2018_2019学年高中数学第一章三角函数9三角函数的简单应用学案北师大版必修4.pdf

§9 三角函数的简单应用§9 三角函数的简单应用 内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角 函数研究简单的实际问题(难点) 知识点 1 利用三角函数模型解决实际问题 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人 的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问 题的最优秀的数学模型 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图” ； (2)观察“散点图” ，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数 和余弦函数模型来解决； (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析 【预习评价】 求下列函数的周期 (1)yAsin(x) (0)的周期是T； 2 | (2)yAcos(x) (0)的周期是T； 2 | (3)yAtan(x) (0)的周期是T. | 知识点 2 三角函数模型在物理学中的应用 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数yAsin(x)来表示运动的位 移y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； 2 (3)f 称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数 1 T 2 【预习评价】 在函数yAsin(x)b(A0，0)中，A，b与函数的最值有何关系？ 提示 A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下： (1)ymaxAb，yminAb； (2)A，b. ymaxymin 2 ymaxymin 2 题型一 已知解析式求周期最值 【例 1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220·sin3 来表示，求： (100t 6) (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间 解 (1)当t0 时，E110(V)3 即开始时的电压为 110 V.3 (2)T(s)，即时间间隔为 0.02 s. 2 100 1 50 (3)电压的最大值为 220 V.3 当 100t，即t s 时第一次取得最大值 6 2 1 300 规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角 函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键 【训练 1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系 为s6sin. (2t 6) (1)作出它的图像； (2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)图略 (2)当t0 时， s6sin6× 3，即 6 1 2 单摆开始摆动时，离开平衡位置 3 cm. (3)s6sin的振幅为 6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置 6 cm. (2t 6) (4)s6sin的周期为 1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是 1 s. (2t 6) 题型二 已知模型求解析式 【例 2】 如图所示，表示电流I与时间t的关系式：IAsin(t)(A0，0)在 一个周期内的图像根据图像写出IAsin(t)的解析式 解 由图像可知A300， 又T2，100. 1 150( 1 300) 1 50 2 T 又t时，t0， 1 300 100()0 即， 1 300 3 I300sin. (100t 3) 规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“yAsin(x)B”中A，B的 意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键 【训练 2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表 示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为_ 解析 设该振子振动的函数解析式为yAsin(x)，由图可知，该振子作简谐运动的 图像的平衡位置是t轴，振幅A为 2， 周期T2×(0.50.1)0.8，所以， 2 0.8 5 2 则y2sin. ( 5 2 x) 将点(0.1,2)代入，得. 4 故该振子振动的函数解析式为y2sin. ( 5 2 x 4) 答案 y2sin(5 2 x 4) 【例3】 据市场调查， 某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x) Asin(x)7来表示(x为月份)， 已知 3 月份达到最高价 9 (A0，0，| 2) 万元，7 月份价格最低，为 5 万元，则国庆节期间的价格约为( ) A4.2 万元B5.6 万元 C7 万元D8.4 万元 解析 由题知A2，T2×(73)8， ，. 4 4 f(x)2sin7， ( 4 x 4) 把x10 代入得y78.4 万元2 答案 D 【迁移 1】 例 3 改为问：在一年内商品价格不低于 8 万元的时间持续多长？ 解 由f(x)2sin78 易知有 5 个月的时间满足条件 ( 4 x 4) 【迁移 2】 例 3 中当价格低于 7 万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加 班？何时加班结束？ 解 由 2sin77 得 5x9， 所以应该在 5 月份开始加班， 直到 9 月份加班结束 ( 4 x 4) 规律方法 三角函数的应用在生产生活中的求解框图 课堂达标 1 一根长l cm的线， 一端固定， 另一端悬挂一个小球， 小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的 ( g lt 3) 周期是 1 s 时，线长l等于( ) A. B. C. D. g g 2 g 2 g 42 解析 T，所以，2，则l. 2 g l g l 2 T g 42 答案 D 2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是( ) Af(x)xsin x Bf(x)cos x x Cf(x)xcos x Df(x)x·· (x 2) (x 3 2) 解析 观察图像知，函数为奇函数，排除 D； 又函数在x0 处有定义，排除 B； 令x，f 2 0，A 不合适，故选 C. ( 2) 答案 C 3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角()与时间t(s)满足函 数关系式 sin，则当t0 时，角的大小及单摆频率是_ 1 2(2t 2) 解析 t0 时， sin ，由函数解析式知单摆周期T，频率为. 1 2 2 1 2 2 2 1 答案 1 4某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos (x1,2,3， 12，A0)来表示， 已知 6 月份的月平均气温最高， 为 28， 12 6 x6 月份的月平均气温最低，为 18，则 10 月份的平均气温值为_. 解析 由题意得Error! Error! y235cos， 6 x6 当x10 时，y235×20.5. ( 1 2) 答案 20.5 5如图所示，一个摩天轮半径为 10 m，轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此摩天轮按逆时 针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开 始计时 (1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m. 解 (1)设在t s 时， 摩天轮上某人在高h m 处 这时此人所转过的角为 t t， 故在t 2 30 15 s 时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0) 15 (2)由 10sint1217，得 sint ，则 t. 15 15 1 2 5 2 25 2 故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m. 课堂小结 1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自 然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用 2三角函数模型构建的步骤： (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象 (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合 (3)利用三角函数模型解决实际问题 (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验. 基础过关 1如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 周期后，乙的位置将移 1 2 至( ) A甲B乙 C丙D丁 解析 该题目考察了最值与周期间的关系 ； 相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半 个周期，选 C. 答案 C 2电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)(A0，0,00)，f()f()，且f(x)在区间(，)上有最小值， 3 6 3 6 3 无最大值，则_. 解析 依题意，x时，y有最小值， 6 3 2 4 sin(·)1， 4 3 2k(kZ Z) 4 3 3 2 8k(kZ Z)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以1 时才可对冲浪者开放， cos t11， 1 2 6 cos t0，2kt2k，kZ Z， 6 2 6 2 即 12k3t12k3，kZ Z. 0t24，故可令中k分别为 0,1,2， 得 0t3 或 9t15 或 21t24. 在规定时间上午800至晚上2000之间， 有6个小时时间可供冲浪者运动， 即上午900 至下午 300. 13 (选做题)如图， 一个水轮的半径为 4 m， 水轮圆心O距离水面 2 m， 已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间 (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？ 解 (1)如图所示建立直角坐标系， 设角是以Ox为始边，OP0为终边的角 ( 2 0) OP每秒钟内所转过的角为 . 5 × 2 60 6 则OP在时间t(s)内所转过的角为t. 6 由题意可知水轮逆时针转动， 得z4sin2. ( 6 t) 当t0 时，z0，得 sin ，即. 1 2 6 故所求的函数关系式为z4sin2. ( 6 t 6) (2)令z4sin26， ( 6 t 6) 得 sin1，令t，得t4， ( 6 t 6) 6 6 2 故点P第一次到达最高点大约需要 4 s