2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.3含解析.pdf

§4.3 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质 考情考向分析 以考查三角函数的图象和性质为主， 题目涉及三角函数的图象及应用、 图象 的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合， 加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有填空题，又有解答题，中档难度 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数 ysin x， x0,2的图象中， 五个关键点是 ： (0,0)， (， 0)， (2， ( 2，1) ( 3 2 ，1) 0) (2)在余弦函数 ycos x， x0,2的图象中， 五个关键点是 ： (0,1)， (， 1)， (2， ( 2，0) ( 3 2 ，0) 1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RRx|xR，且 xk 2 值域1,11,1R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间 2k 2，2k 2 2k，2k (k 2，k 2) 递减区间 2k 2，2k 3 2 2k，2k无 对称中心(k，0) (k 2，0) ( k 2 ，0) 对称轴方程xk 2 xk无 概念方法微思考 1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为 半个周期 2思考函数 f(x)Asin(x)(A0，0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是 k(kZ)； 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ) 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( × ) (2)由 sinsin 知，是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( × ) ( 6 2 3) 6 2 3 (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( × ) (4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( × ) (5)ysin|x|是偶函数( ) 题组二 教材改编 2P44T1函数 f(x)cos的最小正周期是_ (2x 4) 答案 3P45T4y3sin在区间上的值域是_ (2x 6) 0， 2 答案 3 2，3 解析 当 x时，2x ， 0， 2 6 6， 5 6 sin， (2x 6) 1 2，1 故 3sin， (2x 6) 3 2，3 即 y3sin的值域为. (2x 6) 3 2，3 4P33 例 4函数 ytan的定义域为_ ( 42x) 答案 Error! 题组三 易错自纠 5函数 ytan的图象的对称中心是_ ( 1 2x 6) 答案 ，kZ (k 3，0) 解析 由 x ，kZ，得 xk ，kZ， 1 2 6 k 2 3 所以对称中心是，kZ. (k 3，0) 6函数 f(x)4sin的单调递减区间是_ ( 32x) 答案 (kZ) k 12，k 5 12 解析 f(x)4sin4sin. ( 32x) (2x 3) 所以要求 f(x)的单调递减区间， 只需求 y4sin的单调递增区间 (2x 3) 由 2k2x 2k(kZ)，得kxk(kZ) 2 3 2 12 5 12 所以函数 f(x)的单调递减区间是(kZ) 12k， 5 12k 7cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是_ 答案 sin 68°cos 23°cos 97° 解析 sin 68°cos 22°， 又 ycos x 在0°，180°上是减函数， sin 68°cos 23°cos 97°. 题型一 三角函数的定义域 1函数 f(x)2tan的定义域是_ (2x 6) 答案 Error! 解析 由正切函数的定义域，得 2x k ，kZ，即 x (kZ) 6 2 k 2 6 2函数 y的定义域为_sin xcos x 答案 (kZ) 2k 4，2k 5 4 解析 方法一 要使函数有意义， 必须使sin xcos x0.利用图象， 在同一坐标系中画出0,2 上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数 4 5 4 的定义域为Error!. 方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示) 所以定义域为Error!. 3函数 ylg(sin x) 的定义域为_cos x1 2 答案 Error! 解析 要使函数有意义，则Error! 即Error! 解得Error! 所以 2k0)的最小正周期为 4，则 _. (x 4) 答案 2 解析 f(x)cos(0)， (x 4) 由周期计算公式，可得 T4，解得 . 2 2 (2)已知函数 f(x)sin(x)(0)的最小正周期为 ，则 f _. ( 12) 答案 1 2 解析 T，2， 2 T 2 f(x)sinsin 2x，(2x2) f sin . ( 12) 6 1 2 (3)(2018·无锡市梅材高中期中)已知函数 f(x)sin(x)cos(x)，0,0 0，| 0)图象的两条相邻对称轴，则 5 4 9 4 _. 答案 k ，kZ 5 4 解析 由题意， 函数的周期 T2×2， 1， ycos(x)， 当 x 时， ( 9 4 5 4) 2 T 5 4 函数取得最大值或最小值，即 cos±1，可得 k，kZ， ( 5 4) 5 4 k ，kZ. 5 4 题型四 三角函数的单调性 命题点 1 求三角函数的单调区间 例 3 (1)若点 P(1，1)在角 (0，函数 f(x)sin在上单调递减，则 的取值范围是_ (x 4) ( 2，) 答案 1 2， 5 4 解析 由 0，得 0，kZ，得 k0，所以 . 1 2 (2k 5 4) 5 4 1 2， 5 4 引申探究 本例中， 若已知 0， 函数 f(x)cos在上单调递增， 则 的取值范围是_ (x 4) ( 2，) 答案 3 2， 7 4 解析 函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ， 则Error!kZ， 解得 4k 2k ，kZ， 5 2 1 4 又由 4k 0，kZ 且 2k 0，kZ， 5 2 (2k 1 4) 1 4 得 k1，所以 . 3 2， 7 4 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间时，要视“x”为一个整 体，通过解不等式求解但如果 0)在区间0,1上出现 50 次最大值，则 的最小值为_ 答案 197 2 解析 为了使函数 ysin x(0)在区间0,1上出现 50 次最大值， 则 49 ×T1，即×1. 1 4 197 4 2 解得 ，所以 的最小值为. 197 2 197 2 (2)设函数 f(x)cos，则下列结论正确的是_(填序号) (x 3) f(x)的一个周期为2； yf(x)的图象关于直线 x对称； 8 3 f(x)的一个零点为 x ； 6 f(x)在上单调递减 ( 2，) 答案 解析 中，因为 f(x)cos的周期为 2k(kZ)，所以 f(x)的一个周期为2，正确 ； (x 3) 中，因为 f(x)cos的图象的对称轴为直线 xk (kZ)，所以 yf(x)的图象关于 (x 3) 3 直线 x对称，正确； 8 3 中，f(x)cos.令 xk (kZ)，得 xk(kZ)，当 k1 时，x ， (x 4 3) 4 3 2 5 6 6 所以 f(x)的一个零点为 x ，正确； 6 中，因为 f(x)cos的单调递减区间为(kZ)， (x 3) 2k 3，2k 2 3 单调递增区间为(kZ)， 2k 2 3 ，2k5 3 所以是 f(x)的单调递减区间，是 f(x)的单调递增区间，错误故正确的结论是 ( 2， 2 3) 2 3 ，) . (3)函数 f(x)cos(x)(0)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为_ 答案 ，kZ (2k 1 4，2k 3 4) 解析 由图象知，周期 T2×2， ( 5 4 1 4) 2，. 2 由 × 2k，kZ，不妨取 ， 1 4 2 4 f(x)cos. (x 4) 由 2k0，0)若 f(x)在区间上具有单调性， 6， 2 且 f f f ，则 f(x)的最小正周期为_ ( 2) ( 2 3) ( 6) 答案 解析 记 f(x)的最小正周期为 T. 由题意知 ， T 2 2 6 3 又 f f f ，且 ， ( 2) ( 2 3) ( 6) 2 3 2 6 可作出示意图如图所示(一种情况)： x1× ， ( 2 6) 1 2 3 x2× ， ( 2 2 3) 1 2 7 12 x2x1 ，T. T 4 7 12 3 4 1若函数 f(x)sin(0)的最小正周期为 ，则 f 的值是_ (x 6) ( 3) 答案 1 2 解析 由题意，得， 2 所以 2，f(x)sin. (2x 6) 因此 f sinsin . ( 3) ( 2 3 6) 5 6 1 2 2函数 f(x)sin在区间上的最小值为_ (2x 4) 0， 2 答案 2 2 解析 由已知 x， 0， 2 得 2x ， 4 4， 3 4 所以 sin， (2x 4) 2 2 ，1 故函数 f(x)sin在区间上的最小值为. (2x 4) 0， 2 2 2 3若函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，0 解析 因为 ycos x 在，0上是增函数，在0，上是减函数， 所以只有当0， ， 4) 当 x时，f(x)0， |f ( 4)|( 6) 则 f(x)的单调递减区间是_ 答案 (kZ) k 4，k 3 4 解析 由题意可得函数 f(x)sin(2x)的图象关于直线 x 对称，故有 2× k ， 4 4 2 kZ，即 k，kZ. 又 f sin0，所以 2n，nZ，所以 f(x)sin(2x2n)sin 2x. ( 6) ( 3) 令 2k 2x2k，kZ，求得 k xk，kZ， 2 3 2 4 3 4 故函数 f(x)的单调递减区间为，kZ. k 4，k 3 4 10已知函数 f(x)，则下列说法正确的是_(填序号) |tan( 1 2x 6)| f(x)的周期是 ； 2 f(x)的值域是y|yR，且 y0； 直线 x是函数 f(x)图象的一条对称轴； 5 3 f(x)的单调递减区间是，kZ. (2k 2 3 ，2k 3 答案 解析 函数 f(x)的周期为 2，错；f(x)的值域为0，)，错；当 x时， x 5 3 1 2 6 2 3 ， kZ， x不是 f(x)的对称轴， 错 ； 令 k 0)的最小正周期为 . (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在上的单调性 0， 2 解 (1)f(x)sin xcos xsin(0)，且 T，2 (x 4) 2，f(x)sin.2 (2x 4) 令 2x k (kZ)，得 x(kZ)， 4 2 k 2 3 8 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 x(kZ) k 2 3 8 (2)令 2k 2x 2k (kZ)，得函数 f(x)的单调递增区间为(kZ) 2 4 2 k 8，k 3 8 因为 x，所以令 k0，得函数 f(x)在上的单调递增区间为； 0， 2 0， 2 0， 3 8 令 2k2x 2k(kZ)，得函数 f(x)的单调递减区间为(kZ)， 2 4 3 2 k 3 8 ，k7 8 令 k0，得 f(x)在上的单调递减区间为. 0， 2 3 8 ， 2 13定义运算：a*bError!例如 1*2=1，则函数 f(x)=sin x*cos x 的值域为 . 答案 1， 2 2 解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可， 设 x0,2，当 x时，sin xcos x，此时 f(x)cos x，f(x)， 4 5 41， 2 2 当 0xsin x，此时 f(x)sin x，f(x)1,0 4 5 40， 2 2) 综上知 f(x)的值域为. 1， 2 2 14 已知函数 f(x)2cos(x)1， 其图象与直线 y3 相邻两个交点的距离为 ( 0，| 1 对任意 x恒成立，则 的取值范围是_ 2 3 ( 12， 6) 答案 4，0 解析 由题意可得函数f(x)2cos(x)1的最大值为3.f(x)的图象与直线y3相邻两个 交点的距离为， 2 3 f(x)的周期 T，解得 3，f(x)2cos(3x)1. 2 3 2 2 3 f(x)1 对任意 x恒成立， ( 12， 6) 2cos(3x)11，即 cos(3x)0 对任意 x恒成立， ( 12， 6) 2k 且 2k ，kZ，解得 2k 且 2k，kZ， 4 2 2 2 4 即 2k 2k，kZ. 4 结合| ，可得当 k0 时， 的取值范围为. 2 4，0 15已知函数 f(x)cos(2x)在上单调递增，若 f m 恒成立， (0 2) 3 8 ， 6 ( 4) 则实数 m 的取值范围为_ 答案 0，) 解析 f(x)cos(2x)， (0 2) 当 x时，2x ， 3 8 ， 6 3 4 3 由函数 f(x)在上是增函数得 3 8 ， 6 Error!kZ， 则 2k 2k (kZ) 4 3 又 0 ， 2 0 ， 3 f cos，又 ， ( 4) ( 2) 2 2 5 6 f max0， ( 4) m0. 16设函数 f(x)2sinm 的图象关于直线 x 对称，其中 0 . (2x 6) 1 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若函数 yf(x)的图象过点(，0)，求函数 f(x)在上的值域 0， 3 2 解 (1)由直线 x 是 yf(x)图象的一条对称轴， 可得 sin±1， (2 6) 2 k (kZ)， 6 2 即 (kZ) k 2 1 3 又 0 ， 1 2 ， 1 3 函数 f(x)的最小正周期为 3. (2)由(1)知 f(x)2sinm， ( 2 3x 6) f()0， 2sinm0， ( 2 3 6) m2， f(x)2sin2， ( 2 3x 6) 当 0x时， x ， 3 2 6 2 3 6 5 6 sin1. 1 2 ( 2 3x 6) 3f(x)0， 故函数 f(x)在上的值域为3，0. 0， 3 2