2018_2019学年高中数学第三章三角恒等变形2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦余弦函数学案北师大版必修4.pdf

21 两角差的余弦函数21 两角差的余弦函数 22 两角和与差的正弦、余弦函数22 两角和与差的正弦、余弦函数 内容要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(重点).2.能利用两角差的余弦公 式导出两角差的正弦公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦公式，了解 它们的内在联系(重点).4.能运用上述公式进行简单恒等变换(难点) 知识点 1 两角和与差的余弦公式 C：cos()cos_cos_sin_sin_.(3.3) C：cos()cos_cos_sin_sin_.(3.4) 【预习评价】 1cos 20°cos 10°sin 20°sin 10°( ) A B. 3 2 3 2 C D. 1 2 1 2 答案 B 2cos 75°_. 答案 6 2 4 知识点 2 两角和与差的正弦公式 S：sin()sin_cos_cos_sin_.(3.5) S：sin()sin_cos_cos_sin_.(3.6) 【预习评价】 1计算 sin 43°cos 13°cos 43°sin 13°的结果等于( ) A. B. 1 2 3 3 C. D. 2 2 3 2 答案 A 2已知 sin ，0，则 cos _，sin_. 3 5 2( 4) 答案 4 5 7 2 10 题型一 给角求值 【例 1】 求值：(1)sin 15°cos 15°； (2)sin 119°sin 181°sin 91°sin 29°. 解 (1)方法一 sin 15°cos 15° sin(45°30°)cos(45°30°) sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°cos 45°cos 30°sin 45°·sin 30° ×× ×× . 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 方法二 sin 15°cos 15° 2 ( 2 2 ·sin 15° 2 2 ·cos 15°) sin(15°45°)2 sin 60°.2 6 2 (2)原式sin(29°90°)sin(1°180°)sin(1°90°)·sin 29° cos 29°(sin 1°)cos 1°sin 29° (sin 29°cos 1°cos 29°sin 1°) sin(29°1°)sin 30° . 1 2 规律方法 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化， 充分利用拆角、 凑角的技巧转化为 和、 差角的正弦、 余弦公式的形式， 同时注意活用、 逆用公式， “大角” 利用诱导公式化为 “小 角” 【训练 1】 求下列式子的值： (1)cos(15°)； (2)sin 795°； (3)cos 43°cos 77°sin 43°cos 167°. 解 (1)cos(15°)cos(30°45°) cos(45°30°)cos 45°cos 30°sin 45°sin 30° ×× . 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 (2)sin 795°sin(2×360°75°)sin 75°sin(45°30°) sin 45°cos 30°cos 45°sin 30° ×× 2 2 3 2 2 2 1 2 . 6 2 4 (3)cos 167°cos(90°77°)sin 77° 原式cos 43°cos 77°sin 43°sin 77° cos(43°77°)cos 120° . 1 2 题型二 给值求值 【例2】已知 0，cos ，sin，求 4 4 3 4( 4 ) 3 5( 3 4 ) 5 13 sin()的值 解 ，0. 4 3 4 2 4 sin . ( 4 )1(3 5) 2 4 5 又0， 4 3 4 3 4 cos， ( 3 4 )1( 5 13) 2 12 13 sin()cos( 2 ) cos(3 4 )( 4 ) coscossinsin ( 3 4 ) ( 4 ) ( 3 4 ) ( 4 ) × ×. ( 12 13) 3 5 5 13( 4 5) 56 65 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、 拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差 (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角 【训练 2】 已知， cos()， sin() ， 求 sin 2的值 2 3 4 12 13 3 5 解 ， 2 3 4 0，. 4 3 2 sin()，1cos2 5 13 cos() .1sin2 4 5 sin 2sin()() sin()cos()cos()sin() ××. 5 13( 4 5) 12 13( 3 5) 56 65 【探究 1】 已知A，B均为钝角，且 sin A，sin B，求AB的值 5 5 10 10 解 A，B均为钝角，且 sin A，sin B， 5 5 10 10 cos A，1sin2 A 2 5 5 cos B，1sin2 B 3 10 10 cos(AB)cos Acos Bsin Asin B ×()×. 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 又A，B，AB2， 2 2 AB. 7 4 【探究 2】 已知 cos ，cos()，且、，求的值 1 7 11 14(0， 2) 解 、且 cos ，cos()， (0， 2) 1 7 11 14 sin ，1cos2 4 3 7 sin().1cos2 5 3 14 又()， cos cos()cos()cos sin()sin × × . ( 11 14) 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2 又，. (0， 2) 3 【探究 3】 已知 cos()，cos()，且， 12 13 12 13( 2 ，) ，求的值 ( 3 2 ，2) 解 由，且 cos()， ( 2 ，) 12 13 得 sin()， 5 13 由，且 cos()， ( 3 2 ，2) 12 13 得 sin(). 5 13 cos 2cos()() cos()cos()sin()sin() ××1. 12 13( 12 13) ( 5 13) 5 13 又，2. ( 3 2 ，2) ( 2 ，) ( 2 ，3 2) 2，则. 2 规律方法 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角 所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角至于选取角的哪一个三角函数值， 应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内 2选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦函数、余弦函数均 (0， 2) 可；若角的取值范围是，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，)，则选余弦 ( 2 ， 2) 函数. 课堂达标 1sin 75°等于( ) A. B. 6 2 4 6 2 4 C. D. 6 2 2 6 2 2 解析 sin 75°sin(30°45°)sin 30°cos 45°cos 30°sin 45° ×× 1 2 2 2 3 2 . 2 2 2 6 4 答案 B 2sin 69°cos 99°cos 69°sin 99°的值为( ) A.B 1 2 1 2 C.D 3 2 3 2 解析 原式sin(69°99°)sin(30°) . 1 2 答案 B 3计算： sin 60°cos 60°_. 1 2 3 2 解析 原式sin 30°sin 60°cos 30°cos 60° cos(60°30°)cos 30°. 3 2 答案 3 2 4已知锐角、满足 sin ，cos ，则_. 2 5 5 10 10 解析 ，为锐角，sin ，cos ， 2 5 5 10 10 cos ，sin . 5 5 3 10 10 cos()cos cos sin sin ××. 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 0， . 3 4 答案 3 4 5已知锐角、满足 cos ，tan() ，求 cos . 4 5 1 3 解 为锐角，且 cos ，sin . 4 5 3 5 又0，0，. 2 2 2 2 又tan() 0，cos(). 1 3 3 10 从而 sin()tan()cos(). 1 10 cos cos() cos cos()sin sin() × ×. 4 5 3 10 3 5( 1 10) 9 10 50 课堂小结 1两角和与差的三角函数公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和与差 的三角函数公式的特例，例如：sin()sin cos cos sin sin . 2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sincos()cos sin()时，不要将 cos()和 sin()展开，而应采用整体思想，作如下变 形： sin cos()cos sin() sin()sin()sin . 3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地取得条件中的角与 问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解. 基础过关 1设，若 sin ，则cos等于( ) (0， 2) 3 5 2 ( 4) A. B. 7 5 1 5 CD 7 5 1 5 解析 cos2 ( 4) 2(cos cos 4 sin sin 4) cos sin . 4 5 3 5 7 5 答案 A 2化简 sin(xy)sin(xy)cos(xy)cos(xy)的结果为( ) Asin 2xBcos 2x Ccos 2xDsin 2x 解析 原式cos(xy)(xy)cos 2x，故选 C. 答案 C 3若锐角、满足 cos ，cos() ，则 sin 的值是( ) 4 5 3 5 A. B. 17 25 3 5 C. D. 7 25 1 5 解析 cos ，cos() ，、， 4 5 3 5(0， 2) sin ，sin() . 3 5 4 5 sin sin() sin()cos cos()sin × × . 4 5 4 5 3 5 3 5 7 25 答案 C 4若 cos() ，则(sin sin )2(cos cos )2_. 1 3 解析 原式22(sin sin cos cos ) 22cos() . 8 3 答案 8 3 5已知，tan 2，则 cos_ (0， 2)( 4) 解析 由 tan 2 得 sin 2 cos ， 又 sin 2cos21，所以 cos2 . 1 5 因为，所以 cos ，sin . (0， 2) 5 5 2 5 5 因为 coscos cos sin sin ( 4) 4 4 ××. 5 5 2 2 2 5 5 2 2 3 10 10 答案 3 10 10 6已知 sin ，sin()，均为锐角，求. 5 5 10 10 解 为锐角，sin ，cos . 5 5 2 5 5 且 sin()， 2 2 10 10 cos()， 3 10 10 sin sin() sin()cos cos()sin ××， 10 10 2 5 5 3 10 10 5 5 2 2 为锐角，. 4 7已知 cos cos ，sin sin ，求 cos() 1 2 1 3 解 由 cos cos 两边平方得 1 2 (cos cos )2cos2cos22cos cos . 1 4 由 sin sin 两边平方得 1 3 (sin sin )2sin2sin22sin sin . 1 9 得 22(cos cos sin sin ). 13 36 cos cos sin sin ， 59 72 cos(). 59 72 能力提升 8在ABC中，三内角分别是A、B、C，若 sin C2cos Asin B，则ABC一定是( ) A直角三角形B正三角形 C等腰三角形D等腰直角三角形 解析 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 2cos Asin B， sin Acos Bcos Asin B0. 即 sin(AB)0，AB. 答案 C 9若函数f(x)(1tan x)cos x,0x，则f(x)的最大值为( )3 2 A1B2 C1D233 解析 f(x)(1tan x)cos xcos xsin x33 2( cos xsin x)2sin(x)， 1 2 3 2 6 0x，x. 2 6 6 2 3 f(x)max2. 答案 B 10已知 sin cos 1，则 cos()_. 解析 因 sin cos 1 且1sin 1，1cos 1， 故有Error!或Error! 所以 cos sin 0， 所以 cos()cos cos sin sin 0. 答案 0 11已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，若·1，则 sin()_.AC BC 4 解析 (cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，AC BC ·(cos 3)·cos sin (sin 3)AC BC cos23cos sin23sin 13(sin cos ) 13(sin cos )2 2 2 2 2 13sin()1，2 4 sin(). 4 2 3 答案 2 3 12 (1)已知 sin ， cos ，、均在第二象限， 求 sin()和 sin() 1 3 2 3 的值 (2)若 sin，cos ，且 0，求 cos()的值 ( 3 4 ) 5 13( 4 ) 3 5 4 3 4 解 (1)sin ，cos ，、为第二象限角， 1 3 2 3 cos ，1sin2 2 2 3 sin ，1cos2 5 3 sin()sin cos cos sin ×( )()×， 1 3 2 3 2 2 3 5 3 22 10 9 sin()sin cos cos sin ×( )()×. 1 3 2 3 2 2 3 5 3 22 10 9 (2)0， 4 3 4 ，0. 3 4 3 4 2 4 又sin，cos ， ( 3 4 ) 5 13( 4 ) 3 5 cos，sin ， ( 3 4 ) 12 13( 4 ) 4 5 cos()sin 2 sin(3 4 )( 4 ) sincoscossin ( 3 4 ) ( 4 ) ( 3 4 ) ( 4 ) × ×. 5 13 3 5( 12 13) ( 4 5) 33 65 13(选做题)已知函数f(x)2sin，xR R. ( 1 3x 6) (1)求f(0)的值； (2)设，f，f(32) ，求 sin()的值 0， 2(3 2) 10 13 6 5 解 (1)f(0)2sin1. ( 6) (2)由f(3)得 2sin ，即 sin ， 2 10 13 10 13 5 13 由f(32) 得 2sin ，从而 cos . 6 5( 2) 6 5 3 5 ， 0， 2 cos ，sin ，1( 5 13) 2 12 13 1(3 5) 2 4 5 sin()sin cos cos sin × × . 5 13 3 5 12 13 4 5 63 65