2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分 第二层级 重点增分专题十　直线与圆含解析.pdf

重点增分专题十 直线与圆重点增分专题十 直线与圆 全国卷全国卷 3 年考情分析年考情分析 年份年份全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷全国卷 2018 直线方程、圆的方程、点到直线的 距离 直线方程、圆的方程、点到直线的 距离·T6 直线与圆的位置关系、点到直线的 距离、椭圆的几何性质 直线与圆的位置关系、点到直线的 距离、椭圆的几何性质·T10 2017 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质·T15 圆的弦长问题、双曲 线的几何性质 圆的弦长问题、双曲 线的几何性质·T9直线与圆的方程、直线与抛物线的 位置关系 直线与圆的方程、直线与抛物线的 位置关系·T20 2016 圆的方程、点到直线 的距离 圆的方程、点到直线 的距离·T4 点到直线的距离、弦长问题点到直线的距离、弦长问题·T16 (1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等 偏下，多以选择题或填空题形式考查 圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等 偏下，多以选择题或填空题形式考查 (2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题 的位置，难度较大，对直线与圆的方程 直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题 的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题 上 的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题 上 保分考点保分考点·练后讲评练后讲评考考点点一一直直线线的的方方程程 1.已知直线已知直线 l1：(k3)x(4k)y10 与直线与直线 l2：2(k3)x2y30 平平两两直直线 线平平行行 行，则行，则 k 的值是的值是( ) A1 或或 3 B1 或或 5 C3 或或 5 D1 或或 2 解析：选解析：选 C 当 当 k4 时，直线时，直线 l1的斜率不存在，直线的斜率不存在，直线 l2的斜率存在，所以两直线不平 行；当 的斜率存在，所以两直线不平 行；当 k4 时，两直线平行的一个必要条件是时，两直线平行的一个必要条件是k3，解得，解得 k3 或或 k5，但必须满，但必须满 3 k 4 k 足足 (截距不等截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件才是充要条件，经检验知满足这个条件 1 k 4 3 2 2两直线垂直两直线垂直已知直线已知直线 mx4y20 与与 2x5yn0 互相垂直，垂足为互相垂直，垂足为 P(1，p)， 则 ， 则 mnp 的值是的值是( ) A24 B20 C0 D4 解析：选解析：选 B 直线 直线 mx4y20 与与 2x5yn0 互相垂直，互相垂直， × × 1，m10. m 4 2 5 直线直线 mx4y20，即，即 5x2y10， 将垂足将垂足(1，p)代入，得代入，得 52p10，p2. 把把 P(1，2)代入代入 2x5yn0，得，得 n12， mnp20，故选，故选 B. 3.坐标原点坐标原点(0,0)关于直线关于直线 x2y20 对称的点的坐标是对称的点的坐标是( ) 对 对称 称问问题 题 A. B. ( 4 5， ， 8 5) ( 4 5， ， 8 5) C. D. ( 4 5， ， 8 5) ( 4 5， ， 8 5) 解析：选解析：选 A 直线 直线 x2y20 的斜率的斜率 k ，设坐标原点 ，设坐标原点(0,0)关于直线关于直线 x2y20 1 2 对称的点的坐标是对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得，依题意可得Error!解得解得Error!即所求点的坐标是即所求点的坐标是. ( 4 5， ， 8 5) 4.已知直线已知直线 l 过直线过直线 l1：x2y30 与直线与直线 l2：2x3y80 的的两两直直线 线的的交交点点与与距距离 离 交点，且点交点，且点 P(0,4)到直线到直线 l 的距离为的距离为 2，则直线，则直线 l 的方程为的方程为_ 解析 ： 由解析 ： 由Error!得得Error!所以直线所以直线 l1与与 l2的交点为的交点为(1,2)显然直线显然直线 x1 不符合，即所求 直线的斜率存在，设所求直线的方程为 不符合，即所求 直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y2k(x1)，即，即 kxy2k0，因为，因为 P(0,4)到 直线 到 直线l的距离为的距离为2， 所以， 所以2， 所以， 所以k0或或k .所以直线所以直线l的方程为的方程为y2或或4x3y |42 k| 1 k2 4 3 20. 答案：答案：y2 或或 4x3y20 解题方略解题方略 1两直线的位置关系问题的解题策略两直线的位置关系问题的解题策略 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条 件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数若出现斜率不存在的情况，可考虑用 数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条 件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数若出现斜率不存在的情况，可考虑用 数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断 2轴对称问题的两种类型及求解方法轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线的对称点关于直线的对称 若两点若两点 P1(x1，y1)与与 P2(x2，y2)关于直线关于直线 l：AxByC0 对称，则 线段 对称，则 线段 P1P2的中点在对称轴的中点在对称轴 l 上，而且连接上，而且连接 P1，P2的直线垂直于对称 轴 的直线垂直于对称 轴 l.由方程组由方程组Error!可得到点可得到点 P1关于关于 l 对称的点对称的点 P2的坐标的坐标(x2， y2)(其中其中 B0，x1x2) 直线关于直线的对称直线关于直线的对称 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴 平行一般转化为点关于直线的对称来解决 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴 平行一般转化为点关于直线的对称来解决 保分考点保分考点·练后讲评练后讲评考考点点二二圆圆的的方方程程 大稳定大稳定常常规 规角角度度考考双双基基 1.若方程若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆， 则实数表示圆， 则实数 a 的的由由圆 圆的的方方程程求求参参数 数范范围 围 取值范围是取值范围是( ) A(，2) B.(2 3， ，0) C(2,0) D.(2， ，2 3) 解析：选解析：选 D 若方程表示圆，则 若方程表示圆，则 a2(2a)24(2a2a1)0，化简得，化简得 3a24a40)，由题意知，解得，由题意知，解得 a2，所以，所以 r 3，故圆，故圆 C |2a| 5 4 5 5 22 5 2 的标准方程为的标准方程为(x2)2y29. 答案：答案：(x2)2y29 解题方略解题方略 求圆的方程的 求圆的方程的 2 种方法种方法 几何法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 小创新小创新变 变换换角角度度考考迁迁移移 1.已知圆已知圆M： x2y22xa0， 若， 若AB为圆为圆M的任意一条直径， 且的任意一条直径， 且与与平平面面向向量量交交汇 汇 OA ·6(其中其中 O 为坐标原点为坐标原点)，则圆，则圆 M 的半径为的半径为( )OB A. B.56 C. D272 解析：选解析：选 C 圆 圆 M 的标准方程为的标准方程为(x1)2y21a(a0)截直线截直线 xy0 所得线段的长度是所得线段的长度是 2，则圆，则圆 M 与与2 圆圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是的位置关系是( ) A内切内切 B相交相交 C外切外切 D相离相离 解析：选解析：选 B 圆 圆 M：x2y22ay0(a0)可化为可化为 x2(ya)2a2，由题意，由题意，M(0，a)到 直线 到 直线 xy0 的距离的距离 d，所以，所以 a22，解得，解得 a2.所以圆所以圆 M：x2(y2)24，所以，所以 a 2 a2 2 两圆的圆心距为，半径和为两圆的圆心距为，半径和为 3，半径差为，半径差为 1，故两圆相交，故两圆相交2 4 (2018·全国卷全国卷)直线直线xy20分别与分别与x轴，轴， y轴交于轴交于A， B两点， 点两点， 点P在圆在圆(x2)2y2 2 上，则上，则ABP 面积的取值范围是面积的取值范围是( ) A2,6 B4,8 C，3 D2，32222 解析：选解析：选 A 设圆 设圆(x2)2y22 的圆心为的圆心为 C，半径为，半径为 r，点，点 P 到直线到直线 xy20 的距 离为 的距 离为 d， 则圆心则圆心 C(2,0)，r，2 所以圆心所以圆心 C 到直线到直线 xy20 的距离为的距离为2， |2 2| 2 2 可得可得 dmax2r3，dmin2r.2222 由已知条件可得由已知条件可得|AB|2，2 所以所以ABP 面积的最大值为面积的最大值为 |AB|·dmax6， 1 2 ABP 面积的最小值为面积的最小值为 |AB|·dmin2. 1 2 综上，综上，ABP 面积的取值范围是面积的取值范围是2,6 5已知圆已知圆 O： x2y24 上到直线上到直线 l： xya 的距离等于的距离等于 1 的点至少有的点至少有 2 个，则实数个，则实数 a 的取值范围为的取值范围为( ) A(3，3)22 B(，3)(3，)22 C(2，2)22 D3，3 22 解析 ： 选解析 ： 选 A 由圆的方程可知圆心为 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为，半径为 2.因为圆因为圆 O 上到直线上到直线 l 的距离等于的距离等于 1 的点至少有的点至少有2个， 所以圆心到直线个， 所以圆心到直线l的距离的距离d0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因为，因为，故故 M 2k k21 2 k21 OM OA OB ，又点又点 M 在圆在圆 C 上，故上，故4，解得解得 k0. ( 2 k2 1， ， 2k k2 1) 4 k 2 1 2 4k2 k 2 1 2 法二 ： 由直线与圆相交于法二 ： 由直线与圆相交于A， B两点， 且点两点， 且点M在圆在圆C上， 得圆心上， 得圆心C(0,0)OM OA OB 到直线到直线 xky10 的距离为半径的一半，为的距离为半径的一半，为 1，即，即 d1，解得，解得 k0. 1 1 k2 二、填空题二、填空题 7已知直线已知直线 l：xmy30 与圆与圆 C：x2y24 相切，则相切，则 m_. 解析 ： 因为圆解析 ： 因为圆 C： x2y24 的圆心为的圆心为(0,0)， 半径为， 半径为 2， 直线， 直线 l： xmy30 与圆与圆 C： x2y2 4 相切，所以相切，所以 2，解得，解得 m± . 3 1 m2 5 2 答案：答案：± 5 2 8过点过点 C(3,4)作圆作圆 x2y25 的两条切线，切点分别为的两条切线，切点分别为 A，B，则点，则点 C 到直线到直线 AB 的距 离为 的距 离为_ 解析 ： 以解析 ： 以 OC 为直径的圆的方程为为直径的圆的方程为 2 (y2)2 2， ， AB 为圆为圆 C 与圆与圆 O： x2y25 (x 3 2) ( 5 2) 的公共弦，所以的公共弦，所以 AB 的方程为的方程为 x2y25，化简得，化简得 3x4y50，所，所 (x 3 2) 2 y 2 2 25 4 以以 C 到直线到直线 AB 的距离的距离 d4. |3 ×× 34 ×× 45| 3242 答案：答案：4 9 (2018·贵阳适应性考试贵阳适应性考试)已知直线已知直线 l： ax3y120 与圆与圆 M： x2y24y0 相交于相交于 A， B 两点，且两点，且AMB ，则实数 ，则实数 a_. 3 解析：直线解析：直线 l 的方程可变形为的方程可变形为 y ax4， 所以直线， 所以直线 l 过定点过定点(0,4)， 1 3 且该点在圆且该点在圆 M 上 圆的方程可变形为上 圆的方程可变形为 x2(y2)24， 所以圆心为， 所以圆心为 M(0， 2)， 半径为， 半径为 2.如图， 因为如图， 因为AMB ，所以 ，所以AMB 是等边三角形，且是等边三角形，且 3 边长为边长为2，高为，即 圆心，高为，即 圆心M到直线到直线l的距离为，所以的距离为，所以33 |6 12| a29 3 ，解得，解得 a± . 3 答案：答案：± 3 三、解答题三、解答题 10已知圆已知圆(x1)2y225，直线，直线 axy50 与圆相交于不同的两点与圆相交于不同的两点 A，B. (1)求实数求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)若弦若弦 AB 的垂直平分线的垂直平分线 l 过点过点 P(2,4)，求实数，求实数 a 的值的值 解：解：(1)把直线把直线 axy50 代入圆的方程，代入圆的方程， 消去消去 y 整理，得整理，得(a21)x22(5a1)x10， 由于直线由于直线 axy50 交圆于交圆于 A，B 两点，两点， 故故 4(5a1)24(a21)0， 即即 12a25a0，解得，解得 a或或 a0，b0)，即，即 bxayab0， x a y b 由直线由直线l与圆与圆O相切， 得， 即 ， 则相切， 得， 即 ， 则|DE|2a2b22(a2b2) | ab| b2a2 2 1 a2 1 b2 1 2 ( 1 a2 1 b2) 48，当且仅当，当且仅当 ab2 时取等号，此时直线时取等号，此时直线 l 的方程为的方程为 xy20. 2b2 a2 2a2 b2 B 组组大题专攻补短练大题专攻补短练 1已知点已知点 M(1,0)，N(1,0)，曲线，曲线 E 上任意一点到点上任意一点到点 M 的距离均是到点的距离均是到点 N 的距离的的距离的 3 倍倍 (1)求曲线求曲线 E 的方程；的方程； (2)已知已知 m0， 设直线， 设直线 l1： xmy10 交曲线交曲线 E 于于 A， C 两点， 直线两点， 直线 l2： mxym0 交曲线交曲线 E 于于 B，D 两点当两点当 CD 的斜率为的斜率为1 时，求直线时，求直线 CD 的方程的方程 解：解：(1)设曲线设曲线 E 上任意一点的坐标为上任意一点的坐标为(x，y)， 由题意得由题意得 ·， x 1 2 y23 x 1 2 y2 整理得整理得 x2y24x10，即，即(x2)2y23 为所求为所求 (2)由题意知由题意知 l1l2，且两条直线均恒过点，且两条直线均恒过点 N(1，0) 设曲线设曲线E的圆心为的圆心为E， 则， 则E(2,0)， 设线段， 设线段CD的中点为的中点为P， 连接， 连接EP， ED， NP， 则直线， 则直线EP： y x2. 设直线设直线 CD：yxt， 由由Error!解得点解得点 P， ( t 2 2 ， ，t 2 2) 由圆的几何性质，知由圆的几何性质，知|NP| |CD| ， 1 2 |ED|2|EP|2 而而|NP|2 2 2， ，|ED|23， ( t 2 2 1) ( t 2 2) |EP|2 2， ， ( |2 t| 2) 所以所以 2 2 3，整理得，整理得 t23t0， ( t 2) ( t 2 2) t 2 2 2 解得解得 t0 或或 t3， 所以直线所以直线 CD 的方程为的方程为 yx 或或 yx3. 2在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，点中，点 A(0,3)，直线，直线 l： y2x4，设圆，设圆 C 的半径为的半径为 1，圆心 在 ，圆心 在 l 上上 (1)若圆心若圆心 C 也在直线也在直线 yx1 上，过点上，过点 A 作圆作圆 C 的切线，求切线的方程；的切线，求切线的方程； (2)若圆若圆 C 上存在点上存在点 M，使，使|MA|2|MO|，求圆心，求圆心 C 的横坐标的横坐标 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)因为圆心在直线因为圆心在直线 l：y2x4 上，也在直线上，也在直线 yx1 上，上， 所以解方程组所以解方程组Error!得圆心得圆心 C(3,2)， 又因为圆的半径为又因为圆的半径为 1， 所以圆的方程为所以圆的方程为(x3)2(y2)21， 又因为点又因为点 A(0,3)，显然过点，显然过点 A，圆，圆 C 的切线的斜率存在，的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为设所求的切线方程为 ykx3，即，即 kxy30， 所以所以1，解得，解得 k0 或或 k ， ， |3k2 3| k212 3 4 所以所求切线方程为所以所求切线方程为 y3 或或 y x3， 3 4 即即 y30 或或 3x4y120. (2)因为圆因为圆 C 的圆心在直线的圆心在直线 l：y2x4 上，上， 所以设圆心所以设圆心 C 为为(a,2a4)， 又因为圆又因为圆 C 的半径为的半径为 1， 则圆则圆 C 的方程为的方程为(xa)2(y2a4)21. 设设 M(x，y)，又因为，又因为|MA|2|MO|，则有，则有 2，x2 y 3 2 x2y2 整理得整理得 x2(y1)24，其表示圆心为，其表示圆心为(0，1)，半径为，半径为 2 的圆，设为圆的圆，设为圆 D， 所以点所以点 M 既在圆既在圆 C 上，又在圆上，又在圆 D 上，即圆上，即圆 C 与圆与圆 D 有交点，有交点， 所以所以 21 21，a2 2a4 1 2 解得解得 0a， 12 5 所以圆心所以圆心 C 的横坐标的横坐标 a 的取值范围为的取值范围为. 0， ， 12 5 3 在直角坐标系 在直角坐标系 xOy 中， 曲线中， 曲线 yx2mx2 与与 x 轴交于轴交于 A， B 两点， 点两点， 点 C 的坐标为的坐标为(0,1)， 当 ， 当 m 变化时，解答下列问题：变化时，解答下列问题： (1)能否出现能否出现 ACBC 的情况？说明理由；的情况？说明理由； (2)证明过证明过 A，B，C 三点的圆在三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值轴上截得的弦长为定值 解：解：(1)不能出现不能出现 ACBC 的情况，理由如下：的情况，理由如下： 设设 A(x1,0)，B(x2,0)，则，则 x1，x2满足满足 x2mx20， 所以所以 x1x22. 又又 C 的坐标为的坐标为(0,1)， 故故 AC 的斜率与的斜率与 BC 的斜率之积为的斜率之积为· ， ， 1 x1 1 x2 1 2 所以不能出现所以不能出现 ACBC 的情况的情况 (2)证明：由证明：由(1)知知 BC 的中点坐标为，的中点坐标为， ( x2 2 ， ，1 2) 可得可得 BC 的中垂线方程为的中垂线方程为 y x2. 1 2 (x x 2 2) 由由(1)可得可得 x1x2m， 所以所以 AB 的中垂线方程为的中垂线方程为 x . m 2 联立联立Error!可得可得Error! 所以过所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为，半径三点的圆的圆心坐标为，半径 r. ( m 2 ， ，1 2) m29 2 故圆在故圆在 y 轴上截得的弦长为轴上截得的弦长为 23，即过，即过 A，B，C 三点的圆在三点的圆在 y 轴上截得的弦轴上截得的弦r2(m 2) 2 长为定值长为定值 4(2018·广州高中综合测试广州高中综合测试)已知定点已知定点 M(1,0)和和 N(2,0)，动点，动点 P 满足满足|PN|PM|.2 (1)求动点求动点 P 的轨迹的轨迹 C 的方程；的方程； (2)若若 A，B 为为(1)中轨迹中轨迹 C 上两个不同的点，上两个不同的点，O 为坐标原点设直线为坐标原点设直线 OA，OB，AB 的斜 率分别为 的斜 率分别为 k1，k2，k.当当 k1k23 时，求时，求 k 的取值范围的取值范围 解：解：(1)设动点设动点 P 的坐标为的坐标为(x，y)， 因为因为 M(1,0)，N(2,0)，|PN|PM|，2 所以所以 ·. x 2 2 y22 x 1 2 y2 整理得，整理得，x2y22. 所以动点所以动点 P 的轨迹的轨迹 C 的方程为的方程为 x2y22. (2)设点设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线，直线 AB 的方程为的方程为 ykxb. 由由Error!消去消去 y，整理得，整理得(1k2)x22bkxb220.(*) 由由 (2bk)24(1k2)(b22)0，得，得 b2. 3 3 3 3 要使要使 k1，k2，k 有意义，则有意义，则 x10，x20， 所以所以 0 不是方程不是方程(*)的根，的根， 所以所以 b220，即，即 k1 且且 k1. 由，得由，得 k 的取值范围为的取值范围为 ，1)(1， 3 ( 1， ， 3 3) ( 3 3 ， ，1) 3