2019届高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题二2第2讲三角恒等变换与解三角形学案.pdf

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 年份卷别考查内容及考题位置命题分析 卷利用正、余弦定理求边或角·T17 卷 利用余弦定理求边长·T6 三角恒等变 换·T15 2018 卷倍角公式·T4 三角形的面积公式·T9 卷 正、余弦定理、三角形的面积公式及两角 和的余弦公式·T17 卷 余弦定理、 三角恒等变换及三角形的面积 公式·T17 2017 卷余弦定理、三角形的面积公式·T17 卷正、余弦定理、两角和的正弦公式·T17 诱导公式、三角恒等变换、给值求值问 题·T9卷 正弦定理的应用、诱导公式·T13 2016 卷正、余弦定理解三角形·T8 1.高考对此部分的考查一 般以“二小”或“一大”的 命题形式出现 2若无解答题，一般在选 择题或填空题各有一题， 主 要考查三角恒等变换、 解三 角形，难度一般，一般出现 在第49题或第1315题 位置上 3若以解答题命题形式出 现， 主要考查三角函数与解 三角形的综合问题， 一般出 现在解答题第 17 题位置 上，难度中等. 三角恒等变换与求值(基础型) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(±)sin cos ±cos sin . (2)cos(±)cos cos sin sin . (3)tan(±). tan ± tan 1 tan tan 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (2)cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3)tan 2. 2tan 1tan2 三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45°等 (2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，( )等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化：一般是切化弦 考法全练 1已知，tan 2，则 cos_ (0， 2)( 4) 解析：因为，tan 2， (0， 2) 所以 sin ，cos ， 2 5 5 5 5 所以 coscos cossin sin ( 4) 4 4 ×. 2 2( 2 5 5 5 5) 3 10 10 答案： 3 10 10 2 已知 cos ， cos() ， 且， 则 cos() 1 3 1 3(0， 2) _ 解析：因为，所以 2(0，) (0， 2) 因为 cos ，所以 cos 22cos21 ， 1 3 7 9 所以 sin 2，1cos22 4 2 9 又， (0， 2) 所以(0，)， 所以 sin() ，1cos2（） 2 2 3 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() ××. ( 7 9) ( 1 3) 4 2 9 2 2 3 23 27 答案：23 27 3已知 sin ，且 sin()cos ，则 tan() 3 5( 2 0， 所以 sin B2sin Bcos C，所以 cos C . 1 2 因为C(0，)，所以C. 3 (2)由(1)及余弦定理得 cos C ， a2b2c2 2ab 1 2 又c2，所以a2b212ab，3 所以(ab)2123ab3， ( ab 2) 2 即(ab)248(当且仅当ab2时等号成立)3 所以ab4，abc6.33 所以ABC周长的最大值为 6.3 2(2018·武汉调研)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足 cos 2Acos 2B2cos·cos0. ( 6 B) ( 6 B) (1)求角A的值； (2)若b且ba，求a的取值范围3 解 ： (1)由 cos 2A cos 2B 2coscos 0， 得 2sin2B 2sin2A 2 ( 6 B) ( 6 B) 0，化简得 sin A，又ABC为锐角三角形，故A. ( 3 4cos 2B1 4sin 2B) 3 2 3 (2)因为ba，所以ca，所以C，B，所以 sin B.3 3 2 6 3 1 2 3 2 由正弦定理，得，所以a， a sin A b sin B a 3 2 3 sin B 3 2 sin B 由 sin B得a，3) ( 1 2， 3 2 3 A 组 夯基保分专练 一、选择题 1(2018·高考全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 解析：选 B.易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1 (2cos2x1) 1 cos 2x ， 3 2 3 2 3 2 5 2 则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ Z)时，f(x)取得最大值，最大值为 4. 2 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若c2a，bsin Basin Aasin 1 2 C，则 sin B为( ) A. B. 7 4 3 4 C. D. 7 3 1 3 解析：选 A.由bsin Basin Aasin C， 1 2 且c2a， 得ba，2 因为 cos B ， a2c2b2 2ac a24a22a2 4a2 3 4 所以 sin B .1(3 4) 2 7 4 3(2018·洛阳第一次统考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c 成等比数列，且a2c2acbc，则( ) c bsin B A. B. 3 2 2 3 3 C. D. 3 3 3 解析：选 B.由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得 cos A ， 故A， 对于b2ac， 由正弦定理得， sin2 Bsin Asin C·sin b2c2a2 2bc bc 2bc 1 2 3 3 2 C，由正弦定理得，.故选 B. c bsin B sin C sin2 B sin C 3 2 sin C 2 3 3 4(2018·昆明模拟)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上25 的高等于( ) A1 B. 2 C. D23 解析：选 A.法一：因为 tanBAC3，所以 sinBAC，cosBAC.由余 3 10 1 10 弦定理， 得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC522×××9， 所以BC52 ( 1 10) 3，所以SABCAB·ACsinBAC ××× ，所以BC边上的高h 1 2 1 2 25 3 10 3 2 2S ABC BC 1，故选 A. 2 × 3 2 3 法二：因为 tanBAC3，所以 cosBAC0，则BAC为钝角，因此BC边上 1 10 的高小于，故选 A.2 5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c ，则C( )2 A. B. 12 6 C. D. 4 3 解析 ： 选 B.因为 sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以 sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得 sin C(sin Acos A)0.因为 sin C0， 所以 sin Acos A0，所以 tan A1，因为A(0，)，所以A. 3 4 由正弦定理得 sin C ， c·sin A a 2 × 2 2 2 1 2 又 0C，所以C. 4 6 6.如图，在ABC中，C，BC4， 点D在边AC上，ADDB，DEAB， 3 E为垂足若DE2，则 cos A等于( )2 A. B. 2 2 3 2 4 C. D. 6 4 6 3 解析 ： 选 C.依题意得，BDAD， BDCABDA2A.在BCD中， DE sin A 2 2 sin A ，×， 即， 由此解得 cos BC sinBDC BD sin C 4 sin 2A 2 2 sin A 2 3 4 2 3sin A 4 2sin Acos A 4 2 3sin A A. 6 4 二、填空题 7若 sin ，则 cos_ ( 3 ) 1 4( 3 2) 解析：依题意得 cos( 3 2) cos( 3 2) cos2( 3 ) 2sin212×1 ( 3 ) ( 1 4) 2 . 7 8 答案：7 8 8 (2018·高考全国卷改编)在ABC中， cos ，BC1，AC5， 则AB_ C 2 5 5 解析：因为 cos C2cos2 12× 1 ，所以由余弦定理，得AB2AC2BC2 C 2 1 5 3 5 2AC·BCcos C2512×5×1×32，所以AB4. ( 3 5) 2 答案：4 2 9 (2018·惠州第一次调研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4， 6)， sin 2Asin C，则c的取值范围为_ 解析 ： 由，得，所以c8cos A，因为 16b2c2 4 sin A c sin C 4 sin A c sin 2A 2bccos A， 所 以 16b2 64cos2A 16bcos2A， 又b4， 所 以 cos2A 16b2 6416b ，所以c264cos2A64×164b.因为b(4，6)，所以 （4b）（4b） 16（4b） 4b 16 4b 16 32c240，所以 4c2.210 答案：(4，2)210 三、解答题 10 (2018·沈阳教学质量监测(一)在ABC中， 已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 且 2ccos B2ab. (1)求C； (2)若ab6，ABC的面积为 2，求c.3 解：(1)由正弦定理得 2sin Ccos B2sin Asin B， 又 sin Asin(BC)， 所以 2sin Ccos B2sin(BC)sin B， 所以 2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B， 所以 2sin Bcos Csin B0， 因为 sin B0，所以 cos C . 1 2 又C(0，)，所以C. 2 3 (2)因为SABCabsin C2， 1 2 3 所以ab8， 由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28， 所以c2.7 11(2018·石家庄质量检测(二)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 且tan Atan B. 3c acos B (1)求角A的大小； (2)设AD为BC边上的高，a，求AD的取值范围3 解：(1)在ABC中，因为tan Atan B，所以，即 3c acos B 3sin C sin Acos B sin A cos A sin B cos B ， 3sin C sin Acos B sin Acos Bsin Bcos A cos Acos B 所以，则 tan A，所以A. 3 sin A 1 cos A 3 3 (2)因为SABCAD·BCbcsin A， 1 2 1 2 所以ADbc. 1 2 由余弦定理得 cos A ， 1 2 b2c2a2 2bc 2bc3 2bc 所以 0bc3(当且仅当bc时等号成立)， 所以 0AD . 3 2 12 (2018·郑州质量检测(二)已知ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，且 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3. (1)求A； (2)若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积 19 2 解：(1)对于 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得， bsin Basin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2， 所以 cos A ，因为 0°A180°，所以A60°. b2c2a2 2bc 1 2 (2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线 在ABE中，ABE120°，AE2AD，19 在ABE中，由余弦定理得AE2AB2BE22AB·BEcos 120°， 即 199AC22×3×AC×，得AC2. ( 1 2) 故SABCbcsinBAC. 1 2 3 3 2 B 组 大题增分专练 1(2018·长春质量监测(二)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面 积Sb2sin A. (1)求 的值； c b (2)设内角A的平分线AD交于BC于D，AD，a，求b. 2 3 3 3 解：(1)由Sbcsin Ab2sin A，可知c2b，即 2. 1 2 c b (2)由角平分线定理可知，BD，CD， 2 3 3 3 3 在ABC中，cos B，在ABD中，cos B，即 4b23b2 2·2b · 3 4b24 3 4 3 2·2b· 2 3 3 4b23b2 2·2b · 3 ，解得b1. 4b24 3 4 3 2·2b· 2 3 3 2(2018·贵阳模拟)已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边 上的高hc. 2 3 (1)若ABC为锐角三角形，且 cos A ，求角C的正弦值； 3 5 (2)若C，M，求M的值 4 a2b21 3c 2 ab 解：(1)作CDAB，垂足为D， 因为ABC为锐角三角形，且 cos A ， 3 5 所以 sin A ，tan A ， 4 5 4 3 所以AD ，BDABAD ， c 2 c 2 所以BC，CD2BD2 ( 2 3c) 2 ( c 2) 2 5c 6 由正弦定理得：sinACB. ABsin A BC c× 4 5 5c 6 24 25 (2)因为SABCc×cabsinACBab， 1 2 2 3 1 2 2 4 所以c2ab， 3 2 4 又a2b2c22abcosACBab，2 所以a2b2abc2，2 所以a2b2c2abc2ab ×ab2ab， 1 3 2 4 3 2 4 3 3 2 4 2 所以M2. a2b21 3c 2 ab 2 2 ab ab 2 3(2018·合肥质量检测)已知ABC中，D为AC边上一点，BC2，DBC45°.2 (1)若CD2，求BCD的面积；5 (2)若角C为锐角，AB6，sin A，求CD的长2 10 10 解：(1)在BCD中，CD2BC2BD22BC·BD·cos 45°， 即 208BD24BD，解得BD6， 所以BCD的面积S ×2×6×sin 45°6. 1 2 2 (2)在ABC中，由得， BC sin A AB sin C 2 2 10 10 6 2 sin C 解得 sin C. 3 10 10 由角C为锐角得，cos C， 10 10 所以 sinBDCsin(C45°). 2 5 5 在BCD中，即， CD sinDBC BC sinBDC CD 2 2 2 2 2 5 5 解得CD.5 4(2018·高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos. (B 6) (1)求角B的大小； (2)设a2，c3，求b和 sin(2AB)的值 解 ： (1)在ABC中， 由正弦定理， 可得bsin Aasin B， 又由bsin Aacos a sin A b sin B ， 得asin Bacos ， 即 sin Bcos， 可得 tan B.又因为B(0， )， (B 6)(B 6)(B 6) 3 可得B. 3 (2)在ABC中， 由余弦定理及a2，c3，B， 有b2a2c22accos B7， 故 3 b.7 由bsin Aacos， (B 6) 可得 sin A. 3 7 因为ac，故 cos A. 2 7 因此 sin 2A2sin Acos A， 4 3 7 cos 2A2cos2A1 ， 1 7 所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B× ×. 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14