2018_2019学年高中数学第二章平面向量3.1数乘向量学案北师大版必修42.pdf

31 数乘向量31 数乘向量 内容要求 1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点).2.理解数乘向量的几何意义(重点).3. 掌握向量共线的判定定理和性质定理(难点) 知识点 1 数乘向量的概念与运算律 (1)数乘向量： 定义：a a是一个向量； 长度：|a a|； 方向： (2)数乘向量的运算律： (a a)()a a(，R R)； ()a aa aa a(，R R)； (a ab b)a abb(R R) 【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“×”) (1)若a a0 则0.(×) (2)若a a、b b是非零向量，R R.那么a ab b00.() (3)0·0.(×)AB 知识点 2 向量共线的判定定理与性质定理 (1)判定定理 ：a a是一个非零向量，若存在一个实数，使得b ba a，则向量b b与非零向量a a 共线 (2)性质定理：若向量 b b 与非零向量a a共线，则存在一个实数，使得b ba a. 【预习评价】 1若a ab b，b bc c，那么一定有a ac c吗？ 提示 不一定，若b b0，此时必有a ab b，b bc c成立，但a a与c c不一定共线 2如果向量a a，b b共线，一定有b ba a(R R)吗？ 提示 不一定当a a0 0，b b0 时，不存在. 题型一 向量数乘的定义 【例 1】 已知a a、b b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由 (1)2a a的方向与a a的方向相同，且 2a a的模是a a的模的 2 倍； (2)2a a的方向与 3a a的方向相反，且2a a的模是 3模的 倍； 2 3 (3)2a a与 2a a是一对相反向量； (4)a ab b与(b ba a)是一对相反向量 解 (1)真命题2a aa aa a与a a方向相同， 且|2a|2a|a|aa|a|a|a|a|a|2|a|2|a|. (2)真命题2a a(a a)(a a)与a a同方向，3a3aa aa aa a与a a同方向，由于a a与a a 反方向，故2a2a与3a3a反方向， 又| |2a|2a|2|a|2|a|，|3a|3a|3|a|3|a|，所以2a2a的模是3a3a模的 倍 2 2 3 3 (3 3)真命题2a2a2a2a(2 22 2)a a0 0，故2a2a与2a2a是一对相反向量 (4 4)假命题(b ba a)与b ba a是一对相反向量，a ab b与b ba a是一对相反向量，(b ba a) 与a ab b是相等的 规律方法 对数乘向量的四点说明 (1)a a的实数叫作向量a a的系数 (2)向量数乘运算的几何意义是把a a沿着a a的方向或a a的反方向扩大或缩小 (3)当0 或a a0 时，a a0.注意是 0，而不是 0. (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量 【训练 1】 已知，R R，则在下列各命题中，正确的命题有( ) 0，a0a0时，a a与a a的方向一定相反； 0，a0a0时，a a与a a的方向一定相同； 0，a0a0时，a a与a a的方向一定相同； 0，a0a0时，a a与a a的方向一定相反 A1 个 B2 个 C3 个D4 个 解析 由与向量a a的积a a的方向规定， 易知正确， 对于命题， 当0 时， 同正或同负， a a与a a或者都与a a同向， 或者都与a a反向， a a与a a同向， 当0 时，则与异号，a a与a a中，一个与a a同向，一个与a a反向，a a与a a反向， 故也正确 答案 D 题型二 向量的线性运算 【例 2】 计算下列各式： (1)4 4(a ab b)3 3(a ab b)； (2 2)3 3(a a2b2bc c)(2a2ab b3c3c)； (3 3) (a ab b) (2a2a4b4b)(2a2a13b13b) 2 2 5 5 1 1 3 3 2 2 1 15 5 解 (1)4 4(a ab b)3 3(a ab b)4a4a3a3a4b4b3b3ba a7b.7b. (2 2)3 3(a a2b2bc c)(2a2ab b3c3c) 3a3a6b6b3c3c2a2ab b3c3c a a7b7b6c.6c. (3 3) (a ab b) (2a2a4b4b)(2a2a13b13b) 2 2 5 5 1 1 3 3 2 2 1 15 5 a ab ba ab ba ab b 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 1 15 5 2 26 6 1 15 5 a ab b ( 2 2 5 5 2 2 3 3 4 4 1 15 5)( 2 2 5 5 4 4 3 3 2 26 6 1 15 5) 0a a0b b00000 0. 规律方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算， 主要是 “合并同类项” “提取公因式” ， 但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数 【训练 2】 若a ab bc c，化简 3(a a2b b)2(3b bc c)2(a ab b)的结果为( ) Aa aB4b b Cc cDa ab b 解析 3(a a2b b)2(3b bc c)2(a ab b)(32)a a(662)b b2c ca a2(b bc c)a a2a a a a. 答案 A 方向 1 证明向量共线 【例 31】 已知两个非零向量a a与b b不共线， 如果a ab b，2a a8b b，2a a4b b，AB BC CD 求证：A、B、D三点共线 证明 因为BD BC CD (2a a8b b)(2a a4b b)4a a4b b 4(a ab b)4，AB 所以根据平行向量基本定理，与共线BD AB 又因为与有公共点B，所以A、B、D三点共线BD AB 方向 2 利用向量共线求参数值 【例32】 若a a、b b是两个不共线的非零向量， 且a a与b b起点相同， 则实数t为何值时，a a、tb b、 (a ab b)三向量的终点在同一直线上？ 1 3 解 由题设易知，存在唯一实数，使a atb b，化简，得a a a a 1 3a ab b( 2 31) b b. ( 3 t) a a与b b不共线， Error!解得Error! 故当t 时，三向量的终点共线 1 2 方向 3 共线向量在平面几何中的应用 【例 33】 如图所示，已知D，E分别是边AB，AC的中点 求证：DEBC，且|DE| |BC|. 1 2 证明 ，.DE AE AD BC AC AB D，E分别为边AB，AC的中点， ，AE 1 2AC AD 1 2AB ()，DE 1 2 AC AB 1 2BC DEBC，且|DE| |BC|. 1 2 规律方法 应用向量共线定理时的注意点 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系， 当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 (2)向量a a，b b共线是指存在不全为零的实数1，2， 使1a a2b b0 成立， 若1a a2b b 0，当且仅当120 时成立，则向量a a，b b不共线. 课堂达标 1下列各式中不表示向量的是( ) A0·a aBa a3b b C|3a a| D.e e(x，yR R，且xy) 1 xy 解析 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a a|不是向量 答案 C 2已知向量a a、b b，且a a2b b，5a a6b b，7a a2b b，则一定共线的三点是( )AB BC CD AB、C、DBA、B、C CA、B、DDA、C、D 解析 2a a4b b2，BD BC CD AB A、B、D三点共线 答案 C 3在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.AB AD AO 解析 四边形ABCD为平行四边形， 对角线AC与BD交于点O， 2， 2.AB AD AC AO 答案 2 4若2，则_.AC CB AB BC 解析 23，3.AB AC CB CB CB CB 答案 3 5如图所示，已知，用，表示.AP 4 3AB OA OB OP 解 ().OP OA AP OA 4 3AB OA 4 3 OB OA 1 3OA 4 3OB 课堂小结 1实数与向量a a可作数乘，但实数不能与向量a a进行加、减运算，如a a，a a 都是无意义的 还必须明确a a是一个向量，的符号与a a的方向相关， |的大小与a a 的模长有关 2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意， 向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别 ； 常用向量共线解决平面几何中的 “平行” 或 “点 共线”问题. 基础过关 1下列说法中正确的是( ) Aa a与a a的方向不是相同就是相反 B若a a，b b共线，则b ba a C若|b b|2|a a|，则b b±2a a D若b b±2a a，则|b b|2|a a| 解析 显然b b±2a a时，必有|b b|2|a a|. 答案 D 2已知m，n是实数，a a，b b是向量，则下列命题中正确的为( ) m(a ab b)ma amb b；(mn)a ama ana a；若ma amb b，则a ab b；若ma ana a，则mn. AB CD 解析 和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出a ab b， 错误；中，若a a0，则m，n没有关系，错误 答案 B 3设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于( )EB FC A. B. BC 1 2AD C. D.AD 1 2BC 解析 如图，EB FC EC CB FB BC ()EC FB 1 2 AC AB ·2. 1 2 AD AD 答案 C 4已知向量a ae e13e3e2，b be e1e e2，则a a与b b的关系是_ 1 1 2 2 3 3 2 2 解析 a a2b2b，abab. 答案 abab 5若 2 (c cb b3x x)b b0，其中a a、b b、c c为已知向量，则未知向量x x_. (x x 1 3a a) 1 2 解析 据向量的加法、减法整理、运算可得x xa ab bc c. 4 21 1 7 1 7 答案 a ab bc c 4 21 1 7 1 7 6.如图， 已知任意两个非零向量a a，b b， 作a ab b，a a2b b，a a3b b.试判断A、B、COA OB OC 三点之间的位置关系，并说明理由 解 分别作向量、 、 ，过点A、C作直线AC(如图)OA OB OC 观察发现，不论向量a a、b b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线 因为AB OB OA (a a2b b)(a ab b)b b， AC OC OA (a a3b b)(a ab b)2b b， 故有2.AC AB 因为，且有公共点A，AC AB 所以A、B、C三点共线 7已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点求证： ()EF 1 2 AB DC 证明 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图 E为AD的中点， .AE 1 2AD F是BC的中点， ()AF 1 2 AB AC 又，AC AD DC () ().AF 1 2 AB AD DC 1 2 AB DC 1 2AD ()EF AF AE 1 2 AB DC 1 2AD 1 2AD () 1 2 AB DC 能力提升 8已知向量a a与b b反向，且|a a|r，|b b|R，b ba a，则的值等于( ) A.B r R r R C D. R r R r 解析 b ba a，|b b|a a|.又a a与b b反向， . R r 答案 C 9在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于 点F，若a a，b b，则等于( )AC BD AF A.a ab b B.a ab b 1 4 1 2 1 3 2 3 C.a ab b D.a ab b 1 2 1 4 2 3 1 3 解析 DEFBEA， ， DF AB DE EB 1 3 DFAB，. 1 3 AF AD DF AD 1 3AB a a，b b，AC AB AD BD AD AB 联立得： (a ab b)， (a ab b)，AB 1 2 AD 1 2 (a ab b) (a ab b)a ab b.AF 1 2 1 6 2 3 1 3 答案 D 10 在ABC中， 已知D是AB边上一点， 若2， 则的值为_AD DB CD 1 3CA CB 解析 ().CD CA AD CA 2 3AB CA 2 3 CB CA 1 3CA 2 3CB 答案 2 3 11 设a a，b b不共线，2a apb b，a ab b，a a2b b， 若A，B，D三点共线， 则实数pAB BC CD _. 解析 a ab b，a a2b b，BC CD 2a ab b.BD BC CD 又A，B，D三点共线，共线AB BD 设，AB BD 2a apb b(2a ab b)， 22，p，1，p1. 答案 1 12.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD. 1 3 求证：M、N、C三点共线. 证明 设a a，b b，则由向量减法的三角形法则可知：a ab b.BA BC CM BM BC 1 2BA BC 1 2 又N在BD上且BD3BN， () (a ab b)，BN 1 3BD 1 3 BC CD 1 3 (a ab b)b bCN BN BC 1 3 a ab b， 1 3 2 3 2 3( 1 2a ab b) ，又与的公共点为C，CN 2 3CM CN CM C、M、N三点共线 13(选做题)过ABC的重心G任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若x，y，AD AB AE AC 且xy0，试求 的值 1 x 1 y 解 如图， 设a a，b b， 则 (a ab b) a aAB AC AG 2 3AM 2 3 1 2a ab b 1 3 GD AD AG (x 1 3) b b， 1 3 xa ayb b.ED AD AE 与共线，GD ED GD ED a ab bxa ayb b， (x 1 3) 1 3 Error!消去得 ， x1 3 1 3 x y 即 3. 1 x 1 y