反比例函数教材分析.ppt
反比例函数,一、为什么要学,函数,数与式,方程、不等式,整式 （七上）,一元一次方程 （七上） 二元一次方程组 （七下） 不等式与不等式组 （七下） 一元二次方程 （九上）,一次函数 （八下） 二次函数 （九上）,分式 （八下）,分式方程 （八下）,反比例函数 （九下）,(一)从数学角度看(初中的三个基本函数),一、为什么要学,(一)从数学角度看(初中的三个基本函数),从定量 知识到 变量知识,用运动变 化的观点 看问题,初中代数终结性 知识在初中代数 有统领地位,转变一种观念 形成一种思想,查漏补缺使数与式、方程与不等式的知识进一步完善.,为高中进 一步学习 奠定基础,它的图象是后续我们会在解析几何中继续研究的圆锥曲线之一双曲线，“渐近线” 的意识也是在这里有初步的感知 研究反比例函数的思想方法对于后续的学习有很大的帮助，如学习幂函数、指数函数与对数函数时，很多函数的性质甚至是函数的意义都要借住反比例函数来进行类比学习 ,一、为什么要学,(一)从数学角度看(初中的三个基本函数),一次函数 （八下）,反比例函数 （九下）,二次函数 （九上）,函数的性质是由自变量参与的运算决定的。 分式运算决定了反比例函数是初中阶段唯 一的非多项式、不连续的函数，而且也是 唯一的一个对自变量的取值范围有要求（定 义域限制）的函数 这也正是教学的难点， 是否 考虑这个因素将本部分知识放在九下？,一、为什么要学,(二)从实际应用角度看,从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看， 关于（反比例）函数的知识是非常重要的。例如 ，在讨论社会问题，经济问题时，越来越多地运 用数学思想、方法，函数的内容在其中占有相当 的地位。又如，计算机日渐普及，学习、使用计 算机是需要函数的有关知识的。考虑到诸多物理 知识的因素将本部分知识放在九下。,二、学什么,(一) 教科书内容,必学,选学,二、学什么,（二）本章知识结构框图,二、学什么,（三）本章的难点和重点,重点：反比例函数的概念、图象和性质,难点：对反比例函数及其图象和性质的 理解和掌握,三、教到什么程度?,（一）课程学习目标,1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根 据已知条件确定反比例函数的表达式。,2能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y = (k0)探索并理解k0和k0时，图像的变 化情况。,3能用反比例函数解决简单实际问题。,（一）整体把握,1.突出反比例函数与现实世界的联系,四、怎样教,（一）整体把握,2.注重数学 思想的渗透,四、怎样教,变化与对应,数形结合,转化,26.1 反比例函数 56课时,1. 反比例函数的意义,2. 探究反比例函数的性质（1）,3. 探究反比例函数的性质（2）,5. 反比例函数与其他函数,4. k的几何意义,(二)课时建议,四、怎样教,26.2 实际问题反比例函数 34课时,1.实际问题与反比例函数（1）,2.实际问题与反比例函数（2）,3. 实际问题与反比例函数（3）,4. 实际问题与反比例函数（4）,小结与检测 12课时,(二)课时建议,四、怎样教,(三).具体建议,四、怎样教,概念的引入,内涵的概括,概念的辨析,概念的巩固,概念的应用,26.1.1反比例函数的意义概念教学,概念的引入,引例的选择,补充:（4）一辆汽车以60 km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离S （km）随时间t（h）。 （5）一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量为0.1升，油箱中的余油量y(升)随行驶里程x(千米)的变化而变化。 （6） 正方形面积 y（m2）与边长x(m)的关系;,典型的丰富的具体实例（学生认知特点）,引例的选择： 1.从反比例关系（小学课程发展链） 2.适当复习正比例函数、一次、二次函数,内涵的概括,问题的设置,问题1 上述每个变化过程中的常量和变量分别是什么？ 问题2 变量在什么范围内变化？ 问题3 变量之间的对应关系怎样表达？ 问题4 这两个量之间是否存在函数关系？ 问题5 以上函数都是你熟悉的吗？这些不熟悉的函数 解析式有什么共同特征？,通过运算即从反比例关系（小学知识）进行定义（关注课程发展链），即,和一次（含正比例）函数、二次函数之间的关系？,函数观点：变化与对应,提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征,形如： ，这样的函 数叫反比例函数.,提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征,内涵的概括,形式定义,知识生长,常函数不具研究价值,与分式有着紧密的联系-体会知识间的起始点和生长点,问题1 反比例关系与反比例函数的关系？,问题2 为什么规定k0？,问题3 自变量x的取值范围是什么？,问题4 函数y的取值范围是什么？,概念的辨析,反比例函数的等价形式：,用概念作判断的具体事例，通过正例、反例分析，达成对概念的进一步认识.,正例、反例、关键词分析,概念的巩固,用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤.,掌握待定系数法,下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数,你能把它找出来吗?,(D),(A),(B),(C),将新概念纳入概念系统，建立与其他概念的联系.,概念的应用,什么是研究函数的性质,每一个k值对应一个函 数,而研究这些函数的共性就是研究函数 的性质, 对要研究地函数根据系数的取值范围进行分类；,学情分析1 学生通过一次函数、二次函数的学习已明确初等函数的图象及其性质的研究内容、一般方法、过程。,26.1.2反比例函数的图象及性质（1）,26.1.2反比例函数的图象及性质（1）,如何研究 函数的性质,一般问题特殊化; 通过具体函数定性（图象）、定量（解析式）两个角度研究性质; 特殊问题一般化归纳性质.（计算机辅助教学）,1. 列表猜性质 （1）关注自变量的取值范围； （2）关注自变量每取一个值，函数都有唯一确定的值和它对应 （3）关注对于自变量在某一范围内的取值，函数值的取值范围以及随的变化规律，从而得到关于函数性质的猜想. （学情分析2 学生通过分式的学习，具备完成表格的运算能力即观察猜想性质的能力.), 定性（图象）、定量（解析式）研究性质, 定性（图象）、定量（解析式）研究性质,2. 图象看性质 问题1 如何画图即关注所描出的邻近两点如何连线； （学情分析3 学生通过一次函数、二次函数的学习已初步具备密集取点观察趋势连线的能力。）, 定性（图象）、定量（解析式）研究性质,2. 图象看性质 问题2 图象会和坐标轴有交点吗？ （学情分析4 学生通过对分式运算的剖析，认识图象的不连续，渐近线的意识，这是教学的难点）,建议这里不要上来就是用计算机展示图象，画反比例函数图象和其他函数有本质的差异，讨论、指导、纠错实际上就是完成正确作图的过程，尤其对“形”的错误的分析解读的过程实质是“数”的认识的进一步深化，反复回到解析式（分式运算）这一本质，有利于建立数形的互化意识。,2. 图象看性质 问题3 如何观察图像 （1） 图象的分布？ （2）图象自左至右的变化趋势？ （3） 图象有什么几何特性？, 定性（图象）、定量（解析式）研究性质,学情分析5 学生通过从数形两方面 认识性质，图象的分布、变化趋势、 关于原点对称较易，关于直线对称 较难（不必作为整体要求）。,2. 图象看性质 问题3 如何观察图像 （1） 图象的分布？ （2）图象自左至右的变化趋势？ （3） 图象有什么几何特性？, 定性（图象）、定量（解析式）研究性质,3. 解析式证明性质 （这一步要求比较高，实际上就是高中研究函数增减性的方法，仅针对程度较好学生或在中考复习课中展现） 难点之一：关于的范围的分情况讨论： 若点 在反比例函数图象上，则的大小有以下三 种情况：, 定性（图象）、定量（解析式）研究性质,3. 解析式证明性质 （这一步要求比较高，实际上就是高中研究函数增减性的方法，仅针对程度较好学生或在中考复习课中展现） 难点之二 ：式的比较大小, 定性（图象）、定量（解析式）研究性质,1.用计算机实现密集的取点,近似地出现函数的图象,以增加猜想的可信性; 2.利用信息技术手段从特殊.到一般的研究., 计算机辅助教学的作用,加强反比例函数与正比例函数的对比教学,1.解析式的结构:分式形式(自变量的次数为-1)决定它的图象是双曲线 -对图象类型的决定 2.解析式中的系数K对图象的影响,对图像 的影响,（1）回忆一次函数k对图象性质的影响 k的符号-直线趋势-增减性 k的绝对值-倾斜程度-夹角大小 k相等，线平行；k互反，线对称,26.1.3反比例函数的图象及性质（2）,影响反比例函数的性质与图象的要素,(三).具体建议,对图像 的影响,（2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响 k的符号双曲线分布增减性 k的绝对值双曲线的弯曲程度离坐标原点的距离 k互反，线对称,26.1.3反比例函数的图象及性质（2）,(三).具体建议,对图像 的影响,图象（形）：k的绝对值越小图像越靠近坐标轴， 解析式（数）：(3, 1)(6, 1)；（1.5, 2)(3, 2)靠近y轴的程度,（2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响,对图像 的影响,（2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响,图象（形）：k的绝对值越小图像越靠近坐标轴， 解析式（数） :(1,3)(1,6)； (2,1.5)(2,3) 靠近x轴的程度,对图像 的影响,图象（形）：作图观察（再回顾作图，希望利用自身对称性快捷画图），几何画板演示 。解析式（数）：从解析式角度分析其合理性。 结论：k互反，线对称,（2）借助计算机辅助教学、类比正比例函数从定性（图象）、定量（解析式）两个角度探讨反比例函数函数k对图象性质的影响,26.1.4反比例函数的图象及性质（3）,推荐宋春桂 老师课例,的几何意义,1如何由解析式xy=k(k为定值)联想到图形面积; （1） 反比例函数实质：两个变量的乘积是定值.（代数） （2） k的几何意义： 面积不变性. 2若学生程度较好，是否可考虑能否用同样的方式研究正比例函数乃至一次函数中比例系数k的几何意义(研究性学习).,26.1.5反比例函数与其他函数,课本P9,略高要求,26.1.5反比例函数与其他函数,适度拓展 （课本P22）,26.1.5反比例函数与其他函数,D,26.1.5反比例函数与其他函数,略高要求,26.1.5反比例函数与其他函数,较高要求,26.1.5反比例函数与其他函数,请利用函数图象，求方程 的大致解,较高要求,26.1.5反比例函数与其他函数,反比例函数的实际应用,x.y=k,（k 0， 且为常数）.,利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象(建模)，突出解决实际问题，建立模型的分析过程与方法 先给出图形和题干，引导学生分析这是一个怎样的过程？涉及哪些量？量之间的关系如何？从而建立模型进一步解决问题。,(三).具体建议,26.2.2 实际问题与反比例函数（2）,侧重行程、工程问题（课本P13 例2）,26.2.3 实际问题与反比例函数（3）,侧重物理力学、电学等有关实际问题 （课本P14 例3、例4）,26.2.1实际问题与反比例函数（1）,突出解决实际问题，建立模型的分析过程与方法1,反比例函数与其他知识结合的问题,（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已 经从理念变为人们的行动某化工厂2009年1 月的利润 为200万元设2009年1 月为第1个月，第x个月的利 润为y万元由于排污超标，该厂决定从2009年1 月 底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月 利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例到5月 底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的 利润比前一个月增加20万元（如图） 分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x之间对应的函数关系式 治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能 达到2009年1月的水平？ 当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？,较高要求,26.2.3 实际问题与反比例函数（4）,谢谢!,
