《世纪金榜》2019人教A版数学必修四习题：第二章 平面向量 单元质量评估含答案.pdf

温馨提示：温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合 适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。 单元质量评估单元质量评估 (120 分钟 150 分)(120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图 e1,e2为互相垂直的单位向量,向量 a+b+c 可表示为 ( B ) A.2e1+3e2 B.3e1+2e2 C.3e1-2e2 D.-3e1-3e2 2.已知向量 a=(1,x2),b=(x,8),若 ab,则实数 x 的值为 ( A ) A.2 B.-2 C.±2 D.0 3.已知非零向量 m,n 的夹角为 ,且 n(-2m+n),则= ( B ) A.2B.1C.D. 4.已知向量 a=(-2,0),a-b=(-3,-1),则下列结论正确的是 ( D ) A.a·b=2B.ab C.|a|=|b|D.b(a+b) 5.已知向量 a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数 的值为 ( C ) A.1B.2C.-1 D.-2 6.已知 A,B,C 是锐角ABC 的三个内角,向量 p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则 p 与 q 的夹角是 ( A ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 7.在AOB 中,G 为 AB 边上一点,OG 是AOB 的平分线,且=+m (mR),则= ( C ) A. B.1C. D.2 8.若非零向量a,b的夹角为锐角,且=cos ,则称a被b“同余”. 已知 b 被 a“同余”,则向量 a-b 在向量 a 上的投影是 ( A ) 9.已知正方形 ABCD 的边长为 2,对角线相交于点 O,P 是线段 BC 上一点, 则·的最小值为 ( C ) A.-2 B.- C.- D.2 10.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)b,c(a+b),则 c 等于 ( D ) A.B. C.D. 11.已知 O 为ABC 内一点,满足 4=+2,则AOB 与AOC 的面 积之比为 ( D ) A.11 B.12C.13D.21 12.已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足 =+,0,+),则点 P 的轨迹经过 ABC 的 ( A ) A.外心B.内心C.重心D.垂心 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的 横线上) 13.已知平面向量 a 与 b 的夹角等于,如果|a|=4,|b|=,那么|2a- b|=. 14.已知 a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a 与 a-b 的夹角为 ,则 a·b= 3 3 . 15.若向量 a,b 夹角为 ,且|a|=2,|b|=1,则 a 与 a+2b 的夹角为 . 16.已知|=1,|=m,AOB= ,点 C 在AOB 内且·=0.若 =2+(0),则 m= 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3). (1)当 m=8 时,将用和表示. (2)若 A,B,C 三点能构成三角形,求实数 m 应满足的条件. 解:(1)当 m=8 时,解:(1)当 m=8 时,=(8,3).=(8,3). 设设=x=x+y+y, , 则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x). 所以所以解得解得 即即= =+ +. . (2)因为 A,B,C 三点能构成三角形,(2)因为 A,B,C 三点能构成三角形, 所以所以, ,不共线.又不共线.又=(1,1),=(1,1),=(m-2,4),=(m-2,4), 所以 1×4-1×(m-2)0,解得 m6.所以 1×4-1×(m-2)0,解得 m6. 18.(本小题满分 12 分)已知|a|=3,b=(1,). (1)若 a,b 共线且方向相同,求 a 的坐标. (2)若 a 与 b 不共线,k 为何值时,a+kb 与 a-kb 互相垂直? 解:(1)设解:(1)设 a=(x,y),=(x,y), 因为|因为|a|=3,|=3,b=(1,=(1,),且),且 a 与与 b 共线,共线, 所以所以解得解得或或 又因为又因为 a, ,b 方向相同,所以方向相同,所以 a 的坐标为(的坐标为(, ,).). (2)因为(2)因为 a+k+kb 与与 a-k-kb 互相垂直,互相垂直, 所以(所以(a+k+kb)·()·(a-k-kb)=)=a2 2-k-k2 2b2 2=|=|a| |2 2-k-k2 2| |b| |2 2=0.=0. 由已知|由已知|a|=3,|=3,b=(1,=(1,),所以|),所以|b|=|=. . 所以 9-3k所以 9-3k2 2=0,解得 k=±=0,解得 k=±. . 所以当 k=±所以当 k=±时,时,a+k+kb 与与 a-k-kb 互相垂直.互相垂直. 19.(本小题满分12分)在边长为3的正三角形ABC中,设=2,=2 . (1)用向量,表示向量,并求的模. (2)求·的值. (3)求与的夹角的大小. 解:(1)因为解:(1)因为=2=2, ,=2=2, , 所以所以= =+ += =+ + ( (- -)=)=+ +. . 又又··=|=|·|·| |cos A=3×3×os A=3×3× = = . . 故|故|=|= = = = =. . (2)(2)=-=-+ +, , 所以所以··= =·· =-=- -··+ +=-=- ×3×32 2- - ×× + + ×3×32 2=-=- . . (3)|(3)|=|= = = = = =, , 所以所以 cos = =-=- , , 所以所以与与的夹角为 120°.的夹角为 120°. 20.(本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD,E,F 分别是 CD,AD 的中 点,BE,CF 交于点 P. 求证:(1)BECF. (2)AP=AB. 解:(1)如图,建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,解:(1)如图,建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点, 不妨设 AB=2,则 A(0,0),B(2,0),不妨设 AB=2,则 A(0,0),B(2,0), C(2,2),E(1,2),F(0,1).C(2,2),E(1,2),F(0,1). = =- -=(1,2)-(2,0)=(1,2)-(2,0) =(-1,2),=(-1,2), = =- -=(0,1)-(2,2)=(0,1)-(2,2) =(-2,-1).=(-2,-1). 因为因为··=-1×(-2)+2×(-1)=0,=-1×(-2)+2×(-1)=0, 所以所以,即 BECF.,即 BECF. (2)设 P(x,y),则(2)设 P(x,y),则=(x,y-1),=(x,y-1),=(-2,-1).=(-2,-1). 因为因为,所以-x=-2(y-1),所以-x=-2(y-1), 即 x=2y-2.即 x=2y-2. 同理由同理由,得 y=-2x+4,得 y=-2x+4, 两式联立得:x=两式联立得:x= ,y=,y= ,即 P,即 P. . 所以所以= =+ +=4=4=, , 所以|所以|=|=|,即 AP=AB.|,即 AP=AB. 21.(本小题满分 12 分)已知向量 a=(1,2),b=(cos ,sin ).设 m=a+tb(tR). (1)若 = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值. (2)若 ab,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 , 若 存在,请求出 t;若不存在,请说明理由. 解:(1)因为=解:(1)因为= ,所以,所以 b= =. . 所以 m=所以 m=a+t+tb= =. . 所以|m|=所以|m|= = = , , 所以当 t=-所以当 t=-时,|m|取到最小值,最小值为时,|m|取到最小值,最小值为. . (2)存在满足题意的实数 t.(2)存在满足题意的实数 t. 当向量当向量 a- -b 和向量 m 的夹角为和向量 m 的夹角为 时,时, 则有则有 cos os = =.又.又 ab, , 所以(所以(a- -b)·()·(a+t+tb)=)=a2 2+(t-1)+(t-1)a··b-t-tb2 2=5-t,=5-t, | |a- -b|=|= = =, , | |a+t+tb|=|= = =.则有.则有 = =,且 t5,且 t5, 整理得 t整理得 t2 2+5t-5=0,解得 t=+5t-5=0,解得 t=. . 所以存在 t=所以存在 t=满足条件.满足条件. 22.(本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD=4,AB=2. (1)若ABC 为等边三角形,且 ADBC,E 是 CD 的中点,求·. (2)若 AC=AB,cos CAB= ,·= ,求|. 解:(1)因为ABC 为等边三角形,且 ADBC,解:(1)因为ABC 为等边三角形,且 ADBC, 所以DAB=120°.所以DAB=120°. 又 AD=2AB,所以 AD=2BC.又 AD=2AB,所以 AD=2BC. 因为 E 是 CD 的中点,因为 E 是 CD 的中点, 所以所以= = ( (+ +)=)= ( (+ + +) ) = = ( (+ + +)=)=+ +. . 又又= =- -, , 所以所以··= =·(·(- -)=)=- - -·· = = ×16-×16- ×4-×4- ×4×2××4×2×=11.=11. (2)因为 AB=AC,AB=2,所以 AC=2.(2)因为 AB=AC,AB=2,所以 AC=2. 因为因为··= = ,所以,所以·(·(- -)=)= . . 所以所以··- -··= = . . 又又··=|=| |cos CAB=4×os CAB=4× = =, , 所以所以··= = + +··= =. . 所以|所以| |2 2=|=|- -| |2 2= =+ +-2-2·· =4+16-2×=4+16-2×= =.即|.即|=|=. . 关闭 Word 文档返回原板块关闭 Word 文档返回原板块