2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分 专题十一 直线与圆含解析.pdf

专题十一专题十一 Error! 直线与圆直线与圆 卷卷卷卷卷卷 2018_ 直线方程、圆的方程、点到直线的 距离 直线方程、圆的方程、点到直线的 距离·T6 平面向量基本定理、直线与圆位置 关系 平面向量基本定理、直线与圆位置 关系·T12 2017 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质·T15 圆的弦长问题、双 曲线的几何性 质 圆的弦长问题、双 曲线的几何性 质·T9 直线与圆的方程、直线与抛物线位 置关系 直线与圆的方程、直线与抛物线位 置关系·T20 2016 抛物线、圆的标准 方程 抛物线、圆的标准 方程·T10 圆的方程、点到直 线的距离 圆的方程、点到直 线的距离·T4 点到直线的距离、弦长问题点到直线的距离、弦长问题·T16 纵向把握 趋势 纵向把握 趋势 卷卷3 年年 2 考， 涉及 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线、 抛 物 线 的 几 何 性 质预计 考， 涉及 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线、 抛 物 线 的 几 何 性 质预计 2019 年会 以选择题的形式考 查圆方程的求法及 应用 年会 以选择题的形式考 查圆方程的求法及 应用 卷卷3 年年 2 考， 涉及 圆的方程、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质，题型 为选择题，难度适 中预计 考， 涉及 圆的方程、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质，题型 为选择题，难度适 中预计 2019 年会 以选择题的形式考 查直线与圆的综合 问题 年会 以选择题的形式考 查直线与圆的综合 问题 卷卷3 年年 4 考，涉及直线方程、圆的 方程、点到直线的距离、弦长问题、 直线与抛物线的位置关系、椭圆的 几何性质等，既有选择、填空题， 也有解答题，难度适中预计 考，涉及直线方程、圆的 方程、点到直线的距离、弦长问题、 直线与抛物线的位置关系、椭圆的 几何性质等，既有选择、填空题， 也有解答题，难度适中预计 2019 年会以选择题或填空题的形式考查 直线与圆的位置关系，同时要注意 圆与椭圆、双曲线、抛物线的综合 问题 年会以选择题或填空题的形式考查 直线与圆的位置关系，同时要注意 圆与椭圆、双曲线、抛物线的综合 问题 横向把握 重点 横向把握 重点 1.圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中 等偏下，多以选择题或填空题形式考查 圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中 等偏下，多以选择题或填空题形式考查 2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在 压轴题的位置， 难度较大， 对直线与圆的方程 直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在 压轴题的位置， 难度较大， 对直线与圆的方程(特别是直线特别是直线)的考查主要体现在圆 锥曲线的综合问题上 的考查主要体现在圆 锥曲线的综合问题上. 直线的方程直线的方程 题组全练题组全练 1已知已知 p：直线：直线 xy10 与直线与直线 xmy20 平行，平行，q：m1，则，则 p 是是 q 的的( ) A充要条件 充要条件 B充分不必要条件充分不必要条件 C必要不充分条件必要不充分条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：选解析：选 A 由于两直线平行的充要条件是 ，即 由于两直线平行的充要条件是 ，即 m1.故选故选 A. 1 1 1 m 1 2 2已知直线已知直线xy10 与直线与直线 2xmy30 平行，则它们之间的距离是平行，则它们之间的距离是( )33 A1 B.5 4 C3 D4 解析：选解析：选 B 由题意可知，解得 由题意可知，解得 m2，所以两平行线之间的距离，所以两平行线之间的距离 d 3 2 3 1 m 1 3 . | 13 2| 3 1 5 4 3 已知点 已知点 M 是直线是直线 xy2 上的一个动点， 且点上的一个动点， 且点 P(， ， 1)， 则， 则|PM|的最小值为的最小值为( )33 A. B1 1 2 C2 D3 解析 ： 选解析 ： 选 B |PM|的最小值即点的最小值即点 P(，1)到直线到直线 xy2 的距离，又的距离，又1.33 | 3 3 2| 1 3 故故|PM|的最小值为的最小值为 1. 4设设 A，B 是是 x 轴上的两点，点轴上的两点，点 M 的横坐标为的横坐标为 3，且，且|MA|MB|，若直线，若直线 MA 的方程 为 的方程 为 xy10，则直线，则直线 MB 的方程是的方程是( ) Axy70 Bxy70 Cx2y10 Dx2y10 解析：选解析：选 A 法一：由 法一：由|MA|MB|知，点知，点 M 在在 A，B 的垂直平分线上由点的垂直平分线上由点 M 的横坐 标为 的横坐 标为 3， 且直线， 且直线 MA 的方程为的方程为 xy10， 得， 得 M(3,4) 由题意知， 直线 由题意知， 直线 MA， MB 关于直线关于直线 x3 对称，故直线对称，故直线 MA 上的点上的点(0,1)关于直线关于直线 x3 的对称点的对称点(6,1)在直线在直线 MB 上，直线上，直线 MB 的方 程为 的方 程为 xy70. 法二：由点法二：由点 M 的横坐标为的横坐标为 3，且直线，且直线 MA 的方程为的方程为 xy10，得，得 M(3,4)，代入四个 选项可知只有 ，代入四个 选项可知只有 A 项满足题意，选项满足题意，选 A. 5.如图所示，射线如图所示，射线OA， OB与与x轴正半轴的夹角分别为轴正半轴的夹角分别为45°和和30°， 过点 ， 过点 P(1,0)作直线分别交作直线分别交 OA，OB 于于 A，B 两点，当两点，当 AB 的中点的中点 C 恰 好落在直线 恰 好落在直线 x2y0 上时，直线上时，直线 AB 的方程为的方程为_ 解析 ： 由题意可得解析 ： 由题意可得 kOAtan 45°1， kOBtan 150°， 所以直， 所以直 3 3 线线 lOA：yx，lOB：yx，设，设 A(m，m)，B(n，n)(m0，n0)，则，则 AB 的中点的中点 C 3 3 3 ，当，当 m1 时，时，n，A(1,1)，B，C，故点，故点 C 不在直不在直 ( m 3n 2 ， ，m n 2 ) 3 3(1， ， 3 3) (1， ， 3 3 6 ) 线线 x2y0 上， 不满足题意， 当上， 不满足题意， 当 m1 时，时， n， 由点， 由点 C 在直线在直线 x2y0 上， 且上， 且 A， P， B 3 3 三点共线得三点共线得Error!解得解得 m，所以，所以 A(，)，又，又 P(1,0)，所以，所以 kABkAP，333 3 31 3 3 2 所以所以 lAB：y(x1)，即直线，即直线 AB 的方程为的方程为(3)x2y30. 3 3 2 33 答案：答案：(3)x2y3033 系统方法系统方法 解决直线方程问题的解决直线方程问题的 2 个注意点个注意点 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2A2B10 建立方程求出参数的值后，要 注意代入检验，排除两条直线重合的可能性 建立方程求出参数的值后，要 注意代入检验，排除两条直线重合的可能性 (2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂 直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线 轴垂 直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 圆的方程圆的方程 题组全练题组全练 1圆心在直线圆心在直线 2xy70 上的圆上的圆 C 与与 y 轴交于轴交于 A(0，4)，B(0，2)两点，则圆两点，则圆 C 的标准方程为的标准方程为( ) A(x2)2(y3)25B(x2)2(y3)25 C(x2)2(y3)25D(x2)2(y3)25 解析：选解析：选 D 法一：设圆的标准方程为 法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 故故Error!解得解得Error! 半径半径 r，22125 故圆故圆 C 的标准方程为的标准方程为(x2)2(y3)25. 法二 ： 利用圆心在直线法二 ： 利用圆心在直线 2xy70 上来检验，只有上来检验，只有 D 符合，即符合，即(x2)2(y3)25 的 圆心为 的 圆心为(2，3)，2××2370，其他三个圆心，其他三个圆心(2，3)，(2,3)，(2,3)均不符合题意， 故选 均不符合题意， 故选 D. 2已知圆已知圆 x2y22x4y10 关于直线关于直线 2axby20 对称，则对称，则 ab 的取值范围是的取值范围是 ( ) A. B. ( ， ，1 4 ( ， ，1 2 C. D. (0， ， 1 4 ( 1 4， ，0 解析：选解析：选 A 将圆的方程配方得 将圆的方程配方得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，即圆心，若圆关于已知直线对称，即圆心 (1,2)在直线在直线 2axby20 上，代入整理得上，代入整理得 ab1，故，故 aba(1a) 2 . (a 1 2) 1 4 1 4 3 (2019 届高三届高三·豫南十校联考豫南十校联考)已知圆已知圆 C 的圆心在的圆心在 x 轴的正半轴上， 点轴的正半轴上， 点 M(0，)在圆在圆 C5 上，且圆心到直线上，且圆心到直线 2xy0 的距离为，则圆的距离为，则圆 C 的方程为的方程为_ 4 5 5 解析 ： 设解析 ： 设 C(a,0)(a0)，由题意知，解得，由题意知，解得 a2，所以，所以 r3，故圆，故圆 C |2a| 5 4 5 5 22 5 2 的方程为的方程为(x2)2y29. 答案：答案：(x2)2y29 4在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，以点中，以点(1,0)为圆心且与直线为圆心且与直线 mxy2m10(mRR)相 切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 相 切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_ 解析：由题意得，半径等于解析：由题意得，半径等于 ，当且，当且 |m 1| m21 m 1 2 m21 1 2m m21 1 2|m| m21 2 仅当仅当 m1 时取等号，所以半径最大为，所求圆为时取等号，所以半径最大为，所求圆为(x1)2y22.2 答案：答案：(x1)2y22 系统方法系统方法 求圆的方程的求圆的方程的 2 种方法种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法：待定系数法： 若已知条件与圆心若已知条件与圆心(a， b)和半径和半径 r 有关， 则设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于有关， 则设圆的标准方程， 依据已知条件列出关于 a， b，r 的方程组，从而求出的方程组，从而求出 a，b，r 的值；的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出 关于 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出 关于 D，E，F 的方程组，进而求出的方程组，进而求出 D，E，F 的值的值 直线直线(圆圆)与圆的位置关系与圆的位置关系 多维例析多维例析 角度一 直线角度一 直线(圆圆)与圆位置关系的判定及应用与圆位置关系的判定及应用 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系 xOy 中，点中，点 A(0,3)，直线，直线 l：y2x4，设圆，设圆 C 的半径为的半径为 1，例例1 圆心在圆心在 l 上上 (1)若圆心若圆心 C 也在直线也在直线 yx1 上，过点上，过点 A 作圆作圆 C 的切线，求切线的方程的切线，求切线的方程 (2)若圆若圆 C 上存在点上存在点 M，使，使|MA|2|MO|，求圆心，求圆心 C 的横坐标的横坐标 a 的取值范围的取值范围 解解 (1)因为圆心在直线因为圆心在直线 l：y2x4 上，也在直线上，也在直线 yx1 上，所以解方程组上，所以解方程组Error! 得圆心得圆心 C(3,2)，又因为圆的半径为，又因为圆的半径为 1，所以圆的方程为，所以圆的方程为(x3)2(y2)21. 又因为点又因为点 A(0,3)， 显然过点， 显然过点 A， 圆， 圆 C 的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为的切线的斜率存在， 设所求的切线方程为 ykx3， 即 ， 即 kxy30， 所以所以1，解得，解得 k0 或或 k ， ， |3k2 3| k2 1 2 3 4 所以所求切线方程为所以所求切线方程为 y3 或或 y x3， 3 4 即即 y30 或或 3x4y120. (2)因为圆因为圆 C 的圆心在直线的圆心在直线 l：y2x4 上，所以设圆心上，所以设圆心 C(a,2a4)，又因为圆，又因为圆 C 的半 径为 的半 径为 1，则圆，则圆 C 的方程为的方程为(xa)2(y2a4)21， 设设 M(x，y)，又因为，又因为|MA|2|MO|， 则有则有2，x2 y 3 2 x2y2 整理得整理得 x2(y1)24，设为圆，设为圆 D，圆心，圆心 D(0，1) 所以点所以点 M 既在圆既在圆 C 上，又在圆上，又在圆 D 上，即圆上，即圆 C 与圆与圆 D 有交点，有交点， 所以所以 21 21，a2 2a4 1 2 解得解得 0a. 12 5 故圆心故圆心 C 的横坐标的横坐标 a 的取值范围是的取值范围是. 0， ， 12 5 角度二 已知直线角度二 已知直线(圆圆)与圆的位置关系求参数值与圆的位置关系求参数值(范围范围) (1)设直线设直线 xya0 与圆与圆 x2y24 相交于相交于 A， B 两点，两点， O 为坐标原点， 若为坐标原点， 若AOB例例2 为等边三角形，则实数为等边三角形，则实数 a 的值为的值为( ) A± B±36 C±3 D±9 (2)已知点已知点 M(2,0)，N(2,0)，若圆，若圆 x2y26x9r20(r0)上存在点上存在点 P(不同于点不同于点 M， N)，使得，使得 PMPN，则实数，则实数 r 的取值范围是的取值范围是( ) A(1,5) B1,5 C(1,3 D1,3 解析解析 (1)由题意知，圆心坐标为由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为，半径为 2，则，则AOB 的边长为的边长为 2，所以，所以AOB 的高为，即圆心到直线的高为，即圆心到直线 xya0 的距离为，所以，解得的距离为，所以，解得 a±.33 | a| 12 1 2 36 (2)将圆的方程化为标准方程得将圆的方程化为标准方程得(x3)2y2r2(r0)， 若要使圆上一点， 若要使圆上一点 P 满足满足 PMPN， 则需圆经过 ， 则需圆经过M， N两点之间， 即两点之间， 即r1,5 当 当r1时，时， (x3)2y21经过点经过点N(2,0)， 圆， 圆(x3)2 y2r2(r0)上不存在点上不存在点 P，使得，使得 PMPN；当；当 r5 时，时，(x3)2y225 经过点经过点 M(2,0)， 同理圆 ， 同理圆(x3)2y2r2(r0)上不存在点上不存在点 P，使得，使得 PMPN.故选故选 A. 答案答案 (1)B (2)A 系统方法系统方法 1直线直线(圆圆)与圆位置关系问题的求解思路与圆位置关系问题的求解思路 (1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位 置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位 置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较 (2)求过圆外一定点的切线方程的基本思路：求过圆外一定点的切线方程的基本思路： 首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求 得的斜率只有一个，则存在一条过切点与 首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求 得的斜率只有一个，则存在一条过切点与 x 轴垂直的切线轴垂直的切线 2弦长的求解方法弦长的求解方法 几何法几何法 根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 r2d2 (其中其中 l l2 4 为弦长，为弦长，r 为圆的半径，为圆的半径，d 为圆心到直线的距离为圆心到直线的距离) 公式法公式法 根据公式：根据公式：l|x1x2|求解求解(其中其中 l 为弦长，为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点为直线与圆相交所得交点1k2 的横坐标，的横坐标，k 为直线的斜率为直线的斜率) 距离法距离法求出交点坐标，用两点间距离公式求解求出交点坐标，用两点间距离公式求解 综合训练综合训练 1在圆在圆(x1)2(y1)29 上总有四个点到直线上总有四个点到直线 l： 3x4yt0 的距离为的距离为 1，则实数，则实数 t 的取值范围是的取值范围是( ) A(17,1) B(15,3) C(17,3) D(15,1) 解析：选解析：选 C 由圆上总有四个点到直线 由圆上总有四个点到直线 l：3x4yt0 的距离为的距离为 1，得圆心，得圆心(1,1)到直 线 到直 线 l 的距离的距离 dr12，解得，解得17t3，即实数，即实数 t 的取值范围是的取值范围是(17,3) |t 7| 5 2已知过点已知过点 A(0,1)且斜率为且斜率为 k 的直线的直线 l 与圆与圆 C：x2y24x6y120 交于交于 M，N 两 点若 两 点若·12，其中，其中 O 为坐标原点，则为坐标原点，则|MN|( )OM ON A2 B4 C. D233 解析：选解析：选 A 设 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆，圆 C 的方程可化为的方程可化为(x2)2(y3)21，其圆 心为 ，其圆 心为(2,3)， 将， 将 ykx1 代入方程代入方程 x2y24x6y120， 整理得， 整理得(1k2)x24(k1)x70， 所以 ， 所以 16(k22k1)28(1k2)12k232k120，x1x2，x1x2. 4 k 1 1 k2 7 1 k2 ·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18，由题设可得，由题设可得8OM ON 4k 1 k 1 k2 4k 1 k 1 k2 12， 得， 得 k1， 满足， 满足 0， 所以直线， 所以直线 l 的方程为的方程为 yx1.故圆心故圆心(2,3)恰在直线恰在直线 l 上， 所以上， 所以|MN|2. 3在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆中，已知圆 C1：(x3)2(y1)24.若直线若直线 l 过点过点 A(4,0)， 且被圆 ， 且被圆 C1截得的弦长为截得的弦长为 2，则直线，则直线 l 的方程为的方程为_3 解析 ： 由于直线解析 ： 由于直线x4与圆与圆C1不相交， 所以直线不相交， 所以直线l的斜率存在 设直线的斜率存在 设直线l的方程为的方程为yk(x 4)， 圆， 圆 C1的圆心的圆心(3,1)到直线到直线 l 的距离为的距离为 d， 因为圆， 因为圆 C1被直线被直线 l 截得的弦长为截得的弦长为 2， 所以， 所以 d3 1.由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得 d，化简得，化简得 k(24k7)0，22 3 2 |3k1 4k| 1 k2 即即 k0 或或 k， 7 24 所以直线所以直线 l 的方程为的方程为 y0 或或 y(x4)，即，即 y0 或或 7x24y280. 7 24 答案：答案：y0 或或 7x24y280 重难增分重难增分 点、直线与圆的综合问题点、直线与圆的综合问题 考法全析考法全析 一、曾经这样考一、曾经这样考 1与圆有关的范围问题与圆有关的范围问题(2014·全国卷全国卷)设点设点 M(x0,1)，若在圆，若在圆 O：x2y21 上存在 点 上存在 点 N，使得，使得OMN45°，则，则 x0的取值范围是的取值范围是( ) A1,1 B.1 2， ， 1 2 C， D. 22 2 2 ， ， 2 2 解析：选解析：选 A 法一：常规思路稳解题 法一：常规思路稳解题 由题意可知由题意可知M在直线在直线y1上运动， 设直线上运动， 设直线y1与圆与圆x2y21相切于 点 相切于 点P(0,1) 当 当x00 即点即点 M 与点与点 P 重合时，显然圆上存在点重合时，显然圆上存在点 N(±1，0)符合 要求 ； 当 符合 要求 ； 当x00时， 过时， 过M作圆的切线，切点之一为点作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点，此时对于圆上任意一点N， 都有 ， 都有OMNOMP， 故要存在， 故要存在OMN45°， 只需， 只需OMP45°.特别 地，当 特别 地，当OMP45°时，有时，有 x0±1.结合图形可知，符合条件的结合图形可知，符合条件的 x0的取值范围为的取值范围为1,1 法二：特殊思路妙解题法二：特殊思路妙解题 如图，过如图，过 O 作作 OPMN 于点于点 P， 则则|OP|OM|sin 45°1， |OM|，即，即，2x2 012 x 1，即，即1x01. 2 0 启思维启思维 本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是 解决此类题目的最有效方法 本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是 解决此类题目的最有效方法 二、还可能这样考二、还可能这样考 2与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题已知从圆已知从圆 C： (x1)2(y2)22 外一点外一点 P(x1，y1)向该圆引一 条切线，切点为 向该圆引一 条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有为坐标原点，且有|PM|PO|，则当，则当|PM|取最小值时点取最小值时点 P 的坐标为的坐标为 _ 解析：如图所示，连接解析：如图所示，连接 CM，CP.由题意知圆心由题意知圆心 C(1,2)，半径，半径 r.因为因为|PM|PO|，2 所以所以|PO|2r2|PC|2， 所以， 所以 x y 2(x11)2(y12)2， 即， 即 2x14y130.要使要使|PM|的值的值 2 12 1 最小，只需最小，只需|PO|的值最小即可当的值最小即可当 PO 垂直于直线垂直于直线 2x4y30 时，即时，即 PO 所在直线的方程 为 所在直线的方程 为 2xy0 时，时，|PM|的值最小，此时点的值最小，此时点 P 为两直线的交点，由为两直线的交点，由Error!解得解得Error!故当故当|PM|取 最小值时点 取 最小值时点 P 的坐标为的坐标为. ( 3 10， ， 3 5) 答案：答案：( 3 10， ， 3 5) 启思维启思维 本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半 径及该点与圆心连线构成的直角三角形中求解 本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半 径及该点与圆心连线构成的直角三角形中求解 3与圆有关的定点问题与圆有关的定点问题已知圆已知圆 O： x2y21，点，点 P 为直线 为直线 1 上一动点，过点上一动点，过点 P x 4 y 2 向圆向圆 O 引两条切线引两条切线 PA，PB，A，B 为切点，则直线为切点，则直线 AB 经过定点经过定点( ) A. B. ( 1 2， ， 1 4) ( 1 4， ， 1 2) C. D. ( 3 4 ， ，0)( 0， ， 3 4) 解析：选解析：选 B 因为点 因为点 P 是直线 是直线 1 上的一动点，所以设上的一动点，所以设 P(42m，m) x 4 y 2 因为因为 PA，PB 是圆是圆 x2y21 的两条切线，切点分别为的两条切线，切点分别为 A，B，所以，所以 OAPA，OBPB， 所以点 ， 所以点 A，B 在以在以 OP 为直径的圆为直径的圆 C 上，即弦上，即弦 AB 是圆是圆 O 和圆和圆 C 的公共弦的公共弦 所以圆所以圆 C 的方程为的方程为 x(x42m)y(ym)0， ， 又又 x2y21， ， 所以得，所以得， (2m4)xmy10， 即公共弦， 即公共弦 AB 所在的直线方程为所在的直线方程为(2xy)m(4x 1)0， 令令Error!得得Error! 所以直线所以直线 AB 过定点过定点. ( 1 4， ， 1 2) 启思维启思维 本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问 题解决直线过定点问题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数 主元的系数为 0 即可求得定点坐标 本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问 题解决直线过定点问题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数 主元的系数为 0 即可求得定点坐标 4 与向量等知识的综合问题与向量等知识的综合问题在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中， 过点中， 过点M(1,0)的直线的直线l与圆与圆x2y2 5 交于交于 A， B 两点， 其中点两点， 其中点 A 在第一象限， 且在第一象限， 且2， 则直线， 则直线 l 的方程为的方程为_BM MA 解析：法一：由题意，设直线解析：法一：由题意，设直线 l 的方程为的方程为 xmy1(m0)，与，与 x2y25 联立，联立， 消去消去 x 并整理得并整理得(m21)y22my40. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则(1x2，y2)，(x11，y1)，BM MA y1y2， 2m m21 y1y2. 4 m21 因为因为2，所以，所以y22y1，BM MA 联立，可得联立，可得 m21， 又点又点 A 在第一象限，所以在第一象限，所以 y10，则，则 m1，所以直线，所以直线 l 的方程为的方程为 xy10. 法二：由题意，设直线法二：由题意，设直线 l 的方程为的方程为 xmy1(m0)，即，即 xmy10，所以圆心，所以圆心 O 到 直线 到 直线 l 的距离的距离 d. 1 1 m2 又又2，且，且|OM|1，圆，圆 x2y25 的半径的半径 r，BM MA 5 所以所以2()，即，即 3，r2d2|OM|2d2r2d2|OM|2d2|OM|2d2r2d2 所以所以 95，解得，解得 m21， (1 1 1 m2) 1 1 m2 又点又点 A 在第一象限，所以在第一象限，所以 m1， 故直线故直线 l 的方程为的方程为 xy10. 答案：答案：xy10 启思维启思维 本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求 法直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化 为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决 本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求 法直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化 为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决 增分集训增分集训 1 (2018·全国卷全国卷)直线直线xy20分别与分别与x轴，轴， y轴交于轴交于A， B两点， 点两点， 点P在圆在圆(x2)2y2 2 上，则上，则ABP 面积的取值范围是面积的取值范围是( ) A2,6 B4,8 C，3 D2，32222 解析：选解析：选 A 设圆 设圆(x2)2y22 的圆心为的圆心为 C，半径为，半径为 r，点，点 P 到直线到直线 xy20 的距 离为 的距 离为 d， 则圆心则圆心 C(2,0)，r，2 所以圆心所以圆心 C 到直线到直线 xy20 的距离为的距离为2， |2 2| 2 2 可得可得 dmax2r3，dmin2r.2222 由已知条件可得由已知条件可得|AB|2，2 所以所以ABP 面积的最大值为面积的最大值为 |AB|·dmax6， 1 2 ABP 面积的最小值为面积的最小值为 |AB|·dmin2. 1 2 综上，综上，ABP 面积的取值范围是面积的取值范围是2,6 2 (2017·江苏高考江苏高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy中，中， A(12,0)， B(0,6)， 点， 点 P在圆在圆 O： x2y250 上若上若·20，则点，则点 P 的横坐标的取值范围是的横坐标的取值范围是_PA PB 解析：设解析：设 P(x，y)，则，则·(12x，y)·(x，6y)x(x12)y(y6)20.PA PB 又又 x2y250，所以，所以 2xy50， 所以点所以点 P 在直线在直线 2xy50 的上方的上方(包括直线上包括直线上) 又点又点 P 在圆在圆 x2y250 上，上， 由由Error! 解得解得 x5 或或 x1， 结合图象，可得结合图象，可得5x1，2 故点故点 P 的横坐标的取值范围是的横坐标的取值范围是5，12 答案：答案：5，12 3已知直线已知直线l1： x2y0的倾斜角为的倾斜角为，倾斜角为，倾斜角为2的直线的直线l2与圆与圆M： x2y22x2yF 0 交于交于 A， C 两点， 其中两点， 其中 A(1,0)， B， D 在圆在圆 M 上， 且位于直线上， 且位于直线 l2的两侧， 则四边形的两侧， 则四边形 ABCD 的 面积的最大值是 的 面积的最大值是_ 解析：因为直线解析：因为直线 l1：x2y0 的倾斜角为的倾斜角为 ，所以，所以 tan ，所以直线 ，所以直线 l2的斜率的斜率 ktan 1 2 2 ，所以直线 ，所以直线 l2的方程为的方程为 y0 (x1)，即，即 4x3y40. 2tan 1 tan2 2 ×× 1 2 11 4 4 3 4 3 又又 A(1,0)在圆在圆 M 上， 所以上， 所以(1)22F0， 解得， 解得 F1， 所以圆， 所以圆 M 的方程为的方程为 x2y22x 2y10，化为标准方程为，化为标准方程为(x1)2(y1)21，所以圆心，所以圆心 M(1,1)，半径，半径 r1. 所以圆心所以圆心 M 到直线到直线 l2的距离的距离 d ， 所以 ， 所以 |AC| |4 ×× 1 3 ×× 14| 42 3 2 3 5 1 2 12(3 5) 2 ， 4 5 即即|AC|2× × . 4 5 8 5 因为因为 B， D 两点在圆上， 且位于直线两点在圆上， 且位于直线 l2的两侧， 则四边形的两侧， 则四边形 ABCD 的 面积可以看成是 的 面积可以看成是ABC和和ACD的面积之和，如图所示，当的面积之和，如图所示，当BD垂直 平分 垂直 平分AC(即即BD为直径为直径)时，两三角形的面积之和最大， 即四边形时，两三角形的面积之和最大， 即四边形ABC