2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程含解析.pdf

重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程重点增分专题二 基本初等函数、函数与方程 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018分段函数的零点问题分段函数的零点问题·T9对数式的比较大小问题对数式的比较大小问题·T12 2017 指数与对数的互化、对数运算、 比较大小 指数与对数的互化、对数运算、 比较大小·T11 函数的零点问题函数的零点问题·T11 2016 利用幂函数、指数函数、对数函 数的单调性比较大小 利用幂函数、指数函数、对数函 数的单调性比较大小·T8 利用指数函数与幂函数的单调 性比较大小 利用指数函数与幂函数的单调 性比较大小·T6 (1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性 质比较大小，一般出现在第 基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性 质比较大小，一般出现在第 512 题的位置，有时难度较大题的位置，有时难度较大 (2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起 重视 函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起 重视 考考点点一一基基本本初初等等函函数数的的图图象象与与性性质质 增增分分考考点点 深深度度精精研研 析母题析母题高高考考年年年年“神神”相相似似 典例典例 (1)若当若当 xR 时， 函数R 时， 函数 f(x)a|x|(a0， 且， 且 a1)满足满足 f(x)1， 则函数， 则函数 yloga(x1) 的图象大致为的图象大致为( ) (2)已知函数已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当是定义在 R 上的偶函数，且当 x0，)时，函数时，函数 f(x)是单调递减函 数，则 是单调递减函 数，则 f(log25)，f，f(log53)的大小关系是的大小关系是( ) (log 31 5) Aflog351log530. 又因为又因为 f(x)在在0，)上为单调递减函数，上为单调递减函数， 所以所以 f(log53)f(log35)f(log25)， 即即 f(log53)ff(log25) (log 31 5) 答案答案 (1)C (2)D 练子题练子题高高考考年年年年“形形”不不同同 1本例本例(1)变为：若函数变为：若函数 ya|x|(a0，且，且 a1)的值域为的值域为y|y1，则函数，则函数 yloga|x|的图 象大致是 的图 象大致是( ) 解析：选解析：选 B ya|x|的值域为的值域为y|y1，a1，则，则 ylogax 在在(0，)上是增函数， 又函数 上是增函数， 又函数 yloga|x|的图象关于的图象关于 y 轴对称因此轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项的图象应大致为选项 B. 2本例本例(1)变为：若函数变为：若函数 f(x)xa满足满足 f(2)4，那么函数，那么函数 g(x)|loga(x1)|的图象大致 为 的图象大致 为( ) 解析 ： 选解析 ： 选 C 法一 ： 由函数 法一 ： 由函数 f(x)xa满足满足 f(2)4， 得， 得 2a4， ， a2， 则， 则 g(x)|loga(x1)| |log2(x1)|，将函数，将函数 ylog2x 的图象向左平移的图象向左平移 1 个单位长度个单位长度(纵坐标不变纵坐标不变)，然后将，然后将 x 轴下方 的图象翻折上去，即可得 轴下方 的图象翻折上去，即可得 g(x)的图象，故选的图象，故选 C. 法二：由函数法二：由函数 f(x)xa满足满足 f(2)4，得，得 2a4，a2，即，即 g(x)|log2(x1)|，由，由 g(x) 的定义域为的定义域为x|x1，排除，排除 B、D；由；由 x0 时，时，g(x)0，排除，排除 A.故选故选 C. 3本例本例(2)变为 ： 已知函数变为 ： 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当是定义在 R 上的奇函数，且当 x0，)时，函数时，函数 f(x) 是单调递增函数，则是单调递增函数，则 f(log25)，f，f(log53)的大小关系是的大小关系是_ (log 31 5) 解析：由对数函数的单调性知解析：由对数函数的单调性知 log25log53log3.又又 f(x)在 R 上为奇函数且当在 R 上为奇函数且当 x0， 1 5 )时，时，f(x)为增函数，为增函数，f(x)在 R 上为增函数在 R 上为增函数f(log25)f(log53)f. (log 31 5) 答案：答案：f(log25)f(log53)f(log31 5) 4本例本例(2)变为：设变为：设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，满足条件是定义在实数集 R 上的函数，满足条件 yf(x1)是偶函数， 且当 是偶函数， 且当 x1 时，时，f(x) x 1，则，则 f，f，f的大小关系是的大小关系是( ) ( 1 3) ( 2 5) ( 5 4) ( 1 2) AfffBfff ( 2 5) ( 1 2) ( 5 4) ( 2 5) ( 5 4) ( 1 2) CfffDfff ( 1 2) ( 2 5) ( 5 4) ( 5 4) ( 1 2) ( 2 5) 解析：选解析：选 D 因为函数 因为函数 yf(x1)是偶函数，所以是偶函数，所以 f(x1)f(x1)，即函数，即函数 f(x)的图 象关于直线 的图 象关于直线 x1 对称，所以对称，所以 ff，ff.当当 x1 时，时，f(x) x 1 单调递减，由单调递减，由 1 和和 01 时，两函数在定义域内都为增函数；当时，两函数在定义域内都为增函数；当 00 和和 log0.210，blog20.3log0.30.4log0.310， 00，a1)的定义域和值域都是的定义域和值域都是0,1，则，则 logaloga( )aax 5 6 48 5 A1 B2 C3 D4 解析 ： 选解析 ： 选 C 当 当 a1 时，函数时，函数 y在在0,1上单调递减，上单调递减，1 且且0，aaxa1aa 解得解得 a2；当；当 00，所以函数，所以函数 f(x) 的零点所在区间为的零点所在区间为(1,2)，故选，故选 B. 法二：函数法二：函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数的零点所在的区间可转化为函数 g(x)ln x，h(x) x2 图象交点的横坐标所在的取值范围作出图象如图所示图象交点的横坐标所在的取值范围作出图象如图所示 由图可知由图可知 f(x)的零点所在的区间为的零点所在的区间为(1,2) (2)由题意可知，当由题意可知，当 3x k (kZZ)时，时， 6 2 f(x)0.x0，3x ， ， 6 6， ， 19 6 当当 3x 取值为 ， ，时， 取值为 ， ，时，f(x)0， 6 2 3 2 5 2 即函数即函数 f(x)cos在在0，的零点个数为的零点个数为 3. (3x 6) 答案答案 (1)B (2)3 解题方略解题方略 1判断函数在某个区间上是否存在零点的方法判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区 间上； 解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区 间上； (2)利用零点存在性定理进行判断；利用零点存在性定理进行判断； (3)画出函数图象，通过观察图象与画出函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断轴在给定区间上是否有交点来判断 2判断函数零点个数的判断函数零点个数的 3 种方法种方法 题型二 根据函数的零点求参数的范围题型二 根据函数的零点求参数的范围 例例2 (1)(2018·全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)Error!g(x)f(x)xa.若若g(x)存在存在2个零点， 则 个零点， 则 a 的取值范围是的取值范围是( ) A1,0) B0，) C1，) D1，) (2)已知定义域为 R 的偶函数已知定义域为 R 的偶函数 f(x)满足 ： 对满足 ： 对xR，有R，有 f(x2)f(x)f(1)，且当，且当 x2,3 时，时，f(x)2x212x18.若函数若函数 yf(x)loga(x1)在在(0，)上至少有三个零点，则实 数 上至少有三个零点，则实 数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A. B. (0， ， 3 3) (0， ， 2 2) C. D. (0， ， 5 5) (0， ， 6 6) 解析解析 (1)令令 h(x)xa， 则， 则 g(x)f(x)h(x) 在同一坐标系 中画出 在同一坐标系 中画出 yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示若的示意图，如图所示若 g(x)存在存在 2 个零点，则个零点，则 y f(x)的图象与的图象与 yh(x)的图象有的图象有 2 个交点， 平移个交点， 平移 yh(x)的图象， 可知当 直线 的图象， 可知当 直线 yxa过点过点(0,1)时，有时，有 2个交点，此时个交点，此时 10a，a1. 当当 y xa在在yx1上方， 即上方， 即a1 时，有时，有 2 个交点，符合题意综上，个交点，符合题意综上，a 的取值范围为的取值范围为1，)故选故选 C. (2)f(x2)f(x)f(1)， f(x)是偶函数， 是偶函数， f(1)0， ， f(x2)f(x)， 即 ， 即 f(x)是周期为是周期为 2 的周期函数，且的周期函数，且 yf(x)的图象关于直线的图象关于直线 x2 对 称，作出函数 对 称，作出函数 yf(x)与与 g(x)loga(x1)的图象如图所示，两个函 数图象在 的图象如图所示，两个函 数图象在(0，)上至少有三个交点，上至少有三个交点， g(2)loga3f(2)2，且，且 00，且，且 a1)的图象恒过的点是的图象恒过的点是( ) A(0,0) B(0，1) C(2,0) D(2，1) 解析 ： 选解析 ： 选 C 令 令 x20，得，得 x2，所以当，所以当 x2 时，时，ya010，所以，所以 yax 2 1(a0，且，且 a1)的图象恒过点的图象恒过点(2,0) 3(2019 届高三届高三·益阳、湘潭调研益阳、湘潭调研)若若 alog32，blg 0.2，c20.2，则，则 a，b，c 的大小 关系为 的大小 关系为( ) Ac1，bbc Bcba Cbac Dcab 解析：选解析：选 B f(x)是奇函数，是奇函数，afff(log310) (log 3 1 10) ( log3 1 10) 又又log310log39.1log39220.8，且，且 f(x)在 R 上单调递减，在 R 上单调递减， f(log310)ba，故选，故选 B. 7已知函数已知函数 f(x)lg是奇函数，且在是奇函数，且在 x0 处有意义，则该函数为处有意义，则该函数为( ) ( 2 1 x a) A(，)上的减函数上的减函数 B(，)上的增函数上的增函数 C(1,1)上的减函数上的减函数 D(1,1)上的增函数上的增函数 解析：选解析：选 D 由题意知， 由题意知，f(0)lg(2a)0，a1，f(x)lglg， ( 2 1 x 1) x 1 1 x 令令0，则，则10，且，且 a1)过定点过定点(2,0)，且，且 f(x)在定义域 R 上是减函数， 则 在定义域 R 上是减函数， 则 g(x)loga(xk)的图象是的图象是( ) 解析：选解析：选 A 由题意可知 由题意可知 a2 k 10，解得，解得 k2，所以，所以 f(x)ax 2 1，又，又 f(x)在定义 域 R 上是减函数， 所以 在定义 域 R 上是减函数， 所以 00，且，且 a1)，当，当 x时，恒有时，恒有 f(x)0，则，则 f(x)的的 (0， ， 1 2) 单调递增区间是单调递增区间是( ) A. B(0，) ( ， ，1 2) C. D. ( ， ，1 4) ( 1 4， ， ) 解析 ： 选解析 ： 选 A 当 当 x时，时， 2x2x(0,1)， 因为当， 因为当 x时， 恒有时， 恒有 f(x)0， 所以， 所以 00 得得 x0 或或 x1 D00 时，由时，由 f(x)ln x0， 得得 x1. 因为函数因为函数 f(x)有两个不同的零点，有两个不同的零点， 所以当所以当 x0 时，函数时，函数 f(x)2xa 有一个零点，有一个零点， 令令 f(x)0，得，得 a2x， 因为因为 01. 1 sin 1 又又 00， 1 a 所以函数所以函数 f(x)axxb 在在(1,0)内有一个零点，内有一个零点， 故故 n1. 7 两个函数的图象经过平移后能够重合， 称这两个函数为 “同根函数” ， 给出四个函数 ： 两个函数的图象经过平移后能够重合， 称这两个函数为 “同根函数” ， 给出四个函数 ： f1(x)2log2(x1)， f2(x)log2(x2)， f3(x)log2x2， f4(x)log2(2x)， 则 “同根函数” 是， 则 “同根函数” 是( ) Af2(x)与与 f4(x) Bf1(x)与与 f3(x) Cf1(x)与与 f4(x) Df3(x)与与 f4(x) 解析 ： 选解析 ： 选 A f4(x)log2(2x)1log2x，f2(x)log2(x2)，将，将 f2(x)的图象沿着的图象沿着 x 轴先向 右平移 轴先向 右平移2个单位得到个单位得到ylog2x的图象， 然后再沿着的图象， 然后再沿着y轴向上平移轴向上平移1个单位可得到个单位可得到f4(x)的图象， 根据“同根函数”的定义可知选 的图象， 根据“同根函数”的定义可知选 A. 8已知已知 f(x)|ln(x1)|，若，若 f(a)f(b)(a0 Bab1 C2ab0 D2ab1 解析 ： 选解析 ： 选 A 作出函数 作出函数 f(x)|ln(x1)|的图象如图所示，由的图象如图所示，由 f(a) f(b)(a0，又易知，又易知 10， ab40， a b0.故选故选 A. 9 已知定义在 R 上的函数 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 ： 图象关于点满足 ： 图象关于点(1,0)对称 ； 对称 ； f(1x)f(1x)； 当 ； 当 x1,1时，时，f(x)Error!则函数则函数 yf(x) |x|在区间 在区间3,3上的零点个数为上的零点个数为( ) ( 1 2) A5 B6 C7 D8 解析：选解析：选 A 因为 因为 f(1x)f(1x)，所以函数，所以函数 f(x)的图象 关于直线 的图象 关于直线 x1对称， 又函数对称， 又函数 f(x)的图象关于点的图象关于点(1,0)对称， 如图所示， 画出 对称， 如图所示， 画出 yf(x)以及以及 g(x) |x|在 在3,3上的图象， 由图可知， 两函数图上的图象， 由图可知， 两函数图 ( 1 2) 象的交点个数为象的交点个数为 5，所以函数，所以函数 yf(x) |x|在区间 在区间3,3上的零点个数为上的零点个数为 5，故选，故选 A. ( 1 2) 10设函数设函数 f(x)e|ln x|(e 为自然对数的底数为自然对数的底数)若若 x1x2且且 f(x1)f(x2)，则下列结论一定 不成立的是 ，则下列结论一定 不成立的是( ) Ax2f(x1)1 Bx2f(x1)1 Cx2f(x1)1， f(x2)x21， x2f(x1)1， 则， 则 A 1 x1 成立 若成立 若 01，f(x1)x11，则，则 x2f(x1)x2x11， 1 x2 则则 B 成立对于成立对于 D，若，若 01，x1f(x2)1，则，则 D 不成立；若不成立；若 01，则，则 D 成立故选成立故选 C. 11 (2018·惠州调研惠州调研)函数函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时，时， f(x)Error!则函数则函数 g(x) xf(x)1 在在6，)上的所有零点之和为上的所有零点之和为( ) A8 B32 C. D0 1 2 解析 ： 选解析 ： 选A 令 令g(x)xf(x)10， 则， 则x0， 所以函数， 所以函数g(x)的零点之和等价于函数的零点之和等价于函数yf(x) 的图象和的图象和 y 的图象的交点的横坐标之和，分别作出 的图象的交点的横坐标之和，分别作出 x0 时，时，yf(x)和和 y 的大致图象， 的大致图象， 1 x 1 x 如图所示，如图所示， 由于由于 yf(x)和和 y 的图象都关于原点对称，因此函数 的图象都关于原点对称，因此函数 g(x)在在6,6上的所有零点之和上的所有零点之和 1 x 为为 0，而当，而当 x8 时，时，f(x) ，即两函数的图象刚好有 ，即两函数的图象刚好有 1 个交点，且当个交点，且当 x(8，)时，时，y 1 8 的图象都在的图象都在 yf(x)的图象的上方，因此的图象的上方，因此 g(x)在在6，)上的所有零点之和为上的所有零点之和为 8. 1 x 12已知在区间已知在区间(0,2上的函数上的函数 f(x)Error!且且 g(x)f(x)mx 在区间在区间(0,2内有且仅有两 个不同的零点，则实数 内有且仅有两 个不同的零点，则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A.B. ( 9 4， ， 2 ( 0， ，1 2 ( 11 4 ， ，2 (0， ，1 2 C.D. ( 9 4， ， 2 ( 0， ，2 3 ( 11 4 ， ，2 (0， ，2 3 解析 ： 选解析 ： 选 A 由函数 由函数 g(x)f(x)mx 在在(0,2内有且仅有两个不同的 零点，得 内有且仅有两个不同的 零点，得yf(x)，ymx在在(0,2内的图象有且仅有两个不同的交点当内的图象有且仅有两个不同的交点当ymx 与与y 3在在(0,1内相切时，内相切时，mx23x10，94m0，m ，结合 ，结合 1 x 9 4 图象可得当图象可得当 0 时，时，f(x)(ln x)22ln x3(ln x1)222； 当当 x0 时，时， 0， 则有则有 2t23(lg a)·t(lg a)240 的解都是正数，的解都是正数， 设设 f(t)2t23(lg a)·t(lg a)24， 则则Error! 解得解得 lg a2， 所以所以 0a，所以实数，所以实数 a 的取值范围是的取值范围是. 1 100 (0， ， 1 100) 答案：答案：(0， ， 1 100)