2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分 专题十二 圆锥曲线的方程与性质含解析.pdf

专题十二专题十二 Error! 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质 卷卷卷卷卷卷 直线与抛物线的位置关系、 平面向量数量积的运算 直线与抛物线的位置关系、 平面向量数量积的运算·T8 双曲线的几何性质双曲线的几何性质·T5 双 曲 线 的 几 何 性 质 双 曲 线 的 几 何 性 质·T11 2018 双曲线的几何性质双曲线的几何性质·T11 直线的方程及椭圆的几何性 质 直线的方程及椭圆的几何性 质·T12 直线与抛物线的位置 关系 直线与抛物线的位置 关系·T16 直线与抛物线的位置关系、 弦长公式、 基本不等式的应 用 直线与抛物线的位置关系、 弦长公式、 基本不等式的应 用·T10 双曲线的几何性质双曲线的几何性质·T9 双曲线的渐近线及标 准方程 双曲线的渐近线及标 准方程·T5 2017 双曲线的几何性质双曲线的几何性质·T15 抛 物 线 的 定 义 及 标 准 方 程 抛 物 线 的 定 义 及 标 准 方 程·T16 椭圆的几何性质椭圆的几何性质·T10 双曲线的几何性质与标准 方程 双曲线的几何性质与标准 方程·T5 2016 抛物线与圆的综合问 题 抛物线与圆的综合问 题·T10 双曲线的定义、离心率问 题 双曲线的定义、离心率问 题·T11 直线与椭圆的位置关 系、椭圆的离心率问 题 直线与椭圆的位置关 系、椭圆的离心率问 题·T11 纵向把 握趋势 纵向把 握趋势 卷卷3 年年 6 考， 且每年都有考， 且每年都有 2 个小题同时出现， 涉及双曲 线、抛物线的几何性质，特 别是双曲线的几何性质及 抛物线属每年必考内容 预 计 个小题同时出现， 涉及双曲 线、抛物线的几何性质，特 别是双曲线的几何性质及 抛物线属每年必考内容 预 计 2019 年仍会延续以上命 题方式， 注意圆锥曲线与其 他问题的综合 年仍会延续以上命 题方式， 注意圆锥曲线与其 他问题的综合 卷卷3 年年 5 考，且考，且 3 年均考 查了双曲线的几何性质 在 年均考 查了双曲线的几何性质 在 2018 年高考中考查了椭圆 的 几 何 性 质 ， 且 难 度 较 大 预计 年高考中考查了椭圆 的 几 何 性 质 ， 且 难 度 较 大 预计 2019 年仍会以选择 题或填空题的形式考查双曲 线的几何性质或椭圆的几何 性质 年仍会以选择 题或填空题的形式考查双曲 线的几何性质或椭圆的几何 性质 卷卷3 年年 5 考，涉及 双曲线的几何性质、 椭圆的几何性质、直 线与抛物线的位置关 系，既有选择题，也 有填空题，难度适 中 预计 考，涉及 双曲线的几何性质、 椭圆的几何性质、直 线与抛物线的位置关 系，既有选择题，也 有填空题，难度适 中 预计 2019 年仍会 以选择题或填空题的 形式考查双曲线或椭 圆的方程及性质 年仍会 以选择题或填空题的 形式考查双曲线或椭 圆的方程及性质 横向把 握重点 横向把 握重点 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形 式考查， 常出现在第 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形 式考查， 常出现在第 412 或或 1516 题的位置， 着重考查圆锥曲线的几何性质与 标准方程，难度中等 题的位置， 着重考查圆锥曲线的几何性质与 标准方程，难度中等 2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一 般难度中等 直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一 般难度中等. 圆锥曲线的定义与方程圆锥曲线的定义与方程 题组全练题组全练 1.如图， 椭圆 如图， 椭圆 1(a0)的左、 右焦点分别为的左、 右焦点分别为 F1， F2， 点， 点 P 在椭圆上， 若在椭圆上， 若|PF1|4， ， x2 a2 y2 2 F1PF2120°，则，则 a 的值为的值为( ) A2 B3 C4 D5 解析：选解析：选 B 设 设|PF2|m，则，则|PF1|PF2|2a， 即即 m42a. 在在PF1F2中，由余弦定理得中，由余弦定理得 42m22××m××4××cos 120°4(a22) 联立，解得联立，解得 a3. 2已知双曲线已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲 x2 4 y2 b2 线的两条渐近线相交于线的两条渐近线相交于A， B， C， D四点， 四边形四点， 四边形ABCD的面积为的面积为2b， 则双曲线的方程为， 则双曲线的方程为( ) A.1 B.1 x2 4 3y2 4 x2 4 4y2 3 C. 1 D.1 x2 4 y2 4 x2 4 y2 12 解析：选解析：选 D 由题意知双曲线的渐近线方程为 由题意知双曲线的渐近线方程为 y± x，圆的方程为，圆的方程为 x2y24， b 2 联立联立Error! 解得解得Error!或或Error! 即第一象限的交点为即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性， 得由双曲线和圆的对称性， 得 ( 4 4 b2， ， 2b 4 b2) 四边形四边形 ABCD 为矩形， 其相邻两边长为，故为矩形， 其相邻两边长为，故 8 4 b2 4b 4 b2 8 ×× 4b 4 b2 2b，得，得 b212. 故双曲线的方程为故双曲线的方程为1. x2 4 y2 12 3 (2018·唐山模拟唐山模拟)过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 作直线交抛物线于作直线交抛物线于 A， B 两点， 若两点， 若|AF| 2|BF|6，则，则 p_. 解析：设直线解析：设直线 AB 的方程为的方程为 xmy ， ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且，且 x1x2，将直线，将直线 AB 的的 p 2 方程代入抛物线方程得方程代入抛物线方程得 y22pmyp20，所以，所以 y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为设抛物线的准线为 l， 过 ， 过 A 作作 ACl，垂足为，垂足为 C，过，过 B 作作 BDl，垂足为，垂足为 D，因为，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的 定义知， ，根据抛物线的 定义知，|AF|AC|x1 6，|BF|BD|x2 3，所以，所以 x1x23，x1x29p，所，所 p 2 p 2 以以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即，即 18p720，解得，解得 p4. 答案：答案：4 4(2018·合肥质检合肥质检)抛物线抛物线 E： y24x 的焦点为的焦点为 F，准线，准线 l 与与 x 轴交于点轴交于点 A，过抛物线，过抛物线 E 上一点上一点 P(在第一象限内在第一象限内)作作 l 的垂线的垂线 PQ，垂足为，垂足为 Q.若四边形若四边形 AFPQ 的周长为的周长为 16，则点，则点 P 的 坐标为 的 坐标为_ 解析 ： 设解析 ： 设P(x， y)， 其中， 其中x0， y0， 由抛物线的定义知， 由抛物线的定义知|PF|PQ|x1.根据题意知根据题意知|AF|2， |QA|y， 则则Error!Error!或或Error!(舍去舍去) 所以点所以点 P 的坐标为的坐标为(4,4) 答案：答案：(4,4) 系统方法系统方法 1圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义 (1)椭圆：椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|) (2)双曲线：双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，b0)的右焦点的右焦点 F 作圆作圆 x2y2a2的切的切例例1 x2 a2 y2 b2 线线 FM(切点为切点为 M)，交，交 y 轴于点轴于点 P.若若 M 为线段为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是的中点，则双曲线的离心率是( ) A. B.23 C2 D. 5 解析解析 因为 因为 OMPF，且，且 M 为为 FP 的中点，所以的中点，所以POF 为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形，即PFO45°， 则不妨令切线 ， 则不妨令切线 FM 的方程为的方程为 xyc， 由圆心到切线的距离等于半径得， 由圆心到切线的距离等于半径得a， 所以， 所以 e . c 2 c a 2 答案答案 A (2018·全国卷全国卷)已知已知 F1，F2是椭圆是椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，的左、右焦点，A 是是 C例例2 x2 a2 y2 b2 的左顶点， 点的左顶点， 点 P 在过在过 A 且斜率为的直线上， 且斜率为的直线上， PF1F2为等腰三角形， 为等腰三角形， F1F2P120°， 则， 则 C 3 6 的离心率为的离心率为( ) A. B. 2 3 1 2 C. D. 1 3 1 4 解析解析 如图，作 如图，作PBx轴于点轴于点B.由题意可设由题意可设|F1F2|PF2|2，则，则c1. 由由F1F2P120°，可得，可得|PB|，|BF2|1，故，故|AB|a11a2，tan 3 PAB，解得，解得 a4，所以，所以 e . |PB| |AB| 3 a 2 3 6 c a 1 4 答案答案 D 如图，过抛物线 如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 F 的直线交抛物的直线交抛物例例3 线于点线于点 A，B，交其准线，交其准线 l 于点于点 C，若，若 F 是是 AC 的中点，且的中点，且|AF|4，则 线段 ，则 线段 AB 的长为的长为( ) A5 B6 C. D. 16 3 20 3 学解题学解题 法一：直接法法一：直接法(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 如图， 设如图， 设l与与x轴交于点轴交于点M， 过点， 过点A作作ADl交交l于点于点D， 由抛物线的定义知， 由抛物线的定义知， |AD|AF| 4， 由， 由 F 是是 AC 的中点， 知的中点， 知|AF|2|MF|2p， 所以， 所以 2p4， 解得， 解得 p2， 抛物线的方程为， 抛物线的方程为 y24x. 设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则|AF|x1 x114，所以，所以 x13，又，又 x1x21，所以，所以 x2 p 2 p2 4 ，所以，所以|AB|x1x2p. 1 3 16 3 法二：性质法法二：性质法(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 如图， 设如图， 设l与与x轴交于点轴交于点M， 过点， 过点A作作ADl交交l于点于点D， 由抛物线的定义知， 由抛物线的定义知， |AD|AF| 4， 由， 由 F 是是 AC 的中点， 知的中点， 知|AF|2|MF|2p， 所以， 所以 2p4， 解得， 解得 p2， 抛物线的方程为， 抛物线的方程为 y24x. 设设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 因为 ， 因为 ， |AF|4， 所以， 所以|BF| ， 所以 ， 所以|AB|AF|BF|4 1 |AF| 1 |BF| 2 p 4 3 . 4 3 16 3 答案答案 C 类题通法类题通法 1椭圆、双曲线离心率椭圆、双曲线离心率(离心率范围离心率范围)的求法的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量 关系或不等关系，然后把 的等量 关系或不等关系，然后把 b 用用 a，c 代换，求 的值或范围代换，求 的值或范围 c a 2双曲线的渐近线的求法及用法双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为改为 0，分解因式可得，分解因式可得 (2)用法：可得 或 的值用法：可得 或 的值 b a a b 利用渐近线方程设所求双曲线的方程利用渐近线方程设所求双曲线的方程 利用利用 e求离心率求离心率1b 2 a2 3抛物线焦点弦的性质抛物线焦点弦的性质 若线段若线段 AB 为抛物线为抛物线 y22px(p0)过焦点过焦点 F 的一条弦，的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则 (1)x1x2，y1y2p2； p2 4 (2)焦半径焦半径|AF|x1 ； ； p 2 (3) ； ； 1 |AF| 1 |BF| 2 p (4)弦长弦长 lx1x2p.当弦当弦 ABx 轴时，弦长最短为轴时，弦长最短为 2p，此时的弦又叫通径，此时的弦又叫通径 应用通关应用通关 1(2018·全国卷全国卷)已知双曲线已知双曲线 C：y21，O 为坐标原点，为坐标原点，F 为为 C 的右焦点，过的右焦点，过 F x2 3 的直线与的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为的两条渐近线的交点分别为 M，N.若若OMN 为直角三角形，则为直角三角形，则|MN|( ) A. B3 3 2 C2 D43 解析：选解析：选 B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y ±x.设两条渐近线的夹角为设两条渐近线的夹角为2，则有，则有tan ，所以，所以30°. 1 3 1 3 3 3 所以所以MON260°.又又OMN 为直角三角形， 由于双曲线具有 对称性， 不妨设 为直角三角形， 由于双曲线具有 对称性， 不妨设 MNON， 如图所示在， 如图所示在 RtONF 中，中，|OF|2， 则 ， 则|ON| . 3 在在 RtOMN 中，中， |MN|ON|·tan 2·tan 60°3.故选故选B.3 法二 ： 因为双曲线法二 ： 因为双曲线y21 的渐近线方程为的渐近线方程为 y±x， 所以， 所以MON60°.不妨设过点不妨设过点 F x2 3 3 3 的直线与直线的直线与直线 yx 交于点交于点 M， 由， 由OMN 为直角三角形， 不妨设为直角三角形， 不妨设OMN90°， 则， 则MFO 3 3 60°，又直线，又直线 MN 过点过点 F(2,0)，所以直线，所以直线 MN 的方程为的方程为 y(x2)，3 由由Error!得得Error! 所以所以 M，所以，所以|OM| ， ( 3 2， ， 3 2) ( 3 2) 2 ( 3 2) 2 3 所以所以|MN|OM|3，故选，故选B.3 2 (2018·贵阳模拟贵阳模拟)过双曲线过双曲线1(a0， b0)的右焦点的右焦点F作圆作圆x2y2a2的切线的切线FM， x2 a2 y2 b2 切点为切点为 M，交，交 y 轴于点轴于点 P，若，若，且双曲线的离心率，且双曲线的离心率 e，则，则 ( )PM MF 6 2 A1 B2 C3 D4 解析：选解析：选 B 如图， 如图，|OF|c， |OM|a，OMPF， 所以所以|MF|b， 根据射影定理得根据射影定理得|PF| ， ， c2 b 所以所以|PM| b， c2 b 所以所以 . | | c2 b b b c2b2 b2 a2 b2 因为因为 e21 2 ， ， c2 a2 a2b2 a2 b2 a2( 6 2) 3 2 所以所以 .所以所以 2. b2 a2 1 2 3已知椭圆已知椭圆 x21(00 时，椭圆的离心率的取 值范围为 时，椭圆的离心率的取 值范围为( ) A. B. (0， ， 2 2) ( 1 4， ， 2 2) C. D. ( 1 3， ， 2 2) ( 2 5， ， 2 2) 解析：选解析：选 A 由题意知 由题意知 F，B，C 的坐标分别为的坐标分别为(c,0)，(0，b)，(1,0)，则，则 FC，BC 的 垂直平分线分别为 的 垂直平分线分别为 x，y ， ， 1 c 2 b 2 1 b(x 1 2) 联立联立Error!解得解得Error! mn0， 1 c 2 b2c 2b 即即 bbcb2c0， 整理得整理得(1b)(bc)0，bc， 从而从而 b2c2，即，即 a22c2，e20，0b0)，焦距为，焦距为 2c， x2 a2 y2 b2 由题设条件知，由题设条件知，4a8，a2， 2× ×× ×2c××b2，b2c2a24， 1 2 3 所以所以 b，c1 或或 b1，c(经检验不合题意，舍去经检验不合题意，舍去)，33 故椭圆故椭圆 C 的方程为 的方程为 1. x2 4 y2 3 (2)证明：当证明：当 y00 时，由 时，由 1， x2 0 4 y2 0 3 可得可得 x0±2， 当当 x02，y00 时，直线时，直线 l 的方程为的方程为 x2，直线，直线 l 与椭圆与椭圆 C 有且只有一个交点有且只有一个交点(2,0) 当当x02， y00时， 直线时， 直线l的方程为的方程为x2， 直线， 直线l与椭圆与椭圆C有且只有一个交点有且只有一个交点(2,0) 当当 y00 时，直线时，直线 l 的方程为的方程为 y， 12 3x0x 4y0 联立联立Error! 消去消去 y，得，得(4y 3x )x224x0x4816y 0. 2 02 02 0 由点由点 P(x0，y0)为椭圆为椭圆 C 上一点，得 上一点，得 1， x2 0 4 y2 0 3 可得可得 4y 3x 12. 2 02 0 于是方程可以化简为于是方程可以化简为 x22x0xx 0， 2 0 解得解得 xx0， 将将xx0代入方程代入方程y可得可得yy0， 故直线， 故直线l与椭圆与椭圆C有且只有一个交点有且只有一个交点P(x0， y0)， 12 3x0x 4y0 综上，直线综上，直线 l 与椭圆与椭圆 C 有且只有一个交点，且交点为有且只有一个交点，且交点为 P(x0，y0) 类题通法类题通法 直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用 消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用 消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.并并 且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧 角度二 弦长及面积问题角度二 弦长及面积问题 (2018·兰州检测兰州检测)已知椭圆已知椭圆 K：1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2，其，其例例2 x2 a2 y2 b2 离心率离心率 e，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线 xy20 相切相切 2 2 3 (1)求求 K 的方程；的方程； (2)过过 F2的直线的直线 l 交交 K 于于 A，B 两点，两点，M 为为 AB 的中点，连接的中点，连接 OM 并延长交并延长交 K 于点于点 C， 若四边形 ， 若四边形 OACB 的面积的面积 S 满足：满足：a2S，求直线，求直线 l 的斜率的斜率3 解解 (1)由题意得由题意得Error!解得解得Error! 故椭圆故椭圆 K 的方程为的方程为y21. x2 2 (2)由于直线由于直线 l 的倾斜角不可为零，的倾斜角不可为零， 所以设直线所以设直线 l 的方程为的方程为 myx1， 与与y21 联立并化简可得联立并化简可得 x2 2 (m22)y22my10. 设设 M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则则 y1y2，y1y2， 2m m22 1 m22 可得可得 y0，x0my01. m m22 2 m22 设设 C(x，y)，又，又 (0)，OC OM 所以所以 xx0，yy0.因为因为 C 在在 K 上，上， 故故 21m222. ( x2 0 2 y2 0) 设设 h1为点为点 O 到直线到直线 l 的距离，的距离，h2为点为点 C 到直线到直线 l 的距离，则 的距离，则 h2(1)h1. h1 h2 | | 1 1 又由点到直线的距离公式得，又由点到直线的距离公式得，h1. 1 1 m2 1 21 而而|AB|·1m2 y 1 y2 24y1y2 ， 2 2 1 m2 m22 2 2 2 1 2 所以所以 S |AB|(h1h2)·. 1 2 2 2 1 2 21 2 21 由题意知，由题意知，S，所以，所以. a2 3 2 3 2 21 2 3 3 将将 代入式得代入式得 m±1，3 所以直线所以直线 l 的斜率为的斜率为±1. 类题通法类题通法 弦长问题的解题策略 弦长问题的解题策略 (1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过 焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过 焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解 (2)弦长计算公式 ： 直线弦长计算公式 ： 直线 AB 与圆锥曲线有两个交点与圆锥曲线有两个交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长，则弦长|AB| · ·，其中，其中 k 为弦为弦 AB 所在直线的斜率所在直线的斜率1k2 x 1 x2 24x1x2 1 1 k2 y 1 y2 24y1y2 角度三 弦的中点问题角度三 弦的中点问题 已知抛物线 已知抛物线 C： y22x 的焦点为的焦点为 F， 平行于， 平行于 x 轴的两条直线轴的两条直线 l1， l2分别交分别交 C 于于 A， B例例3 两点，交两点，交 C 的准线于的准线于 P，Q 两点两点 (1)若若 F 在线段在线段 AB 上，上，R 是是 PQ 的中点，证明：的中点，证明：ARFQ； (2)若若PQF 的面积是的面积是ABF 面积的两倍，求面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程中点的轨迹方程 解解 由题意可知 由题意可知F， 设， 设l1： ya， l2： yb， 则， 则ab0， 且， 且A， B， P， ( 1 2， ，0) ( a2 2 ， ，a) (b 2 2 ， ，b) (1 2， ，a) Q，R. ( 1 2， ，b) ( 1 2， ， a b 2) (1)证明：记过证明：记过 A，B 两点的直线为两点的直线为 l，则，则 l 的方程为的方程为 2x(ab)yab0. 因为点因为点 F 在线段在线段 AB 上，所以上，所以 ab10， 记直线记直线 AR 的斜率为的斜率为 k1，直线，直线 FQ 的斜率为的斜率为 k2， 所以所以 k1，k2b， a b 1 a2 b 1 2 1 2 又因为又因为 ab10， 所以所以 k1 b， a b 1 a2 a b a2ab 1 a ab a 所以所以 k1k2，即，即 ARFQ. (2)设直线设直线 AB 与与 x 轴的交点为轴的交点为 D(x1,0)， 所以所以 S ABF |ab|FD| |ab|×，×， 1 2 1 2 |x 1 1 2| 又又 S PQF ， |a b| 2 所以由题意可得所以由题意可得 S PQF 2S ABF， ， 即即2× ×× ×|ab|×，×， |a b| 2 1 2 |x 1 1 2| 解得解得 x10(舍去舍去)或或 x11. 设满足条件的设满足条件的 AB 的中点为的中点为 E(x，y) 当当 AB 与与 x 轴不垂直时，轴不垂直时， 由由 kABkDE，可得，可得(x1) 2 a b y x 1 又 ，所以又 ，所以 y2x1(x1) 2 a b 1 y 当当 AB 与与 x 轴垂直时，轴垂直时，E 与与 D 重合，所以所求轨迹方程为重合，所以所求轨迹方程为 y2x1. 类题通法类题通法 弦中点及弦问题的解题策略 弦中点及弦问题的解题策略 (1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的 关系时，要注意使用条件 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的 关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交 (2)圆 锥 曲 线 以圆 锥 曲 线 以 P(x0， y0)(y00)为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 分 别 是为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 分 别 是 k b2x0 a2y0 ， k， k (抛物线抛物线 y22px) 其中 其中 k(x1x2)， (椭 椭圆圆x 2 a2 y 2 b2 1) b2x0 a2y0(双 双曲曲线线x 2 a2 y 2 b2 1) p y0 y2y1 x2x1 (x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标为弦的端点坐标 综合训练综合训练 1(2019 届高三届高三·山西八校联考山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在，长轴在 x 轴上，上顶点 为 轴上，上顶点 为 A，左、右焦点分别为，左、右焦点分别为 F1，F2，线段，线段 OF1，OF2的中点分别为的中点分别为 B1，B2，且，且AB1B2是面 积为 是面 积为 4 的直角三角形的直角三角形 (1)求该椭圆的离心率和标准方程；求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过过 B1作直线作直线 l 交椭圆于交椭圆于 P，Q 两点，使得两点，使得 PB2QB2，求 直线 ，求 直线 l 的方程的方程 解：解：(1)设所求椭圆的标准方程为设所求椭圆的标准方程为1(ab0)， 右焦点为， 右焦点为 x2 a2 y2 b2 F2(c,0) 因为因为AB1B2是直角三角形，且是直角三角形，且|AB1|AB2|， 所以所以B1AB290°， 因此因此|OA|OB2|，得，得 b . c 2 由由 c2a2b2，得，得 4b2a2b2， 故故 a25b2，c24b2，所以离心率，所以离心率 e . c a 2 5 5 在在 RtAB1B2中，中，OAB1B2， 故故 SAB1B2 ·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA| 1 2 ·bb2. c 2 由题设条件由题设条件 SAB1B24，得，得 b24，所以，所以 a25b220. 因此所求椭圆的标准方程为 因此所求椭圆的标准方程为 1. x2 20 y2 4 (2)由由(1)知知 B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线由题意知直线 l 的斜率存在且不为的斜率存在且不为 0，故可设直线，故可设直线 l 的方 程为 的方 程为 xmy2，代入椭圆方程并整理得，代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160. 设设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则则 y1y2，y1y2， 4m m25 16 m25 又又(x12，y1)， (x22，y2)，B2P B2Q 所以所以·(x12)(x22)y1y2B2P B2Q (my14)(my24)y1y2 (m21)y1y24m(y1y2)16 16 16 m2 1 m25 16m2 m25 ， 16m264 m25 由由 PB2QB2，得，得·0，B2P B2Q 即即 16m2640，解得，解得 m±2. 所以满足条件的直线所以满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为有两条，其方程分别为 x2y20 和和 x2y20. 2.(2018·惠州调研惠州调研)如图，椭圆如图，椭圆 C：1(ab0)的右顶点为的右顶点为 x2 a2 y2 b2 A(2,0)，左、右焦点分别为，左、右焦点分别为 F1，F2，过点，过点 A 且斜率为 的直线与且斜率为 的直线与 y 轴交轴交 1 2 于点于点 P，与椭圆交于另一个点，与椭圆交于另一个点 B，且点，且点 B 在在 x 轴上的射影恰好为点轴上的射影恰好为点 F1. (1)求椭圆求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； (2)过点过点 P 且斜率大于 的直线与椭圆交于且斜率大于 的直线与椭圆交于 M， N 两点两点(|PM|PN|)， 若， 若 S PAM S PBN ， 1 2 求实数求实数 的取值范围的取值范围 解：解：(1)因为因为 BF1x 轴，所以点轴，所以点 B， ( c， ，b 2 a) 所以所以Error!解得解得Error! 所以椭圆所以椭圆 C 的标准方程是 的标准方程是 1. x2 4 y2 3 (2)因为因为 (2)，所以，所以 S PAM S PBN 1 2|PA|·|PM|·sin APM 1 2|PB|·|PN|·sin BPN 2·|PM| 1·|PN| |PM| |PN| 2 PM 2 .PN 由由(1)可知可知 P(0，1)，设直线，设直线 MN：ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， (k 1 2) 联立联立Error!化简得化简得(4k23)x28kx80. 则则 x1x2，x1x2. 8k 4k23 8 4k23 又又(x1，y11)， (x2，y21)，PM PN 则则 x1 x2，即 ，即 ， 2 x1 x2 2 所以所以2 x 1 x2 2 x1x2 x1 x2 x2 x1 2 ， ， 2 2 8k2 4k23 即即. 2 2 16k2 4k23 因为因为 k ，所以，所以(1,4)， 1 2 16k2 4k23 16 3 k2 4 则则 1240，b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1，F2， x2 a2 y2 b2 点点 M，N 在在 E 上，上，MNF1F2，|MN| |F1F2|，线段，线段 F2M 交交 E 于点于点 Q，且，则，且，则 E 2 5 F2Q QM 的离心率为的离心率为( ) A. B.515 C2 D.310 解析 ： 选解析 ： 选 B 设双曲线 设双曲线 E 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，MNF1F2，|MN| |F1F2|， 2 5 |MN| c，不妨设，不妨设 M. 4 5 ( 2c 5 ， ，y0) ，Q 是线段是线段 F2M 的中点，的中点，Q.F2Q QM ( 3c 10， ， y0 2) 把把 M，Q分别代入分别代入 E 的方程的方程1(a0，b0)， ( 2c 5 ， ，y0) ( 3c 10， ， y0 2) x2 a2 y2 b2 可得可得Error!15，e. c2 a2 15 2已知点已知点 A(2,3)在抛物线在抛物线 C：y22px(p0)的准线上，过点的准线上，过点 A 的直线与的直线与 C 在第一象 限相切于点 在第一象 限相切于点 B，记，记 C 的焦点为的焦点为 F，则直线，则直线 BF 的斜率为的斜率为( ) A. B. 1 2 2 3 C. D. 3 4 4 3 解析：选解析：选 D 抛物线 抛物线 y22px 的准线为直线的准线为直线 x ， ， p 2 因为点因为点 A(2,3)在准线上，在准线上， 所以 所以 2，即，即 p4， p 2 从而从而 C：y28x，焦点为，焦点为 F(2,0) 设切线方程为设切线方程为 y3k(x2)， 代入代入 y28x，消去，消去 x， 化简得化简得 y2y2k30(k0)， k 8 由由 14× ×× ×(2k3)0，得，得 k2 或或 k ， ， k 8 1 2 因为切点在第一象限，所以因为切点在第一象限，所以 k . 1 2 将将 k 代入中得 代入中得 y8， 1 2 再将再将 y8 代入代入 y28x 中，得中，得 x8， 所以点所以点 B 的坐标为的坐标为(8,8)， 所以直线所以直线