2019版二轮复习数学（文）通用版：专题检测（十四） 圆锥曲线的方程与性质含解析.pdf

专题检测（十四）专题检测（十四） 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 A 组组“633”考点落实练”考点落实练 一、选择题一、选择题 1(2018·全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆 C： ： 1 的一个焦点为的一个焦点为(2,0)，则，则 C 的离心率为的离心率为( ) x2 a2 y2 4 A. B. 1 3 1 2 C. D. 2 2 2 2 3 解析：选解析：选 C a24228， a2，e .2 c a 2 2 2 2 2 2一个焦点为一个焦点为(，0)且与双曲线 且与双曲线 1 有相同渐近线的双曲线方程是有相同渐近线的双曲线方程是( )26 y2 4 x2 9 A.1 B. 1 y2 18 x2 8 x2 18 y2 8 C.1 D.1 x2 16 y2 10 y2 16 x2 10 解析 ： 选解析 ： 选 B 设所求双曲线方程为 设所求双曲线方程为 t(t0)， 因为一个焦点为， 因为一个焦点为(， 0)， 所以， 所以|13t|26. y2 4 x2 9 26 又焦点在又焦点在 x 轴上，所以轴上，所以 t2，即双曲线方程为 ，即双曲线方程为 1. x2 18 y2 8 3若抛物线若抛物线 y24x 上一点上一点 P 到其焦点到其焦点 F 的距离为的距离为 2，O 为坐标原点，则为坐标原点，则OFP 的面 积为 的面 积为( ) A. B1 1 2 C. D2 3 2 解析：选解析：选 B 设 设 P(x0，y0)，依题意可得，依题意可得|PF|x012，解得，解得 x01，故，故 y 4××1，解，解 2 0 得得 y0±2，不妨取，不妨取 P(1,2)，则，则OFP 的面积为 ×的面积为 ×1××21. 1 2 4(2018·全国卷全国卷)已知双曲线已知双曲线 C：1(a0，b0)的离心率为，则点的离心率为，则点(4,0)到到 C x2 a2 y2 b2 2 的渐近线的距离为的渐近线的距离为( ) A. B22 C. D2 3 2 2 2 解析：选解析：选 D e ， ， 1. c a 1b 2 a2 2 b a 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为 x±y0. 点点(4,0)到到 C 的渐近线的距离的渐近线的距离 d2. 4 2 2 5已知双曲线已知双曲线 x2 1 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，过，过 F2的直线的直线 l 与与 C 的左、右的左、右 y2 8 两支分别交于两支分别交于 A，B 两点，且两点，且|AF1|BF1|，则，则|AB|( ) A2 B32 C4 D212 解析 ： 选解析 ： 选 C 设双曲线的实半轴长为 设双曲线的实半轴长为 a，依题意可得，依题意可得 a1，由双曲线的定义可得，由双曲线的定义可得|AF2| |AF1|2a2， |BF1|BF2|2a2， 又， 又|AF1|BF1|， 故， 故|AF2|BF2|4， 又， 又|AB|AF2|BF2|， 故 ， 故|AB|4. 6(2018·全国卷全国卷)已知已知 F1，F2是椭圆是椭圆 C 的两个焦点，的两个焦点，P 是是 C 上的一点若上的一点若 PF1PF2， 且 ， 且PF2F160° ，则° ，则 C 的离心率为的离心率为( ) A1 B2 3 2 3 C. D.1 31 2 3 解析：选解析：选 D 在 在 RtPF1F2中，中，PF2F160° ，° ， 不妨设椭圆焦点在不妨设椭圆焦点在 x 轴上，且焦距轴上，且焦距|F1F2|2， 则则|PF2|1，|PF1|，3 由椭圆的定义可知，方程由椭圆的定义可知，方程1 中，中， x2 a2 y2 b2 2a1，2c2，得，得 a，c1，3 1 3 2 所以离心率所以离心率 e 1. c a 2 1 3 3 二、填空题二、填空题 7已知双曲线已知双曲线y21(a0)的渐近线方程为的渐近线方程为 y±x，则其焦距为，则其焦距为_ x2 a2 3 3 解析：由渐近线方程解析：由渐近线方程 y±x，可得 ，解得，可得 ，解得 a，故，故 c2，故焦距，故焦距 3 3 1 a 3 3 3 3 21 为为 4. 答案：答案：4 8 设直线 设直线l过双曲线过双曲线C的一个焦点， 且与的一个焦点， 且与C的一条对称轴垂直，的一条对称轴垂直， l与与C交于交于A， B两点，两点， |AB| 为为 C 的实轴长的的实轴长的 2 倍，则倍，则 C 的离心率为的离心率为_ 解析：设双曲线方程为解析：设双曲线方程为1(a0，b0)， x2 a2 y2 b2 由题意可知，直线由题意可知，直线 l 过焦点，且垂直于过焦点，且垂直于 x 轴，将轴，将 xc 代入双曲线方程，解得代入双曲线方程，解得 y±， b2 a 则则|AB|，由，由|AB|2××2a， 2b2 a 则则 b22a2，所以双曲线的离心率，所以双曲线的离心率 e . c a 1b 2 a2 3 答案：答案： 3 9已知抛物线已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为的顶点为坐标原点，准线为 x1，直线，直线 l 与抛物线与抛物线 C 交于交于 M，N 两点，若线段两点，若线段 MN 的中点为的中点为(1,1)，则直线，则直线 l 的方程为的方程为_ 解析：依题意易得抛物线的方程为解析：依题意易得抛物线的方程为 y24x，设，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为线段，因为线段 MN 的 中点为 的 中点为(1,1)，故，故 x1x22，y1y22，则，则 x1x2，由，由Error!两式相减得两式相减得 y y 4(x1x2)， 2 12 2 所以所以2，故直线，故直线 l 的方程为的方程为 y12(x1)，即，即 2xy10. y1y2 x1x2 4 y1y2 答案：答案：2xy10 三、解答题三、解答题 10(2018·石家庄模拟石家庄模拟)设设 A，B 为曲线为曲线 C：y上两点，上两点，A 与与 B 的横坐标之和为的横坐标之和为 2. x2 2 (1)求直线求直线 AB 的斜率；的斜率； (2)设设 M 为曲线为曲线 C 上一点，曲线上一点，曲线 C 在点在点 M 处的切线与直线处的切线与直线 AB 平行，且平行，且 AMBM，求 直线 ，求 直线 AB 的方程的方程 解：解：(1)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 x1x2，y1，y2，x1x22， x2 1 2 x2 2 2 故直线故直线 AB 的斜率的斜率 k1. y1y2 x1x2 x1x2 2 (2)由由 y，得，得 yx. x2 2 设设 M(x3，y3)，由题设知，由题设知 x31，于是，于是 M. (1， ， 1 2) 设直线设直线 AB 的方程为的方程为 yxm，故线段，故线段 AB 的中点为的中点为 N(1,1m)，|MN|. |m 1 2| 将将 yxm 代入代入 y，得，得 x22x2m0. x2 2 由由 48m0，得，得 m ， ，x1,21±. 1 2 1 2m 从而从而|AB|x1x2|2.22 1 2m 由题设知由题设知|AB|2|MN|，即，解得，即，解得 m ， ，2 1 2m |m 1 2| 7 2 所以直线所以直线 AB 的方程为的方程为 yx . 7 2 11(2018·全国卷全国卷)设抛物线设抛物线 C：y24x 的焦点为的焦点为 F，过，过 F 且斜率为且斜率为 k(k0)的直线的直线 l 与与 C 交于交于 A，B 两点，两点，|AB|8. (1)求求 l 的方程；的方程； (2)求过点求过点 A，B 且与且与 C 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程 解：解：(1)由题意得由题意得 F(1,0)，l 的方程为的方程为 yk(x1)(k0) 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由由Error!得得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故，故 x1x2. 2k24 k2 所以所以|AB|AF|BF|(x11)(x21). 4k24 k2 由题设知由题设知8，解得，解得 k1 或或 k1(舍去舍去) 4k24 k2 因此因此 l 的方程为的方程为 yx1. (2)由由(1)得得 AB 的中点坐标为的中点坐标为(3,2)， 所以所以 AB 的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则则Error! 解得解得Error!或或Error! 因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或或(x11)2(y6)2144. 12已知直线已知直线 xky30 所经过的定点所经过的定点 F 恰好是椭圆恰好是椭圆 C 的一个焦点，且椭圆的一个焦点，且椭圆 C 上的 点到点 上的 点到点 F 的最大距离为的最大距离为 8. (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程的标准方程 (2)已知圆已知圆 O：x2y21，直线，直线 l：mxny1，试证：当点，试证：当点 P(m，n)在椭圆在椭圆 C 上运动时， 直线 上运动时， 直线 l 与圆与圆 O 恒相交，并求直线恒相交，并求直线 l 被圆被圆 O 所截得的弦长所截得的弦长 l 的取值范围的取值范围 解：解：(1)设椭圆设椭圆 C 的方程为的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 直线直线 xky30 所经过的定点是所经过的定点是(3,0)， 即点即点 F(3,0) 因为椭圆因为椭圆 C 上的点到点上的点到点 F 的最大距离为的最大距离为 8， 所以所以 a38，a5，所以，所以 b2523216， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为1. x2 25 y2 16 (2)因为点因为点 P(m，n)在椭圆在椭圆 C 上，上， 所以所以1，即，即 n216. m2 25 n2 16 16m2 25 又原点到直线又原点到直线 l：mxny1 的距离的距离 d0)，过焦点，过焦点 F 的直线交的直线交 C 于于 A，B 两点，两点，D 是抛物线的 准线 是抛物线的 准线 l 与与 y 轴的交点轴的交点 (1)若若 ABl，且，且ABD 的面积为的面积为 1，求抛物线的方程；，求抛物线的方程； (2)设设 M 为为 AB 的中点，过的中点，过 M 作作 l 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 N. 证明：直线证明：直线 AN 与抛物线相切与抛物线相切 解：解：(1)ABl，|AB|2p. 又又|FD|p，S ABD p21. p1，故抛物线，故抛物线 C 的方程为的方程为 x22y. (2)证明：设直线证明：设直线 AB 的方程为的方程为 ykx ， ， p 2 由由Error!消去消去 y 得，得，x22kpxp20. x1x22kp，x1x2p2. 其中其中 A，B. (x 1， ，x 2 1 2p) (x 2， ，x 2 2 2p) M，N. (kp， ，k 2p p 2) (kp， ， p 2) kAN. x2 1 2p p 2 x1kp x2 1 2p p 2 x1x 1 x2 2 x2 1p2 2p x1x2 2 x2 1x1x2 2p x1x2 2 x1 p 又又 x22py，即，即 y，y . x2 2p x p 抛物线抛物线 x22py 在点在点 A 处的切线斜率处的切线斜率 k. x1 p 直线直线 AN 与抛物线相切与抛物线相切 2(2018·贵阳适应性考试贵阳适应性考试)已知椭圆已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2， x2 a2 y2 b2 点点M为短轴的上端点，为短轴的上端点，·0， 过， 过F2垂直于垂直于x轴的直线交椭圆轴的直线交椭圆C于于A， B两点， 且两点， 且|AB|MF1 MF2 . 2 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设经过点设经过点(2，1)且不经过点且不经过点 M 的直线的直线 l 与与 C 相交于相交于 G，H 两点若两点若 k1，k2分别为 直线 分别为 直线 MH，MG 的斜率，求的斜率，求 k1k2的值的值 解：解：(1)由由·0，得，得 bc.MF1 MF2 因为过因为过 F2垂直于垂直于 x 轴的直线交椭圆轴的直线交椭圆 C 于于 A，B 两点，两点， 且且|AB|，所以，所以.2 b2 a 2 2 又又 a2b2c2， 联立，解得联立，解得 a22，b21， 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 2 (2)设直线设直线 l 的方程为的方程为 y1k(x2)， 即即 ykx2k1， 将将 ykx2k1 代入代入y21， x2 2 得得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0， 由题设可知由题设可知 16k(k2)0， 设设 G(x1，y1)，H(x2，y2)， 则则 x1x2，x1x2， 4k 2k 1 1 2k2 8k28k 1 2k2 k1k22k2k y11 x1 y21 x2 kx12k2 x1 kx22k2 x2 2k 2 ×× 4k 2k 1 1 2k2 8k28k 1 2k2 (2k1)1， 所以所以 k1k21. 3 (2019 届高三届高三·唐山五校联考唐山五校联考)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中， 长为中， 长为1 的线段的两端点的线段的两端点 C， D2 分别在分别在 x 轴，轴，y 轴上滑动，轴上滑动， .记点记点 P 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 E.CP 2 PD (1)求曲线求曲线 E 的方程；的方程； (2)经过点经过点(0,1)作直线作直线 l 与曲线与曲线 E 相交于相交于 A， B 两点， 当点两点， 当点 M 在曲线在曲线 EOM OA OB 上时，求直线上时，求直线 l 的方程的方程 解：解：(1)设设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y) 由由 ，得，得(xm，y)(x，ny)，CP 2 PD 2 所以所以Error!得得Error! 由由|1，得，得 m2n2(1)2，CD 22 所以所以(1)2x2y2(1)2，2 2 1 2 2 2 整理，得曲线整理，得曲线 E 的方程为的方程为 x2 1. y2 2 (2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，由，OM OA OB 知点知点 M 的坐标为的坐标为(x1x2，y1y2) 易知直线易知直线 l 的斜率存在， 设直线的斜率存在， 设直线 l 的方程为的方程为 ykx1， 代入曲线， 代入曲线 E 的方程， 得的方程， 得(k22)x2 2kx10， 则则 x1x2， 2k k22 所以所以 y1y2k(x1x2)2. 4 k22 由点由点 M 在曲线在曲线 E 上，知上，知(x1x2)21， y 1 y2 2 2 即即1，解得，解得 k22. 4k2 k 2 2 2 8 k 2 2 2 此时直线此时直线 l 的方程为的方程为 y±x1.2 4.如图， 椭圆如图， 椭圆C：1(ab0)的右焦点为的右焦点为F， 右顶点、 上顶点分， 右顶点、 上顶点分 x2 a2 y2 b2 别为点别为点A， B， 且， 且|AB|BF|. 5 2 (1)求椭圆求椭圆 C 的离心率；的离心率； (2)若点若点 M在椭圆在椭圆 C 的内部，过点的内部，过点 M 的直线的直线 l 交椭圆交椭圆 C 于于 P，Q 两点，Q 两点，M 为为 ( 16 17， ， 2 17) 线段线段 PQ 的中点，且Q 的中点，且 OPOQ，求直线Q，求直线 l 的方程及椭圆的方程及椭圆 C 的方程的方程 解：解：(1)由已知由已知|AB|BF|， 5 2 得得 a，a2b2 5 2 即即 4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2， 所以所以 e . c a 3 2 (2)由由(1)知知 a24b2， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程可化为的方程可化为1. x2 4b2 y2 b2 设设 P(x1，y1)，Q，Q(x2，y2)， 由由1，1， x2 1 4b2 y2 1 b2 x2 2 4b2 y2 2 b2 可得可得0， x2 1x2 2 4b2 y2 1y2 2 b2 即即0， x 1 x2 x 1 x2 4b2 y 1 y2 y 1 y2 b2 即即(y1y2)0，从而，从而 kPQ Q2， 32 17 x 1 x2 4 4 17 y1y2 x1x2 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y2， 2 17x (16 17) 即即 2xy20. 联立联立Error!消去消去 y，得，得 17x232x164b20. 则则 32216××17××(b24)0b， 2 17 17 x1x2，x1x2. 32 17 16 4b2 17 因为因为 OPOQ，Q，·0，即，即 x1x2y1y20，OP OQ Q x1x2(2x12)(2x22)0， 5x1x24(x1x2)40， 从而从而40，解得，解得 b1， 5 164b2 17 128 17 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 4 综上，直线综上，直线 l 的方程为的方程为 2xy20，椭圆，椭圆 C 的方程为的方程为y21. x2 4