答案 B 解析 因为 AxN|x或 x，55 所以UAxN|2x0； q：“x1”是“x2”的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是( ) Apq B綈 p綈 q C綈 pq Dp綈 q 答案 D 解析 因为指数函数的值域为(0，)，所以对任意 xR，y2x0 恒成立，故 p 为真命题 ； 因为当 x1 时，x2 不一定成立，反之当 x2 时，一定有 x1 成立，故“x1”是“x2”的 必要不充分条件， 故 q 为假命题， 则 pq、 綈 p 为假命题， 綈 q 为真命题， 綈 p綈 q、 綈 pq 为假命题，p綈 q 为真命题，故选 D. 押题精练 1 已知集合 Ax|ylg(xx2)， Bx|x2cx0， 若 AB， 则实数 c 的取值范围是( ) A(0,1 B1，) C(0,1) D(1，) 答案 B 解析 Ax|ylg(xx2)x|xx20(0,1)， Bx|x2cx0 (0，c)，因为 AB， 画出数轴，如图所示，得 c1.应选 B. 2若命题 p： 函数 yx22x 的单调递增区间是1，)，命题 q： 函数 yx 的单调递增 1 x 区间是1，)，则( ) Apq 是真命题 Bpq 是假命题 C綈 p 是真命题 D綈 q 是真命题 答案 D 解析 因为函数 yx22x 的单调递增区间是1，)，所以 p 是真命题 ； 因为函数 yx1 x 的单调递增区间是(，0)和(0，)，所以 q 是假命题所以 pq 为假命题，pq 为真 命题，綈 p 为假命题，綈 q 为真命题，故选 D. 3函数 f(x)Error!有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) Aa1 1 2 答案 A 解析 因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点函数 y2xa(x0)没有 零点函数 y2x(x0)与直线 ya 无公共点由数形结合，可得 a0 或 a1. 所以函数 f(x)有且只有一个零点的充分必要条件是 a0 或 a1，应排除 D；当 00”是“logam0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 (m1)(a1)0 等价于Error!或Error!logam0 等价于Error!或Error!所以前者是后者 的必要不充分条件，故选 B. 5已知命题 p：x(0， )，使得 cos xx，则该命题的否定是( ) 2 Ax(0， )，使得 cos xx 2 Bx(0， )，使得 cos xx 2 Cx(0， )，使得 cos xx 2 Dx(0， )，使得 cos xx 2 答案 C 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题而“cos xx”的否定是 “cos xx” ，故选 C. 6在ABC 中，“A60°”是“cos A ”的( ) 1 2 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 在 A60°时， 有 cos A ， 因为角 A 是ABC 的内角， 所以， 当 cos A 时， 也只有 A 1 2 1 2 60°，因此，是充分必要条件 7(2013·湖北)已知全集为 R，集合 A，B，则 ARB 等 x| 1 2 x 1 x|x 26x8 0 于( ) Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x4 Dx|04 或 x4 8 已知集合 A(x， y)|xy10， x， yR， B(x， y)|yx21， x， yR， 则集合 AB 的元素个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 集合 A 表示直线 l：xy10 上的点的集合，集合 B 表示抛物线 C：yx21 上的 点的集合 由Error!消去 y 得 x2x0， 由于 0，所以直线 l 与抛物线 C 有两个交点 即 AB 有两个元素故选 C. 9设命题 p：函数 ysin 2x 的最小正周期为 ；命题 q：函数 ycos x 的图象关于直线 x 2 2 对称则下列判断正确的是( ) Ap 为真 B綈 q 为假 Cpq 为假 Dpq 为真 答案 C 解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有 C 正确 10已知 p： xR，mx220，q： xR，x22mx10，若 pq 为假命题，则实数 m 的取值范围是( ) A1，) B(，1 C(，2 D1,1 答案 A 解析 pq 为假命题， p 和 q 都是假命题 由 p：xR，mx220 为假命题， 得綈 p：xR，mx220 为真命题， m0. 由 q：xR，x22mx10 为假命题， 得綈 q：xR，x22mx10 为真命题， (2m)240m21m1 或 m1. 由和得 m1.故选 A. 二、填空题 11已知集合 Px|x(x1)0，Qx|yln(x1)，则 PQ_. 答案 (1，) 解析 由 x(x1)0 可得 x0 或 x1， 则 P(，01，)； 又由 x10 可得 x1， 则 Q(1，)， 所以 PQ(1，) 12 已知集合 Ax|x2 或 x2 或 x0 是真命题，则 1，故 a1. 14给出下列四个命题： 命题“若 ，则 cos cos ”的逆否命题； “x0R，使得x00”的否定是：“xR，均有 x2x0”的否定应是： 2 0 x “xR，均有 x2x0” ，故错； 对，因由“x24”得 x±2， 所以“x24”是“x2”的必要不充分条件，故错； 对，p，q 均为真命题，由真值表判定 p 且 q 为真命题，故正确 15已知集合 M 为点集，记性质 P 为“对(x，y)M，k(0,1)，均有(kx，ky)M” 给出 下列集合 ： (x， y)|x2y， (x， y)|2x2y21， (x， y)|x2y2x2y0， (x， y)|x3y3 x2y0，其中具有性质 P 的点集序号是_ 答案 解析 对于：取 k ，点(1,1)(x，y)|x2y，但( ， )(x，y)|x2y，故是不具有性 1 2 1 2 1 2 质 P 的点集 对于：(x，y)(x，y)|2x2y21，则点(x，y)在椭圆 2x2y21 内部，所以对 0k1， 点(kx，ky)也在椭圆 2x2y21 的内部，即(kx，ky)(x，y)|2x2y21，故是具有性质 P 的点集 对于：(x )2(y1)2 ，点( ， )在此圆上，但点( ， )不在此圆上，故是不具 1 2 5 4 1 2 1 2 1 4 1 4 有性质 P 的点集 对于 ： (x， y)(x， y)|x3y3x2y0， 对于k(0,1)， 因为(kx)3(ky)3(kx)2·(ky)0x3y3 x2y0，所以(kx，ky)(x，y)|x3y3x2y0，故是具有性质 P 的点集综上，具有性 质 P 的点集是.