2.3数学归纳法26.ppt

2.3数学归纳法(1),问题 1:如何证明粉笔盒中的粉笔 它们都是白色的？,问题 2:,有限步骤,考察对象无限,多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,（1）第一块骨牌倒下。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和 （2）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）若当n=k时猜想成立， 即 ，则当n=k+1时猜想 也成立，即 。,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。,已知数列,根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.,证明：,例:证明凸n边形内角和为 中， 初始值应该从几取？,初始值应取3,例1.用数学归纳法证明,例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)=,例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)=,证明：假设n=k时等式成立，即,那么,即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。,证明：,假设n=k时等式成立，即,例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)=,当n=k+1时, 代入得,证明:(1) 当,左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立,（2）假设当n=k时成立，即：,所以等式也成立。 综合（1）（2）等式对一切正整数n均成立,例如：用数学归纳法证明 1+3+5+ +（2n-1)=,1+3+5+（2k-1)+(2k+1),=k2+(2k+1),=(k+1)2,问题情境一,练习：某个命题当n=k (kN )时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（ ） A. n=6时该命题不成立 B. n=6时该命题成立 C. n=4时该命题不成立 D. n=4时该命题成立,C,练习.用数学归纳法证明： 1×22×33×4n(n1) ,练习巩固,1.用数学归纳法证明： 在验证 n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）,A1 B. C D.,C,课堂小结,1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不可 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 注意类比思想的运用,作业,1、教材P96 A组1（1）（3） 2、查阅资料皮亚诺公理（数学归纳法的理论根据）,祝同学们学习进步!,谢谢大家,欢迎各位老师提出宝贵意见,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例2.用数学归纳法证明:,(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.,例如：利用数学归纳法证明不等式 由k递推到k+1左边应添加的因式是,用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。,证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立,(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d,当n=k+1时，结论也成立.,由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。,