2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分 专题四 第一课时 “导数与不等式”考法面面观含解析.pdf

专题四专题四 Error! 导数的综合应用导数的综合应用 卷卷卷卷卷卷 2018 利用导数的单调性证 明不等式 利用导数的单调性证 明不等式·T21(2) 根据函数的极值求参 数、不等式的证 明 根据函数的极值求参 数、不等式的证 明·T21 导数在不等式的证 明、由函数的极值点 求参数 导数在不等式的证 明、由函数的极值点 求参数·T21 2017 利用导数研究函数的 零点问题 利用导数研究函数的 零点问题·T21(2) 函数的单调性、极值、 零点问题、不等式的 证明 函数的单调性、极值、 零点问题、不等式的 证明·T21 由不等式恒成立求参 数、不等式放缩 由不等式恒成立求参 数、不等式放缩·T21 2016 函数的零点、不等式 的证明 函数的零点、不等式 的证明·T21 函数单调性的判断、 不等式的证明及值域 问题 函数单调性的判断、 不等式的证明及值域 问题·T21 函数的最值、不等式 的证明 函数的最值、不等式 的证明·T21 纵向纵向 把握把握 趋势趋势 导数的综合问题是每 年的必考内容且难度 大主要涉及函数的 单调性、极值、零点、 不等式的证明预计 导数的综合问题是每 年的必考内容且难度 大主要涉及函数的 单调性、极值、零点、 不等式的证明预计 2019 年会考查用分类 讨论研究函数的单调 性以及函数的零点问 题 年会考查用分类 讨论研究函数的单调 性以及函数的零点问 题 导数的综合问题是每 年的必考内容，涉及 函数的极值、最值、 单调性、零点问题及 不等式的证明，且近 导数的综合问题是每 年的必考内容，涉及 函数的极值、最值、 单调性、零点问题及 不等式的证明，且近 3 年均考查了不等式 的证明预计 年均考查了不等式 的证明预计 2019 年 仍会考查不等式的证 明，同时要重点关注 会讨论函数的单调性 及零点问题 年 仍会考查不等式的证 明，同时要重点关注 会讨论函数的单调性 及零点问题 导数的综合问题是每 年的必考内容，涉及 函数的最值、零点、 不等式的恒成立及不 等式的证明问题，其 中不等式的证明连续 导数的综合问题是每 年的必考内容，涉及 函数的最值、零点、 不等式的恒成立及不 等式的证明问题，其 中不等式的证明连续 3 年均有考查， 应引起 关注预计 年均有考查， 应引起 关注预计 2019 年仍 会考查不等式的证 明，同时考查函数的 最值或零点问题 年仍 会考查不等式的证 明，同时考查函数的 最值或零点问题 横向横向 把握把握 重点重点 导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性 与极值 导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性 与极值(最值最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数 列等的交汇命题，是高考的热点和难点 是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数 列等的交汇命题，是高考的热点和难点 解答题的热点题型有：解答题的热点题型有： (1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式 或探讨方程根； 利用导数证明不等式 或探讨方程根； (3)利用导数求解参数的范围或值利用导数求解参数的范围或值. 第一课时 “导数与不等式”考法面面观第一课时 “导数与不等式”考法面面观 考法一 不等式的证明问题考法一 不等式的证明问题 题型题型·策略策略(一一)Error! 设 设 a 为实数，函数为实数，函数 f (x)ex2x2a，xRR.例例1 (1)求求 f (x)的单调区间与极值；的单调区间与极值； (2)求证：当求证：当 aln 21 且且 x0 时，时，exx22ax1. 破题思路破题思路 第第(1)问问 求什么求什么 想什么想什么 求求 f (x)的单调区间与极值，想到求导函数的单调区间与极值，想到求导函数 f (x)，然后利用不等式，然后利用不等式 f (x)0 及及 f (x)x22ax1(aln 21，x0)成立，想到证明成立，想到证明 exx22ax10 成立成立 给什么给什么 用什么用什么 通过对第通过对第(1)问的研究，求得问的研究，求得 f (x)ex2x2a 的单调性与极值，仔细观 察，可发现 的单调性与极值，仔细观 察，可发现(exx22ax1)ex2x2a 差什么差什么 找什么找什么 需要研究函数需要研究函数 g(x)exx22ax1 的单调性或最值，利用导数研究即 可 的单调性或最值，利用导数研究即 可 规范解答规范解答 (1)由由 f (x)ex2x2a(xRR)，知，知 f (x)ex2.令令 f (x)0，得，得 xln 2. 当当 xln 2 时，时，f (x)0，故函数，故函数 f (x)在区间在区间(ln 2，)上单调递增上单调递增 所以所以 f (x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是，单调递增区间是(ln 2，)，f (x)在在 xln 2 处取得极小值处取得极小值 f (ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a，无极大值，无极大值 (2)证明 ： 要证当证明 ： 要证当aln 21且且x0时，时， exx22ax1， 即证当， 即证当aln 21且且x0时，时， exx2 2ax10. 设设 g(x)exx22ax1(x0) 则则 g(x)ex2x2a，由，由(1)知知 g(x)ming(ln 2)22ln 22a. 又又 aln 21，则，则 g(x)min0. 于是对于是对xR，都有R，都有 g(x)0， 所以所以 g(x)在 R 上单调递增在 R 上单调递增 于是对于是对x0，都有，都有 g(x)g(0)0. 即即 exx22ax10， 故故 exx22ax1. 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 本题属于导数综合应用中较容易的问题，解决本题第本题属于导数综合应用中较容易的问题，解决本题第(2)问时，易忽视与第问时，易忽视与第(1) 问的联系，导函数问的联系，导函数 g(x)ex2x2a 的单调性已证，可直接用，若意识不 到这一点，再判断 的单调性已证，可直接用，若意识不 到这一点，再判断 g(x)的单调性，则造成解题过程繁琐，进而造成思维受 阻或解题失误 的单调性，则造成解题过程繁琐，进而造成思维受 阻或解题失误 技法技法 关键关键 点拨点拨 利用单调性证明单变量不等式的方法利用单调性证明单变量不等式的方法 一般地， 要证一般地， 要证 f (x)g(x)在区间在区间(a， b)上成立， 需构造辅助函数上成立， 需构造辅助函数 F(x)f (x)g(x)， 通过分析 ， 通过分析 F(x)在端点处的函数值来证明不等式若在端点处的函数值来证明不等式若 F(a)0，只需证明，只需证明 F(x)在在 (a，b)上单调递增即可；若上单调递增即可；若 F(b)0，只需证明，只需证明 F(x)在在(a，b)上单调递减即可上单调递减即可 对点训练对点训练 1已知函数已知函数 f (x)xln x，g(x)(x21)( 为常数为常数) (1)若曲线若曲线 yf (x)与曲线与曲线 yg(x)在在 x1 处有相同的切线，求实数处有相同的切线，求实数 的值；的值； (2)若若 ，且 ，且 x1，证明：，证明：f (x)g(x) 1 2 解：解：(1)f (x)ln x1，g(x)2x，则，则 f (1)1， 从而从而 g(1)21，即，即 . 1 2 (2)证明：设函数证明：设函数 h(x)xln x (x21)， 1 2 则则 h(x)ln x1x. 设设 p(x)ln x1x，从而，从而 p(x) 10 对任意对任意 x1，)恒成立，恒成立， 1 x 所以当所以当 x1，)时，时，p(x)ln x1xp(1)0， 即即 h(x)0， 因此函数因此函数 h(x)xln x (x21)在在1，)上单调递减，上单调递减， 1 2 即即 h(x)h(1)0， 所以当所以当 ，且 ，且 x1 时，时，f (x)g(x)成立成立 1 2 题型·策略(二)题型·策略(二)Error!Error! 已知函数 已知函数f (x)aexbln x，曲线，曲线yf (x)在点在点(1，f (1)处的切线方程为处的切线方程为yx例例2 ( 1 e 1) 1. (1)求求 a，b； (2)证明：证明：f (x)0. 破题思路破题思路 第第(1)问问 求什么 想什么 求什么 想什么 求求 a，b 的值，想到建立关于的值，想到建立关于 a，b 的方程组的方程组 给什么 用什么 给什么 用什么 题目条件中给出函数题目条件中给出函数 f (x)在点在点(1， f (1)处的切线方程， 可据此建立关于处的切线方程， 可据此建立关于 a， b 的方程组的方程组 第第(2)问问 求什么 想什么 求什么 想什么 要证要证 f (x)0，想到，想到 f (x)的最小值大于的最小值大于 0 差什么 找什么 差什么 找什么 需求需求 f (x)的最小值，因此只要利用导数研究函数的最小值，因此只要利用导数研究函数 f (x)的单调性即可的单调性即可 规范解答规范解答 (1)函数函数 f (x)的定义域为的定义域为(0，) f (x)aex ，由题意得 ，由题意得 f (1) ， ，f (1) 1， b x 1 e 1 e 所以所以Error!解得解得Error! (2)证明：由证明：由(1)知知 f (x) ·exln x(x0) 1 e2 因为因为 f (x)ex 2 在 在(0，)上单调递增，又上单调递增，又 f (1)0， 1 x 所以所以 f (x)0 在在(0，)上有唯一实根上有唯一实根 x0，且，且 x0(1,2) 当当 x(0，x0)时，时，f (x)0， 从而当从而当 xx0时，时，f (x)取极小值，也是最小值取极小值，也是最小值 由由 f (x0)0，得，得 ex0 2 ， 1 x0 则则 x02ln x0. 故故 f (x)f (x0)e x0 2 ln x0x022 20，所以，所以 f (x)0. 1 x0 1 x0·x 0 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 本题属于隐零点问题解决第本题属于隐零点问题解决第(2)问时，常因以下两个原因造成思维受阻，无法正 常解题 问时，常因以下两个原因造成思维受阻，无法正 常解题 (1)f (x)0 在在(0，)上有解，但无法解出；上有解，但无法解出； (2)设出设出 f (x)0 的零点的零点 x0，即，即 f (x)的最小值为的最小值为 f (x0)，但是不能将函数，但是不能将函数 f (x0)转 化成可求最值的式子，从而无法将问题解决 转 化成可求最值的式子，从而无法将问题解决 当遇到既含有指数式，又含有对数式的代数式需判断其符号时，常需应用这种技 巧，把含有指数式与对数式的代数式转化为不含有指数式与对数式的代数式，从 而可轻松判断其符号 当遇到既含有指数式，又含有对数式的代数式需判断其符号时，常需应用这种技 巧，把含有指数式与对数式的代数式转化为不含有指数式与对数式的代数式，从 而可轻松判断其符号 技法技法 关键关键 点拨点拨 利用最值证明单变量不等式的技巧利用最值证明单变量不等式的技巧 利用最值证明单变量的不等式的常见形式是利用最值证明单变量的不等式的常见形式是 f (x)g(x)证明技巧：先将不等式证明技巧：先将不等式 f (x)g(x)移项，即构造函数移项，即构造函数 h(x)f (x)g(x)，转化为证不等式，转化为证不等式 h(x)0，再次转化 为证明 ，再次转化 为证明 h(x)min0，因此，只需在所给的区间内，判断，因此，只需在所给的区间内，判断 h(x)的符号，从而判断其 单调性，并求出函数 的符号，从而判断其 单调性，并求出函数 h(x)的最小值，即可得证的最小值，即可得证 对点训练对点训练 2已知函数已知函数 f (x). x a ex (1)若若 f (x)在区间在区间(，2上为单调递增函数，求实数上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；的取值范围； (2)若若 a0， x01， 设直线， 设直线 yg(x)为函数为函数 f(x)的图象在的图象在 xx0处的切线， 求证 ：处的切线， 求证 ： f (x)g(x) 解：解：(1)易得易得 f (x)， x 1 a ex 由题意知由题意知 f (x)0 对对 x(，2恒成立，恒成立， 故故 x1a 对对 x(，2恒成立，恒成立， 1a2，a1. 故实数故实数 a 的取值范围为的取值范围为(，1 (2)证明：若证明：若 a0，则，则 f (x) . x ex 函数函数 f (x)的图象在的图象在 xx0处的切线方程为处的切线方程为 yg(x)f (x0)(xx0)f (x0) 令令 h(x)f (x)g(x)f (x)f (x0)(xx0)f (x0)，xR，R， 则则 h(x)f (x)f (x0) 1 x ex 1 x0 ex0 . 1 x ex0 1x0 e x ex x0 设设 (x)(1x)ex0(1x0)ex，xR，R， 则则 (x)ex0(1x0)ex. x01， (x)0， (x)在 R 上单调递减，而在 R 上单调递减，而 (x0)0， 当当 xx0时，时，(x)0，当，当 xx0时，时，(x)0， 当当 xx0时，时，h(x)0，当，当 xx0时，时，h(x)0， h(x)在区间在区间(，x0)上为增函数，在区间上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，上为减函数， xR 时，R 时，h(x)h(x0)0， f (x)g(x) Error!构造函数证明双变量函数不等式构造函数证明双变量函数不等式题题型型·策策略略 三 三 若 若 ba0，求证：，求证：ln bln a.例例3 2a b a a2b2 破题思路破题思路 证明：证明：ln bln a，想到如下思路：，想到如下思路： 2a b a a2b2 (1)构造以构造以 a 为主元的函数，利用导数求解为主元的函数，利用导数求解 (2)考虑到考虑到 ln bln aln ，设，设 t ，化为只有一个因变量 ，化为只有一个因变量 t 的函的函 b a 2a b a a2b2 2(b a 1) 1(b a) 2 b a 数求解数求解 (3)原不等式右边可分开写，观察此式两边，发现其与原不等式右边可分开写，观察此式两边，发现其与 f (x)ln x有关，故先研有关，故先研 2ax a2b2 究究 f (x)的单调性，从而得解的单调性，从而得解 规范解答规范解答 法一：主元法法一：主元法(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 构造函数构造函数 f (x)ln bln x， 2x b x x2b2 其中其中 0a0，故，故 f (a)f (b)0，即，即 ln bln a. 2a b a a2b2 法二：整体换元法法二：整体换元法(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 令 令 t(t1)， 构造函数， 构造函数f (t)ln t， 则， 则f (t) b a 2 t 1 t21 1 t 2t24t2 t 2 1 2 t42t32t22t1 t t2 1 2 . t 2 1 t22t 1 t t2 1 2 t1，t210，t22t112210，则，则 f (t)0，f (t)在在(1，)上单调递增， 故 上单调递增， 故 f (t)f (1)0，即，即 ln 0，从而有，从而有 ln bln a. b a 2(b a 1) 1(b a) 2 2a b a a2b2 法三：函数不等式的对称性法三：函数不等式的对称性(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 原不等式可化为原不等式可化为 ln bln a， 2ab a2b2 2a2 a2b2 则构造函数则构造函数 f (x)ln x(bxa0)， 则， 则 f (x) 0， ， f (x) 2ax a2b2 1 x 2a a2b2 1 b 2a 2ab ln x在在(a，b)上单调递增，即上单调递增，即 f (b)f (a)，则，则 ln bln a，故，故 ln bln 2ax a2b2 2ab a2b2 2a2 a2b2 a. 2a b a a2b2 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 由于题目条件少， 不能正确分析要证不等式的特点， 并构造相应的函数将问题转化， 从而导致无从下手解决问题 由于题目条件少， 不能正确分析要证不等式的特点， 并构造相应的函数将问题转化， 从而导致无从下手解决问题 技法技法 关键关键 点拨点拨 证明双变量函数不等式的常见思路证明双变量函数不等式的常见思路 (1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明 不等式 将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明 不等式 (2)整体换元对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式整体换元对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式 (3)若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函 数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明 若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函 数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明 对点训练对点训练 3(2019 届高三届高三·黄冈模拟黄冈模拟)已知函数已知函数 f (x)ln xe x(R R) (1)若函数若函数 f (x)是单调函数，求是单调函数，求 的取值范围；的取值范围； (2)求证：当求证：当 01 . x2 x1 解：解：(1)函数函数 f (x)的定义域为的定义域为(0，)， f (x)ln xe x， ， f (x) e x ， x xe x x 函数函数 f (x)是单调函数，是单调函数， f (x)0 或或 f (x)0 在在(0，)上恒成立，上恒成立， 当函数当函数 f (x)是单调递减函数时，是单调递减函数时，f (x)0， 0，即，即 xe x 0，xe x ， ， xe x x x ex 令令 (x) ，则 ，则 (x)， x ex x 1 ex 当当 01 时，时，(x)0， 则则 (x)在在(0,1)上单调递减，在上单调递减，在(1，)上单调递增，上单调递增， 当当 x0 时，时，(x)min(1) ， ， . 1 e 1 e 当函数当函数 f (x)是单调递增函数时，是单调递增函数时，f (x)0， 0，即，即 xe x 0，xe x ， ， xe x x x ex 由得由得 (x) 在 在(0,1)上单调递减， 在上单调递减， 在(1， ， )上单调递增， 又上单调递增， 又 (0)0， x时，时， x ex (x)f (x2)， 即即 ln x1e x1 ln x2e x2， ， 1 e 1 e e1 x2 e1 x1ln x 1 ln x2. 要证要证 e1 x2 e1 x11 ， x2 x1 只需证只需证 ln x1ln x21， x2 x1 即证即证 ln1， x1 x2 x2 x1 令令 t，t(0,1)，则只需证，则只需证 ln t1 ， ， x1 x2 1 t 令令 h(t)ln t 1，则，则 h(t) ， ， 1 t 1 t 1 t2 t 1 t2 当当 00，即，即 ln t1 ，故原不等式得证 ，故原不等式得证 1 t 考法二 恒成立与能成立问题考法二 恒成立与能成立问题 题型题型·策略策略(一一)Error! 已知函数 已知函数 f (x)xln x，若对于所有，若对于所有 x1 都有都有 f (x)ax1，求实数，求实数 a 的取的取例例1 值范围值范围 破题思路破题思路 求什么求什么 想什么想什么 求实数求实数 a 的取值范围，想到建立关于实数的取值范围，想到建立关于实数 a 的不等式的不等式 给什么给什么 用什么用什么 题目条件中， 已知题目条件中， 已知 f (x)ax1， 即， 即 xln xax1， 想到将不等式转化为， 想到将不等式转化为 xln xax10 或或 aln x1 x 差什么差什么 找什么找什么 缺少缺少 xln xax1 的最小值或的最小值或 ln x 的最小值，利用导数求解即可 的最小值，利用导数求解即可 1 x 规范解答规范解答 法一：分离参数法法一：分离参数法(学生用书不提供解题过程学生用书不提供解题过程) 依题意，得依题意，得 f (x)ax1 在在1，)上恒成立，即不等式上恒成立，即不等式 aln x 在 在 x1，)恒恒 1 x 成立，亦即成立，亦即 a min， ，x1，) (ln x 1 x) 设设 g(x)ln x (x1)，则，则 g(x) . 1 x 1 x 1 x2 x 1 x2 令令 g(x)0，得，得 x1. 当当 x1 时，因为时，因为 g(x)0， 故故 g(x)在在1，)上是增函数上是增函数 所以所以 g(x)在在1，)上的最小值是上的最小值是 g(1)1. 故故 a 的取值范围是的取值范围是(，1 法二：构造函数法法二：构造函数法(学生用书提供解题过程学生用书提供解题过程) 当当 x1 时，有时，有 f (1)a1，即，即 a10，得，得 a1. 构造构造 F(x)f (x)(ax1)xln xax1， 原命题等价于原命题等价于 F(x)0 在在 x1 上恒成立上恒成立F(x)min0，x1，) 由于由于 F(x)ln x1a0 在在 x1，)上恒成立，因此，函数上恒成立，因此，函数 F(x)在在1，)上 单调递增，所以 上 单调递增，所以 F(x)minF(1)1a0，得，得 a1.故故 a 的取值范围是的取值范围是(，1 题后悟通题后悟通 (一一)思路受阻分析思路受阻分析 求解本题时，直接作差构造函数或分离参数后构造函数求求解本题时，直接作差构造函数或分离参数后构造函数求 a 的取值范围，其关键是正 确求解所构造函数的最值，这也是大多数同学不会求解或不能正确求解最值而导致无法继 续解题或解题失误的地方 的取值范围，其关键是正 确求解所构造函数的最值，这也是大多数同学不会求解或不能正确求解最值而导致无法继 续解题或解题失误的地方 (二二)技法关键点拨技法关键点拨 分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键 (1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况 下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式 的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况 下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式 的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题 (2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关转化关 通过分离参数法， 先转化为通过分离参数法， 先转化为 f (a)g(x)(或或 f (a)g(x)对对xD 恒成立， 再转化 为 恒成立， 再转化 为 f (a)g(x)max(或或 f (a)g(x)min) 求最值关求最值关求函数求函数 g(x)在区间在区间 D 上的最大值上的最大值(或最小值或最小值)问题问题 (三三)解题细节提醒解题细节提醒 有些含参不等式恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦，或者即使分离出参数， 但参数的最值却难以求出，这时常利用导数法，借助导数，分析函数的单调性，通过对函 数单调性的分析确定函数值的变化情况，找到参数满足的不等式，往往能取得意想不到的 效果 有些含参不等式恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦，或者即使分离出参数， 但参数的最值却难以求出，这时常利用导数法，借助导数，分析函数的单调性，通过对函 数单调性的分析确定函数值的变化情况，找到参数满足的不等式，往往能取得意想不到的 效果 对点训练对点训练 1设函数设函数 f (x)ax2aln x，其中，其中 aRR. (1)讨论讨论 f (x)的单调性；的单调性； (2)确定确定 a 的所有可能取值，使得的所有可能取值，使得 f (x) e1 x在区间 在区间(1，)内恒成立内恒成立(e2.718为为 1 x 自然对数的底数自然对数的底数) 解：解：(1)由题意，由题意，f (x)2ax ， ，x0， 1 x 2ax21 x 当当 a0 时，时， 2ax210，f (x)0，f (x)在在(0，)上单调递减上单调递减 当当 a0 时，时，f (x)， 2a(x 1 2a)(x 1 2a) x 当当 x时，时，f (x)0. (0， ， 1 2a)( 1 2a， ， ) 故故 f (x)在上单调递减，在上单调递增在上单调递减，在上单调递增 (0， ， 1 2a)( 1 2a， ， ) 综上所述，当综上所述，当 a0 时，时，f (x)在在(0，)上单调递减；当上单调递减；当 a0 时，时，f (x)在上单调在上单调 (0， ， 1 2a) 递减，在上单调递增递减，在上单调递增 ( 1 2a， ， ) (2)原不等式等价于原不等式等价于 f (x) e1 x0 在 在(1，)上恒成立上恒成立 1 x 一方面，令一方面，令 g(x)f (x) e1 x ax2ln x e1 x a， 1 x 1 x 只需只需 g(x)在在(1，)上恒大于上恒大于 0 即可即可 又又 g(1)0，故，故 g(x)在在 x1 处必大于等于处必大于等于 0. 令令 F(x)g(x)2ax e1 x， ， 1 x 1 x2 由由 g(1)0，可得，可得 a . 1 2 另一方面，当另一方面，当 a 时， 时， 1 2 F(x)2ae1 x 1e1 x e1 x， ， 1 x2 2 x3 1 x2 2 x3 x3x2 x3 因为因为 x(1，)，故，故 x3x20.又又 e1 x0， ， 故故 F(x)在在 a 时恒大于 时恒大于 0. 1 2 所以当所以当 a 时， 时，F(x)在在(1，)上单调递增上单调递增 1 2 所以所以 F(x)F(1)2a10， 故故 g(x)也在也在(1，)上单调递增上单调递增 所以所以 g(x)g(1)0， 即即 g(x)在在(1，)上恒大于上恒大于 0. 综上所述，综上所述，a . 1 2 故实数故实数 a 的取值范围为的取值范围为. 1 2， ， ) 题型题型·策略策略(二二)Error!Error! 已知函数 已知函数 f (x)xaln x，g(x)(aRR)若在若在1，e上存在一点上存在一点 x0，例例2 a 1 x 使得使得 f (x0)2，x(0，e1)与与 h(x)e1 成立成立 e21 e 1 综上所述，综上所述，a 的取值范围为的取值范围为(，2). ( e21 e 1 ， ，) 题后悟通题后悟通 思路思路 受阻受阻 分析分析 本题构造函数后，求解本题构造函数后，求解 a 的取值范围时，需对的取值范围时，需对 a 分类讨论此处往往 因不会分类讨论或讨论不全而导致解题失误 分类讨论此处往往 因不会分类讨论或讨论不全而导致解题失误 技法技法 关键关键 点拨点拨 不等式能成立问题的解题关键点不等式能成立问题的解题关键点 对点训练对点训练 2 (2019 届高三届高三·河北 “五个一名校联盟” 模拟河北 “五个一名校联盟” 模拟)已知已知 a 为实数， 函数为实数， 函数 f (x)aln xx24x. (1)若若 x3 是函数是函数 f (x)的一个极值点，求实数的一个极值点，求实数 a 的值；的值； (2)设设 g(x)(a2)x，若存在，若存在 x0，使得，使得 f (x0)g(x0)成立，求实数成立，求实数 a 的取值范围的取值范围 1 e， ，e 解：解：(1)函数函数 f (x)的定义域为的定义域为(0，)， f (x) 2x4. a x 2x24xa x x3 是函数是函数 f (x)的一个极值点，的一个极值点， f (3)0，解得，解得 a6. 经检验，当经检验，当 a6 时，时，x3 是函数是函数 f (x)的一个极小值点，符合题意，故的一个极小值点，符合题意，故 a6. (2)由由 f (x0)g(x0)，得，得(x0ln x0)ax 2x0， 2 0 记记 F(x)xln x(x0)，则，则 F(x)(x0)， x 1 x 当当 01 时，时，F(x)0，F(x)单调递增单调递增 F(x)F(1)10，a. x2 02x0 x0ln x0 记记 G(x)，x， x22x x ln x 1 e， ，e 则则 G(x) 2x 2 xln x x2 x 1 x ln x 2 . x 1 x2ln x 2 x ln x 2 x，22ln x2(1ln x)0， 1 e， ，e x2ln x20， 当当 x时，时，G(x)0，G(x)单调递增单调递增 ( 1 e， ，1) G(x)minG(1)1，aG(x)min1， 故实数故实数 a 的取值范围为的取值范围为1，) 题型题型·策略策略(三三)Error! 已知函数 已知函数 f (x) ln xmx，g(x)x (a0)例例3 1 2 a x (1)求函数求函数 f (x)的单调区间；的单调区间； (2)若若 m，对，对x1，x22,2e2都有都有 g(x1)f (x2)成立，求实数成立，求实数 a 的取值范围的取值范围 1 2e2 破题思路破题思路 第第(1)问问 求什么 想什么 求什么 想什么 求求 f (x)的单调区间，想到解不等式的单调区间，想到解不等式 f (x)0 或或 f (x)0， 1 2 所以所以 f (x)m， 1 2x 当当 m0 时，时，f (x)0，f (x)在在(0，)上单调递增上单调递增 当当 m0 时，由时，由 f (x)0 得得 x； 1 2m 由由Error!得得 0. 1 2m 1 2m 所以所以 f (x)在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减 (0， ， 1 2m) ( 1 2m， ， ) 综上所述，当综上所述，当 m0 时，时，f (x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；，无单调递减区间； 当当 m0 时，时，f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为的单调递增区间为，单调递减区间为. (0， ， 1 2m) ( 1 2m， ， ) (2)若若 m，则，则 f (x) ln xx. 1 2e2 1 2 1 2e2 对对x1，x22,2e2都