2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.2 1.2.1 常见函数的导数含解析.pdf

_1.2导数的运算 1.2.1 常见函数的导数 几个常见函数的导数 已知函数 (1)f(x)c，(2)f(x)x，(3)f(x)x2， (4)f(x) ，(5)f(x). 1 x x 问题 1：函数 f(x)x 的导数是什么？ 提示：1， y x f(xx)f(x) x xxx x 当 x0 时，1，即 x1. y x 问题 2：函数 f(x) 的导数是什么？ 1 x 提示： y x f(xx)f(x) x 1 xx 1 x x ， x(xx) x(xx)x 1 x2x·x 当 x0 时， ，即 . y x 1 x2 ( 1 x) 1 x2 1(kxb)k(k，b 为常数)； 2C0(C 为常数)； 3(x)1； 4(x2)2x； 5(x3)3x2； 6. ； ( 1 x) 1 x2 7() .x 1 2x 基本初等函数的导数公式 1(x)x1( 为常数)； 2(ax)axln_a(a0，且 a1)； 3(logax) logae (a0，且 a1)； 1 x 1 x ln a 4(ex)ex； 5(ln x) ； 1 x 6(sin x)cos_x； 7(cos x)sin_x. 函数f(x)logax的导数公式为f(x)(logax)， 当ae时， 上述公式就变形为(ln 1 x ln a x) ， 即f(x)ln x是函数f(x)logax当ae时的特殊情况 类似地， 还有f(x)ax与f(x)ex. 1 x 对应学生用书P7 求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)yx8； (2)y ； 1 x3 (3)yx；x (4)ylog2x. 思路点拨 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导 精解详析 (1)y(x8)8x7； (2)y(x3)3·x4 ； ( 1 x3) 3 x4 (3)y(x)(x ) ·x ；x 3 2 3 2 1 2 3x 2 (4)y(log2x). 1 x·ln 2 一点通 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时应根据所给函 数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为 指数式，利用幂函数的求导公式求导 1函数 ysin的导数是_ ( 2x) 解析：ysincos x，所以 ysin x. ( 2x) 答案：sin x 2下列结论中不正确的是_ 若 y3，则 y0； cos ； (sin 3) 3 ； ( 1 x) 1 2x x 若 yx，则 y1. 解析 ： 正确 ； sin ，而()0，不正确 ； 对于，(x ) 3 3 2 3 2 ( 1 x) 1 2 x ，正确；正确 1 2 3 2 1 2x x 答案： 3求下列函数的导函数 (1)y10x；(2)ylog x； 1 2 (3)y；(4)y 21. 4 x3 (sin x 2cos x 2) 解：(1)y(10x)10xln 10； (2)y(log x)； 1 2 1 xln 1 2 1 xln 2 (3)yx ， 4 x3 3 4 y(x ) x ； 3 4 3 4 1 4 3 4 4 x (4)y(sin cos )21 x 2 x 2 sin22sin cos cos21sin x， x 2 x 2 x 2 x 2 y(sin x)cos x. 求函数在某一点处的导数 例 2 求函数 f(x)在 x1 处的导数 1 6 x5 思路点拨 先求导函数，再求导数值 精解详析 f(x)x ， 1 6 x5 5 6 f(x)x， (x 5 6) ( 5 6) 11 6 f(1) . 5 6 一点通 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的 值代入导函数便可求解 4若函数 f(x)，则 f(1)_. 3 x 解析：f(x)()(x ) x ， 3 x 1 3 1 3 2 3 f(1) . 1 3 答案：1 3 5若函数 f(x)sin x，则 f(6)_. 解析：f(x)(sin x)cos x. f(6)cos 61. 答案：1 6已知 f(x) 且 f(1) ，求 n. 1 n x 1 2 解：f(x)(x ) x 1 x， ( 1 n x) 1 n 1 n 1 n 1 n n1 n f(1) ， 1 n 由 f(1) 得 ，得 n2. 1 2 1 n 1 2 求切线方程 例 3 已知曲线方程 yx2，求： (1)曲线在点 A(1,1)处的切线方程； (2)过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程 思路点拨 (1)点 A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程 ； (2)B 点不在曲线上，故 解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切 线的方程 精解详析 (1)y2x， 当 x1 时， y2， 故过点 A(1,1)的切线方程为 y12(x1)， 即 2xy10. (2)B(3,5)不在曲线 yx2上， 可设过 B(3,5)与曲线 yx2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0) y2x， 当 xx0时，y2x0. 故切线方程为 yx 2x0(xx0) 2 0 又直线过 B(3,5)点， 5x 2x0(3x0) 2 0 即 x 6x050. 2 0 解得 x01 或 x05. 故切线方程为 2xy10 或 10xy250. 一点通 (1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： 求曲线在点 P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上； 求过点 P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上 (2)求曲线上某点(x0，y0)处的切线方程的步骤： 求出 f(x0)，即切线斜率； 写出切线的点斜式方程； 化简切线方程 (3)求过点 P 与曲线相切的直线方程的步骤： 设出切点坐标为(x0，y0)； 写出切线方程 yy0f(x0)(xx0)； 代入点 P 的坐标，求出方程 7已知直线 yxa 与曲线 yln x 相切，则 a 的值为_ 解析 ： 设切点为 P(x0，y0)，y ，由题意得 1，x01，点 P 的坐标为(1,0)， 1 x 1 x0 把点 P 的坐标代入直线 yxa，得 a1. 答案：1 8求曲线 y2x21 的斜率为 4 的切线的方程 解：设切点为 P(x0，y0)，y4x，由题意知，当 xx0时，y4x04， 所以 x01. 当 x01 时， y01，切点 P 的坐标为(1,1) 故所求切线的方程为 y14(x1)，即 4xy30. 1对公式 yxn的理解： (1)yxn中，x 为自变量，n 为常数； (2)它的导数等于指数 n 与自变量的(n1)次幂的乘积公式中 nQ，对 nR 也成立 2在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题： (1)对于公式(sin x)cos x，(cos x)sin x，一要注意函数的变化，二要注意符号 的变化 (2)对于公式(ln x) 和(ex)ex很好记，但对于公式(logax) logae 和(ax)axln 1 x 1 x a 的记忆就较难，特别是两个常数 logae 与 ln a 很容易混淆 对应课时跟踪训练(三) 一、填空题 1已知 f(x)x，若 f(1)4，则 的值是_ 解析：f(x)x，f(x)x1， f(1)(1)14. 4. 答案：4 2过曲线 y 上一点 P 的切线的斜率为4，则点 P 的坐标为_ 1 x 解析：设 P(x0，y0)，则 f(x0) 4. 1 x2 0 所以 x0± ，所以 P或 P. 1 2 ( 1 2，2) ( 1 2，2) 答案：或 ( 1 2，2) ( 1 2，2) 3已知 f(x)x2，g(x)x3，则适合方程 f(x)1g(x)的 x 值为_ 解析：由导数公式可知 f(x)2x，g(x)3x2. 所以 2x13x2，即 3x22x10. 解之得 x1 或 x . 1 3 答案：1 或1 3 4设函数 f(x)logax，f(1)1，则 a_. 解析：f(x)，f(1)1. 1 x ln a 1 ln a ln a1，即 a . 1 e 答案：1 e 5已知直线 ykx 是曲线 yln x 的切线，则 k 的值等于_ 解析：y(ln x) ，设切点坐标为(x0，y0)， 1 x 则切线方程为 yy0 (xx0) 1 x0 即 y xln x01.由 ln x010，知 x0e. 1 x0 k . 1 e 答案：1 e 二、解答题 6求下列函数的导数 (1)ylg 2； (2)y2x； (3)y； x2 x (4)y2cos21. x 2 解：(1)y(lg 2)0； (2)y(2x)2xln 2； (3)y(x ) x ； 3 2 3 2 1 2 (4)y2cos21cos x，y(cos x)sin x. x 2 7已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是曲线 yx2上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线 yx2 的切线方程 解：y(x2)2x， 设切点为 M(x0，y0)，则当 xx0时，y2x0. 又PQ 的斜率为 k1， 41 21 而切线平行于 PQ，k2x01， 即 x0 ，所以切点为 M， 1 2 ( 1 2， 1 4) 所求的切线方程为 y x ，即 4x4y10. 1 4 1 2 8求曲线 y 和 yx2在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积 1 x 解：由Error!Error!解得交点为(1,1) y ， ( 1 x) 1 x2 曲线 y 在(1,1)处的切线方程为 1 x y1x1，即 yx2. 又 y(x2)2x， 曲线 yx2在(1,1)处的切线方程为 y12(x1)，即 y2x1. yx2 与 y2x1 和 x 轴的交点分别为(2,0)， . ( 1 2，0) 所求面积 S ×1× . 1 2 (2 1 2) 3 4