3.3.1函数的单调性与导数3.ppt

3.3.1函数的单 调性与导数 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 1.函数的单调性与其导数的正负有如下关系 ： 如果f´(x)0, 复习引入： 在某个区间（a,b)内 , 2.用导证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法： (1) 求函数f(x)的定义义域；(2)求f(x) (3)确认f(x)在(a,b)内的符号；（4）作出结论。 例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象. (A) (B)(C) (D) h tO h tO h tO h tO （1）（2） （3）（4） 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图 象“陡峭”,在 或 内的图象“平缓 ”. 通过过函数图图像，不仅仅可以看出函数的增或减，还还可 以看出其变变化的快慢，结结合图图像，从导导数的角度解 释变释变 化快慢的情况。 练习 3.讨论二次函数 的单调区间. 解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间 是 ; 相应地, 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间 是 ; 相应地, 函数的递减区间是 练习 4.求证: 函数 在 内是减函数. 解: 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减 函数. 函数单调单调 性与导导数的关系 1.如果在区间间(a,b)内f(x)0(f(x)0),那么函数 f(x)在(a,b)内为为增函数（减函数） 2.如果函数f(x)在(a,b)内为为增函数（减函数） ,那么f(x)0(f(x)0）在区间间(a,b)内恒成立。 题题型：根据函数的单调单调 性求参数的取值值范 围围 函数在（0，1上单调递增 注： 在某个区间上， ，f（x）在 这个区间上单调递增（递减）； 但由f（x）在这个区间上单调递增（递减 ）而仅仅得到 是不够的。还有 可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调 ， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 本题用到一个重要的转化： 练习： 已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值值范围围。 解：f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立， a0且=36+12a0， a -3 例3：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。 求函数 的单调区间。 变1：求函数 的单调区间。 理解训练： 解： 的单调递增区间为 单调递减区间为 解： 的单调递增区间为 单调递减区间为 变3：求函数 的单调区间。 变2：求函数 的单调区间。 巩固提高： 解: 解: (04年全国理) B x y o 练习练习 作业 P98 2