2019版二轮复习数学（理·普通生）通用版讲义：第一部分 第二层级 高考5个大题 题题研诀窍 立体几何问题重在“建”——建模、建系含解析.pdf

技法指导技法指导迁移搭桥迁移搭桥 思思维 维流流程程找找突 突破破口口 立体几何解答题建模、建系策略立体几何解答题建模、建系策略 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合， 以 某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目 的原则是建模、建系 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合， 以 某个几何体为依托，分步设问，逐层加深解决这类题目 的原则是建模、建系 建模建模将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型 及角度、距离等的计算模型 将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型 及角度、距离等的计算模型 建系建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系， 利用空间向量求解 依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系， 利用空间向量求解. 典例典例 (2018·全国卷 全国卷 )如图，在三棱锥如图，在三棱锥P­ABC中，中，ABBC2，PAPBPC2 AC4， O 为为 AC 的中点的中点 (1)证明：证明：PO平面平面 ABC； (2)若点若点 M 在棱在棱 BC 上， 且二面角上， 且二面角 M­PA­C 为为 30° ， 求° ， 求 PC 与平面与平面 PAM 所 成角的正弦值 所 成角的正弦值 快审题快审题 求什么求什么 想什么想什么 证明线面垂直，想线面垂直成立的条件证明线面垂直，想线面垂直成立的条件 求线面角的正弦值，想平面的法向量及直线的方向向量求线面角的正弦值，想平面的法向量及直线的方向向量 给什么给什么 用什么用什么 给出边的长度，用勾股定理证线线垂直给出边的长度，用勾股定理证线线垂直 给出二面角的大小，可求出点给出二面角的大小，可求出点 M 的位置的位置 差什么差什么 找什么找什么 差点差点 M 的坐标，利用垂直关系建立空间直角坐标系，找出平面的坐标，利用垂直关系建立空间直角坐标系，找出平面 PAM， 平面 ， 平面 PAC 的法向量的法向量. 稳解题稳解题 (1)证明：因为证明：因为 PAPCAC4，O 为为 AC 的中点，的中点， 所以所以 POAC，且，且 PO2 . 3 连接连接 OB，因为，因为 ABBCAC， 2 2 所以所以ABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， 且且 OBAC，OB AC2. 1 2 所以所以 PO2OB2PB2， 所以所以 POOB. 又因为又因为 OBACO， 所以所以 PO平面平面 ABC. (2)以以 O 为坐标原点，为坐标原点， 的方向为的方向为 x 轴正方向，轴正方向，OB 建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 O­xyz. 由已知得由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)， A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，3 (0,2,2)AP 3 取平面取平面 PAC 的一个法向量的一个法向量(2,0,0)OB 设设 M(a,2a,0)(00) 则则 P(0，a，h) (0，a，h)，(0，a2，h)，(1,1,0)AP DP AC PAPD，·a(a2)h20.AP DP AC 与与 PD 所成角为所成角为 60° ，° ， |cos，| ， ，AC DP |a 2| 2· a 2 2 h2 1 2 (a2)2h2，(a2)(a1)0， 00，h1，P(0,1,1) (0,1,1)，(1,1,0)，(1,0，1)，(1，1,0)，AP AC PC DC 设平面设平面 APC 的法向量为 n的法向量为 n(x1，y1，z1)， 则则Error!即即Error! 令令 x11，得，得 y11，z11， 平面平面 APC 的一个法向量为 n的一个法向量为 n(1，1,1)， 设平面设平面 DPC 的法向量为 m的法向量为 m(x2，y2，z2) 则则Error!即即Error! 令令 x21，得，得 y21，z21， 平面平面 DPC 的一个法向量为 m的一个法向量为 m(1,1,1) cosm，nm，n . m·n |m|n| 1 3 二面角二面角 A­PC­D 的平面角为钝角，的平面角为钝角， 二面角二面角 A­PC­D 的余弦值为的余弦值为 . 1 3 3 (2018·西安质检西安质检)如图， 四棱柱如图， 四棱柱 ABCD­A1B1C1D1的底面的底面 ABCD 是菱形，是菱形， ACBDO， A1O底面底面 ABCD，AB2，AA13. (1)证明：平面证明：平面 A1CO平面平面 BB1D1D； (2)若若BAD60° ，求二面角° ，求二面角 B­OB1­C 的余弦值的余弦值 解：解：(1)证明：证明：A1O平面平面 ABCD，BD平面平面 ABCD. A1OBD. 四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形， COBD. A1OCOO， BD平面平面 A1CO. BD平面平面 BB1D1D， 平面平面 A1CO平面平面 BB1D1D. (2)A1O平面平面 ABCD，COBD，OB，OC，OA1两两垂直，以两两垂直，以 O 为坐标原点，为坐标原点，OB ，的方向为，的方向为 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系OC OA1 AB2，AA13，BAD60° ，° ， OBOD1，OAOC，3 OA1.AA2 1OA26 则则 O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0， ， ，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，336 (1,0,0)，(0， ， ，)，OB BB1 AA1 36 (1， ， ，)，(0， ， ，0)OB1 OB BB1 36OC 3 设平面设平面 OBB1的法向量为 n的法向量为 n(x1，y1，z1)， 则则Error!即即Error! 令令 y1，得 n，得 n(0， ， ，1)是平面是平面 OBB1的一个法向量的一个法向量22 设平面设平面 OCB1的法向量 m的法向量 m(x2，y2，z2)， 则则Error!即即Error! 令令 z21，得 m，得 m(，0，1)为平面为平面 OCB1的一个法向量，的一个法向量，6 cosn，m，n，m， n·m |n|·|m| 1 3 ××7 21 21 由图可知二面角由图可知二面角 B­OB1­C 是锐二面角，是锐二面角， 二面角二面角 B­OB1­C 的余弦值为的余弦值为. 21 21 4(2018·潍坊统考潍坊统考)在平行四边形在平行四边形 PABC 中，中，PA4，PC2，P45° ，° ，D 是是 PA2 的中点的中点(如图如图 1)将将PCD 沿沿 CD 折起到图折起到图 2 中中P1CD 的位置，得到四棱锥的位置，得到四棱锥 P1­ABCD. (1)将将PCD 沿沿 CD 折起的过程中，折起的过程中，CD平面平面 P1DA 是否成立？请证明你的结论是否成立？请证明你的结论 (2)若若 P1D 与平面与平面 ABCD 所成的角为所成的角为 60° ，且° ，且P1DA 为锐角三角形，求平面为锐角三角形，求平面 P1AD 和平和平 面面 P1BC 所成角的余弦值所成角的余弦值 解：解：(1)将将PCD 沿沿 CD 折起过程中，折起过程中，CD平面平面 P1DA 成立证明如下：成立证明如下： D 是是 PA 的中点，的中点，PA4，DPDA2， 在在PDC 中，由余弦定理得，中，由余弦定理得， CD2PC2PD22PC·PD·cos 45° ° 842××2××2××4，2 2 2 CD2PD， CD2DP28PC2， PDC 为等腰直角三角形且为等腰直角三角形且 CDPA， CDDA，CDP1D，P1DADD， CD平面平面 P1DA. (2)由由(1)知知 CD平面平面 P1DA，CD平面平面 ABCD， 平面平面 P1DA平面平面 ABCD， P1DA 为锐角三角形， 为锐角三角形， P1在平面在平面 ABCD 内的射影必在棱内的射影必在棱 AD 上， 记为上， 记为 O， 连接， 连接 P1O， ， P1O平面平面 ABCD， 则则P1DA 是是 P1D 与平面与平面 ABCD 所成的角，所成的角， P1DA60° ，° ， DP1DA2， P1DA 为等边三角形，为等边三角形，O 为为 AD 的中点，的中点， 故以故以 O 为坐标原点，过点为坐标原点，过点 O 且与且与 CD 平行的直线为平行的直线为 x 轴，轴，DA 所在直线为所在直线为 y 轴，轴，OP1所在直线为所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 轴建立如图所示的空间直角坐 标系， 设设 x 轴与轴与 BC 交于点交于点 M， DAP1A2，OP1，3 易知易知 ODOACM1， BM3， 则则 P1(0,0，)，D(0，1,0)，C(2，1,0)，B(2,3,0)，(2,0,0)，(0，4,0)，3DC BC (2，1，)，P1C 3 CD平面平面 P1DA， 可取平面可取平面 P1DA 的一个法向量 n的一个法向量 n1(1,0,0)， 设平面设平面 P1BC 的法向量 n的法向量 n2(x2，y2，z2)， 则则Error!即即Error! 令令 z21，则 n，则 n2， ( 3 2 ， ，0， ，1) 设平面设平面 P1AD 和平面和平面 P1BC 所成的角为所成的角为 ， 由图易知由图易知 为锐角，为锐角， cos |cosnn1，n，n2|. |n n 1·n n 2| | n n 1|·| n n 2| 3 2 1 ×× 7 2 21 7 平面平面 P1AD 和平面和平面 P1BC 所成角的余弦值为所成角的余弦值为. 21 7