2.5等比数列的前n项和 (课件).ppt
2.5 等比数列的前n项和,第一课时,问题提出,1.等比数列的内涵特征是什么？ 如何用递推公式描述？,从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.,或an1·an1 an2(n2).,2.等比数列的通项公式是什么？,3.在等比数列an中 的条件是什么？特别地，a1·an可以等于什么？,mn=pq,a1·ana2·an1a3·an2,4.国际象棋起源于古代印度，据传，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.”这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？,等比数列的 求和公式,知识探究（一）：求和公式的推导,思考1：设S64=1+2+4+8+263,那么2S64的表达式如何？,思考2：S64与2S64的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？,思考3：上述算法实际上解决了求等比数列1，2，4，8，2n-1，前64项的和，利用这个算法，1248 2n-1等于什么？,思考4：上述算法叫做错位相减法 .一般地，设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn，利用错位相减法如何求Sn？所得结果如何？,思考5： 就是等比数列 的前n项和公式，这个公式的使用条件是什么 ?,思考6：当q1时，如何求Sn？,q1,知识探究（二）：求和公式的变通,思考1： 当q1和q1时，分别使用哪个公式更方便？,思考2：当公比q1时，结合等比数列通项公式，Sn可变形为什么？,思考3：根据等比数列的定义，有， 结合等比定理可以得到什么结论 ?,思考4：等比数列的通项公式可变形为 据此， 等于什么？,思考5：等比数列有5个相关量，即a1，an，Sn，q，n，已知其中几个量的值就可以确定其它量的值？,理论迁移,例1 求下列等比数列的前8项的和,例2 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台（结果保留到个位）?,小结作业,1. “错位相减法”不仅可以推导等比数列求和公式，而且可以用来求一类特殊数列的和.,3.利用方程思想和等比数列前n项和公式，可以求等比数列的首项、公比和项数 .,作业： P58练习：1,2,3 P61习题2.5A组：1.,第二课时,2.5 等比数列的前n项和,问题提出,1.等比数列的递推公式是什么？,或an1·an1 an2(n2).,2.等比数列的通项公式是什么？,3.等比数列前n项和的两个基本公式是什么？,4.根据等差数列的定义、通项公式及前n项和公式，我们发掘出了等差数列的一系列性质，对于等比数列，我们也可以作些相应探究 .,等比数列前n 项和的性质,探究（一）：等比数列与前n项和的关系,思考1 ： 的一般形式为 ，如果数列an的前n项和 , 那么数列an是等比数列吗？,an是等比数列,思考2： 的一般形式为 ,如果数列an的前n和 ,那么数列an是等比数列吗？,an是等比数列,思考3：设数列an的前n项和为Sn，若数列Sn是公比不为1的等比数列，那么数列an是等比数列吗 ?,不是,探究（二）：等比数列前n项和的性质,思考1：设等比数列an的公比为q，那么Sn1与Sn之间有什么关系？,思考2：将Sn1Snan1代入上式可得什么结论？,Sn1a1qSn,思考3：在等比数列an中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？,(S2nSn)2(S3nS2n) Sn,理论迁移,例1 已知数列an的前n项 若数列an为等比数列，求实数a的值.,例2 已知数列an满足Sn4an2， 求数列an的通项公式.,例3 在等比数列an中，已知Sn10，S2n30，求S3n的值.,例4 设等比数列an的各项都是正数,比较SnSn2与(Sn+1)2的大小.,S3n70,小结作业,1.以等比数列前n项和为背景可引发出某些性质，作为研究性学习，其结论不要求记忆，但要了解探究这些性质的数学思想、方法和技巧，并在解题中灵活运用,2.等比数列的定义、通项公式、求和公式是等比数列的基本知识点，适当了解等比数列的一些基本性质，会给解题带来一定的帮助.,3.对于与等比数列前n项和有关的问题，不一定要用求和公式进行运算或变形，有时作非公式化处理更简单,作业： P61习题2.5A组：2,3,6.,2.5 等比数列的前n项和,第三课时,1.等差数列的前n项和公式是什么？,2.等比数列的前n项和公式是什么？,当q1时，Snna1；,当q1时,问题提出,3.对于等差、等比数列的求和问题，可直接套公式求解，对于某些非等差、等比数列的求和问题，我们希望有一些求和的方法，这又是一个需要探究的课题.,特殊数列的求和,知识探究（一）：特殊数列的求和方法,思考2：上述求和方法叫做分组求和法，一般地，什么类型的数列可用分组求和法求和？,思考1：如何求数列 的各项之和？其和为多少？,由几个等差、等比数列合成的数列.,思考3：如何求数列 的各项之和？其和为多少？,思考4：上述求和方法叫做裂项求和法，一般地，什么类型的数列可用裂项求和法求和？,每一项都能拆分为两项的差，累加后能抵消若干项.,思考5：如何求数列2，4a，6a2，2nan1（a0） 的各项之和？其和为多少？,思考6：上述求和方法叫做错位相减法，一般地，什么类型的数列可用错位相减法求和？,由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积组成的数列.,当a1时，,当a1时，,知识探究（二）：特殊数列的求和技巧,思考2：如何求数列12，22，32，n2的各项之和？其和为多少？,思考1：如何求数列4，44，444， 的各项之和？其和为多少？,例1 求数列 的各项之和.,首项为,理论迁移,例2 求数列1，3，5，7， (1)n(2n1) 的各项之和.,(1)n·n,小结作业,1.特殊数列的求和问题是建立在等差、等比数列的基础之上，各有特定的方法和技巧，其中分组求和，裂项求和，错位相减是常用方法，要求理解和掌握.,2.求特殊数列的和一般先要分析其通项公式，再根据数列的特点选择适当的方法或技巧求解，同时要注意数列共有多少项.,作业： P61习题2.5A组：4,5.,
