空间图形的公理应用.ppt
1两个平面重合的条件是（ ） A有两个公共点 B有无数个公共点 C存在不共线的三个公共点 D有一条公共直线,巩固练习：,2下列命题中，真命题是（ ） A空间不同三点确定一个平面 B空间两两相交的三条直线确定一个平面 C两组对边相等的四边形是平行四边形 D和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内,c,3空间有四个点，其中无三点共线，可确定 _ 个平面,一个或四个,D,2,例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,3,例2 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?,例2、正方体ABCDA1B1C1D1中，AC1平面A1BD=M，求作点M。,本题体现了转化的思想，将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点，确定了交点的位置。,例3：求作下列截面：,练习：,(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。,例1、求证： 两两相交于不同点的三条直 线必在同一个平面内,点评：证明点共面或线共面（纳入法）先由一些元素确定一个平面，再证另一些元素也在这个平面内。,例2、,在空间四边形中ABCD中，E、F、G、H分别是 边AB、BC，CD，DA的中点。求证：四边形 EFGH是平行四边形。,例3、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点. 求证：E，C，D1，F四点共面；,例7、 如图，在正方体 中， 为 上的中点，画出平面 与平面 的交线。,例4、空间四边形ABCD中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点 求证: EG、FH、MN共点,探讨1：若3条直线相交于一点时，则这3条直线确定几个平面？如果4条直线相交于一点呢？,(1)3条直线共面时,(2)每2条直线确定 一平面时,(1)4条直线 全共面时,(2)有3条直线共面时,(3)每2条直线都确定一平面时,思考3:把三角板的一个角立在课桌上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交与一点B？为什么？,B,公理3,若两个平面有一个公共点，则它们还有其他公共点，这些公共点的集合是,一条过这个公共点的直线,即:,证明：,（公理2）,同理可证：,点评：证明点共线证明这些点同时在两相交平面内,A,B,C,P,R,Q,例6、如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点. 求证: CE，D1F，DA三线共点.,点评：证明线共点先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。,探讨2：3个平面可将空间分成几部分？,（2）,（3）,（4）,（5）,例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M 求证：点C1、O、M共线,§4.2 空间图形的公理,公理1: 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这直线上所有的 点都在这个平面内(即直线在平面内).,图形语言表述:,条件：线上两点在一个平面内，,结论：线上所有点都在这个平面内；,问题,我们知道，两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？,公理：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面）,图形语言表述:,认识:(1)经过一点，两点或在同一直线上的三点可有无数个平面 (2)“有且只有”指具有“存在性”和“唯一性：,1、经过一条直线和这条外一点，可以确定一个平面吗？,2、经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？,3、经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？,思考交流,公理 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条通过这个点的公共直线,条件：两面共一点， 结论：两面共一线,符号语言表示：,作用（1）它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线；,（2）它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。,公理 平行于同一条直线的两条直线平行,注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间,在平面内,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补(如图1,AOA/O/,BCB/O/, AOB和A/O/B/相等, AOC和A/O/B/互补),定理: 空间中,如果两个角的 两条边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补.,符号语言表示： 若AOA/O/,BCB/O/, 则AOB=A/O/B/； 或AOC+A/O/B/=180°。,例1 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点. 求证: 四边形EFGH是平行四边形.,证明：如图，连结BD。,因为FG是CBD的中位线，,所以 FG/BD，,又因为EH是ABD的中位线,根据公理4，FG/EH，且FG=EH 。,所以，四边形EFGH是平行四边形。,
