2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：6_§ 2_4　二次函数和幂函数 夯基提能作业 Word版含解析.pdf

§ 2.4 二次函数和幂函数 A 组 基础题组A 组 基础题组 1.函数 f(x)=2x2-mx+3 在(-,-1上单调递减,在(-1,+)上单调递 增,则 f(2)=( ) A.10B.14C.19D.20 答案 C 由题意知 =-1,所以 m=-4,所以 f(x)=2x2+4x+3,所以 4 f(2)=19. 2.(2019 绍兴一中月考)命题“ax2-2ax+30 恒成立”是假命题,则实 数 a 的取值范围是( ) A.a3 D.00 恒成立,则 a=0 或可 0, = 42- 12a 0 恒成立”是假命题时,a. ( 1+ 2 2 ) (1) + f(2) 2 答案 解析 -f=-= (1) + f(2) 2 ( 1+ 2 2 ) 2 1+ 1+ 22+ 2 2 ( 1+ 2 2 ) 2 1+ 2 2 ( 1- 2)2 4 0,故填. 6.(2019山西一模)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间-3-m,m2-m上的 奇函数,则 f(m)= . 答案 -1 解析 由题意得 m2-m=3+m,即 m2-2m-3=0, m=3 或 m=-1. 当 m=3 时, f(x)=x-1,其定义域为-6,6, f(x)在 x=0 处无意义,故舍去. 当 m=-1 时, f(x)=x3,其定义域为-2,2,满足题意, f(m)=f(-1)=(-1)3=-1. 7.若 f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为 ,则 1 2 4a+3b= . 答案 -3 2 解析 由题意可知,即 |( - 1)| 1 2, |(0)| 1 2, |(1)| 1 2, |1 - + | 1 2, | 1 2, |1 + + | 1 2, 而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以 2|1+b|1, 解得- b- ,另一方面|b| 等价于- b , 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 所以 b=- ,所以解得 a=0. 1 2 | 1 2 - a| 1 2, | 1 2 + a| 1 2, 综上得故 4a+3b=- . = 0, = - 1 2, 3 2 8.二次函数 y=x2+kx+k,k4,6的图象截 x 轴所得线段长度的取值 范围是 . 答案 0,23 解析 所求线段的长度为=,因为 k4,6,2- 4k ( - 2)2- 4 所以0,2. ( - 2)2- 4 3 9.对于定义在 R 上的函数 f(x),若实数 x0满足 f(x0)=x0,则称 x0是函 数 f(x)的一个不动点.若函数 f(x)=x2+ax+1 没有不动点,则实数 a 的 取值范围是 . 答案 (-1,3) 解析 问题等价于方程 x2+ax+1=x 无解,即 x2+(a-1)x+1=0 无 解,=(a-1)2-4f(a-1)的实数 a 的取值范围. 解析 (1)m2+m=m(m+1),mN*, 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,m(m+1)为偶数. 函数f(x)=(mN*)的定义域为0,+),并且在定义域上( 2+ m)- 1 为增函数. (2)函数 f(x)的图象经过点(2,),2 =,m2+m=2.22( 2+ m)- 1 解得 m=1 或 m=-2. 又 mN*,m=1. 由 f(2-a)f(a-1)得 2 - 0, - 1 0, 2 - - 1. 解得 1aba),其图象过点(1,0),并与直线 y=-a 有交点. (1)求证:0 ba, 所以 a0. 由 c=-a-2bba,得- , 2+ 20)与 x 轴有两个交点 A,B,顶点为 C,设 =b2-4ac,ACB=,则 cos = ( ) A.B.C.D. - 4 + 4 - 2 + 2 + 4 - 4 + 2 - 2 答案 A 如图所示. |AB|=, ( 1+ 2)2 - 412 (- ) 2 - 4· |AD|=,而|CD|=,|AC|2=|AD|2+|CD|2=+= 2 | 4 - 2 4 | 4 42 2 162 2+ 4 162 ,cos =1-=1-=,故选 A. |2+ |BC|2- |AB|2 2|·| |2 2|2 2 2· 2+ 4 162 - 4 + 4 3.下图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对 称轴为 x=-1,给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a- b+c=0;5a0,即 b24ac,正确;对称轴为x=-1,即-=-1,所以2a-b=0,错误;结合图 2 象,当 x=-1 时,y0,即 a-b+c0,错误;由对称轴为直线 x=-1 知 b=2a, 又函数图象开口向下,所以 a1). (1)若 f(x)的定义域和值域均是1,a,求实数 a 的值; (2)若 f(x)在区间(-,2上是减函数,且对任意的 x1,x21,a+1, 总 有|f(x1)-f(x2)|4,求实数 a 的取值范围; (3)若 f(x)在1,3上有零点,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)易知 f(x)在1,a上单调递减,所以(1) = , () = 1, a=2. (2)若 f(x)在区间(-,2上是减函数,则 a2, 所以当 x1,a+1时, f(x)min=f(a)=5-a2, f(x)max=f(1)=6-2a, 因为对任意的 x1,x21,a+1,总有|f(x1)-f(x2)|4, 即 f(x)max-f(x)min4,即 6-2a-5+a24, 所以 a2-2a-30,得-1a3. (3)f(x)=x2-2ax+5(a1)在1,3上有零点,即x2-2ax+5=0在1,3上有 解,所以 2a=x+ 在1,3上有解, 5 令 h(x)=x+ , 5 易知 h(x)=x+ 在1,上是减函数,在,3上是增函数, 5 55 h(1)=6,h()=2,h(3)=,55 14 3 2h(x)6,所以 22a6,a3.555 5.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象过点(1,0). (1)记函数 f(x)在0,2上的最大值为 M,若 M1,求 a 的最大值; (2)若对任意的 x10,2,存在 x20,2,使得 f(x1)+f(x2) a,求 3 2 的取值范围. 解析 (1)函数 f(x)的图象过点(1,0), f(1)=a+b+c=0, c=-a-b,f(x)=ax2+bx-a-b(a0), 易知 f(x)的图象是开口向上的抛物线, M 为 f(0), f(2)中的较大者 M1(0) = - - 1, (2) = 3 + 1. 2a2,即 a1,故 a 的最大值为 1. (2)由题意知,存在 x20,2,使 f(x)min+f(x2) a, 3 2 f(x)min+f(x)max a, 3 2 由(1)知, f(x)=ax2+bx-a-b,此函数图象的对称轴为直线 x=- . 2 当-0 时, f(x)在0,2上单调递增, 2 f(x)min+f(x)max=f(0)+f(2)=-a-b+3a+b=2a a, 3 2 0,符合题意. 当 0- a,得- a,得-4- a, 3 2 -4,符合题意. 综上所述, -. 2 2