江苏专用2020版高考物理新增分大一轮复习第一章运动的描述匀变速直线运动第1讲运动的描述讲义含解析.pdf

运动的描述运动的描述 考试内容范围及要求高考统计高考命题解读 内容要求2015201620172018 1.质点 参 考系和坐标 系 2.位移、速度 和加速度 3.匀变速直 线运动 自 由落体运动 T5T5T9、T13 实验一：速度 随时间变化 的规律 T11 1.考查方式 匀变速直线运动规律是高中力学 知识的基础，本章内容在历年高 考中的选择题中有考查，在计算 题中也有考查选择题中主要是 两种运动学图象的理解和应用； 计算题中主要考查匀变速直线运 动规律的应用 2命题趋势 分析历年命题情况可以发现命题 有两大趋势：一是题型向着选择 题方向发展；二是图象物理意义 的理解和匀变速直线运动规律在 一个题中或结合动力学等规律进 行综合考查. 第 1 讲 运动的描述第 1 讲 运动的描述 一、质点和参考系 1质点 (1)用来代替物体的有质量的点叫做质点 (2)研究一个物体的运动时， 如果物体的形状和大小对所研究问题的影响可以忽略， 就可以看 做质点 (3)质点是一种理想化模型，实际并不存在 2参考系 (1)参考系：我们描述某个物体运动时，事先假定为静止的那个物体 (2)比较两物体的运动情况时，必须选同一参考系 (3)选取不同的物体做参考系，对同一物体运动的描述可能不同通常以地面为参考系 自测 1 以下情景中，人或物体可以看成质点的是( ) A研究一列火车通过长江大桥所需的时间 B乒乓球比赛中，运动员发出的旋转球 C研究航天员翟志刚在太空出舱挥动国旗的动作 D用 GPS 确定打击海盗的“武汉”舰在大海中的位置 答案 D 二、位移和路程 位移路程 定义 位移表示物体的位置变化，可用由初位置 指向末位置的有向线段表示 路程是物体实际运动轨迹的长度 区别位移是矢量，方向由初位置指向末位置路程是标量，没有方向 联系在单向直线运动中，位移的大小等于路程；其他情况下，位移的大小小于路程 三、速度与速率 1平均速度：在变速运动中，物体发生的位移与发生这段位移所用时间的比值，即v， x t 是矢量，其方向就是对应位移的方向 2瞬时速度：运动物体在某一时刻或经过某一位置的速度，是矢量方向：物体的运动方向 或运动轨迹的切线方向 3速率：瞬时速度的大小，是标量 4平均速率 ： 物体运动实际路程与发生这段路程所用时间的比值，不一定等于平均速度的大 小 自测 2 在伦敦奥运会上，牙买加选手博尔特在男子 100m 决赛(直跑道)和男子 200m 决赛 (弯曲跑道)中分别以 9.63s 和 19.32s 的成绩获得两枚金牌， 成为奥运会历史上连续两届获得 100 米和 200 米冠军的第一人 关于他在这两次决赛中的运动情况， 下列说法正确的是( ) A200m 决赛的位移是 100m 决赛的两倍 B200m 决赛的平均速度约为 10.35m/s C100m 决赛的平均速度约为 10.38m/s D100m 决赛的最大速度约为 20.76m/s 答案 C 解析 200m 比赛跑道是弯曲的，位移小于 200m,100m 比赛跑道是直线，位移大小为 100m，A 错；10.35m/s 是平均速率，B 错；10.38m/s 是平均速度，C 对；最大速度由 200m 19.32s 100m 9.63s 已知条件无法求出，D 错 四、加速度 1物理意义：描述物体速度变化快慢的物理量 2定义式：a. v t vv0 t 3决定因素：a不是由v、t、v来决定，而是由 来决定 F m 4方向：与 v的方向一致，由合外力的方向决定，而与v0、v的方向无关 自测 3 (多选)下列说法中的运动可能发生的是( ) A物体运动的加速度等于 0，而速度却不等于 0 B两物体相比，一个物体的速度变化量比较大，而加速度却比较小 C物体具有向东的加速度，而速度变化的方向却向西 D物体做直线运动，后一阶段的加速度比前一阶段小，但速度却比前一阶段大 答案 ABD 命题点一 质点 参考系命题点一 质点 参考系 1对质点的理解 (1)质点是用来代替物体的有质量的点，其突出的特点是“具有质量”和“占有位置” ，但没 有大小、形状、体积，与几何中的“点”有本质的区别 (2)质点是实际物体的一种高度抽象，实际中并不存在，是一种“理想化模型” (3)能否把一个物体看做质点， 关键是看物体的大小、 形状对所研究的问题的影响是否能忽略 不计，与物体大小无关，与物体形状无关，与物体的运动是平动还是转动无关 2对参考系的理解 (1)由于运动描述的相对性，凡是提到物体的运动，都应该明确它是相对哪个参考系而言的， 在没有特殊说明的情况下，一般选大地做参考系 (2)在同一个问题中， 若要研究多个物体的运动或同一个物体在不同阶段的运动， 则必须选取 同一个参考系 例 1 (2018·仪征中学学情检测)研究下列现象，涉及的物体可看做质点的是( ) A研究地球绕太阳运动的轨迹 B研究撬棒用力大小与支点位置关系 C研究旋转的乒乓球旋转方向 D研究旋转的电风扇扇叶所受阻力大小的影响因素 答案 A 例 2 (多选)中国诗词大会第二季于 2017 年春节期间在央视一套、十套播出，备受广 大观众喜欢，在中国大地掀起诗词热在这些脍炙人口的诗词中包含着许多物理知识，下列 说法正确的是( ) A宋代诗人陈与义的诗句“飞花两岸照船红，百里榆堤半日风卧看满天云不动，不知云与 我俱东”其中“云与我俱东”意思是说诗人和云都向东运动，诗人以两岸或两岸的红花、 榆树为参考系 B唐代诗人李白的诗句“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还” ，根据“千里江陵一日还”可 估算出诗人李白的平均速度 C辛弃疾描写月亮的诗句“飞镜无根谁系？姮娥不嫁谁留？”说明万有引力的存在 D毛泽东诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”说明地球在自转 答案 ACD 解析 宋代诗人陈与义的诗句“卧看满天云不动，不知云与我俱东”中“云与我俱东”意思 是说诗人和云都向东运动，根据诗的前两句我们可以推测出诗人是以两岸或两岸的红花、榆 树为参考系的，选项 A 正确 ； 由于李白诗中只给出了时间“一日”和路程“千里” ，而没有给 出白帝到江陵的位移，所以不能估算出诗人李白的平均速度，选项 B 错误；辛弃疾描写月亮 的诗句“飞镜无根谁系？姮娥不嫁谁留？”诗句中的“飞镜”指月亮，月亮绕地球运动，说 明万有引力的存在，选项 C 正确 ； 毛泽东诗句“坐地日行八万里，巡天遥看一千河” ，说明地 面上的人随地球自转运动，可以看到日月星辰，这说明地球在自转，选项 D 正确 命题点二 位移和路程命题点二 位移和路程 位移与路程的计算方法 (1)找出研究过程的初位置和末位置， 则由初位置指向末位置的有向线段就是位移 线段的长 度表示位移大小 (2)画出物体在运动过程中的运动轨迹示意图，则实际路径的总长度就是路程 (3)位移的矢量性是研究问题时应切记的性质 例 3 下列有关体育比赛的论述正确的是( ) A运动员跑完 800m 比赛，指的是路程为 800m B运动员铅球成绩为 4.50m，指的是铅球的位移大小为 4.50m C某场篮球比赛打了两个加时赛，共需 10min,10min 指的是时刻 D足球比赛挑边时，上抛的硬币落回地面猜测正反面，硬币可以看做质点 答案 A 解析 运动员跑完 800m 比赛，指的是路程为 800m，选项 A 正确；运动员铅球成绩为 4.50m， 指的是铅球的水平方向的位移大小为 4.50m，选项 B 错误；某场篮球比赛打了两个加时赛， 共需 10min,10min 指的是时间间隔，选项 C 错误；足球比赛挑边时，上抛的硬币落回地面猜 测正反面，该硬币不可以看做质点，选项 D 错误 命题点三 平均速度和瞬时速度命题点三 平均速度和瞬时速度 1区别与联系 (1)区别：平均速度是过程量，表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度；瞬时 速度是状态量，表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度 (2)联系：瞬时速度是运动时间 t0 时的平均速度 2平均速度与平均速率的区别 平均速度的大小不能称为平均速率，因为平均速率是路程与时间的比值，只有当路程与位移 的大小相等时，平均速率才等于平均速度的大小 3. 为平均速度定义式，适用于任何运动，应用公式时要找准“位移”和发生这段位移v x t 所需“时间” 例 4 (多选)(2018·盐城中学质检)如图 1 所示，某赛车手在一次野外训练中，先用地图计 算出出发地A和目的地B的直线距离为 9km，实际从A运动到B用时 5min，赛车上的里程表 指示的里程数增加了 15km.当他经过某路标C时， 车内速度计指示的示数为 150km/h， 那么可 以确定的是( ) 图 1 A整个过程中赛车的平均速度为 180km/h B整个过程中赛车的平均速度为 108km/h C赛车经过路标C时的瞬时速度大小为 150km/h D赛车经过路标C时速度方向为由A指向B 答案 BC 解析 从A到B位移为 9 km，用时 h，由平均速度定义式可得整个过程的平均速度为 108 1 12 km/h，故选项 A 错误，B 正确；速度计显示的是瞬时速度大小，故选项 C 正确；经过C时速 度的方向沿C点切线指向运动方向，故选项 D 错误 变式1 (2018·运河中学期中)2010年11月22日， 在2010年广州亚运会男子100米决赛中， 中国选手劳义以 10 秒 24 获得冠军，中国男飞人站在了亚洲之巅劳义之所以能够取得最佳 成绩，取决于他在 100 米中的( ) A某时刻的瞬时速度大 B撞线时的瞬时速度大 C平均速度大 D起跑时的加速度大 答案 C 拓展点 用平均速度法求解瞬时速度 极限思想的应用 1用极限法求瞬时速度和瞬时加速度 (1)公式v中，当 t0 时v是瞬时速度 x t (2)公式a中，当 t0 时a是瞬时加速度 v t 2注意 (1)用v求瞬时速度时，求出的是粗略值，t(x)越小，求出的结果越接近真实值 x t (2)对于匀变速直线运动， 一段时间内的平均速度可以精确地表示物体在这一段时间中间时刻 的瞬时速度 例 5 (2019·海安中学期初)为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为d 3.0cm 的遮光板，如图 2 所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数 字计时器记录了遮光板通过第一个光电门的时间为 t10.30s，通过第二个光电门的时间 为 t20.10s，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为 t 3.0s，则滑块的加速度约为( ) 图 2 A0.067m/s2B0.67 m/s2 C6.7m/s2D不能计算出 答案 A 解析 遮光板通过第一个光电门时的速度v1m/s0.10 m/s， 遮光板通过第二个 d t1 0.03 0.30 光电门时的速度v2m/s0.30 m/s，故滑块的加速度a0.067m/s2，选 d t2 0.03 0.10 v2v1 t 项 A 正确 命题点四 加速度命题点四 加速度 1速度、速度变化量与加速度的理解 比较项目速度速度变化量加速度 物理意义 描述物体运动快慢和 方向的物理量 描述物体速度改变的物理量 描述物体速度变化快 慢的物理量 定义式vx t vvv0a v t vv0 t 决定因素 v的大小由v0、a、tv由v与v0进行矢量运算，a不是由v、t、v来 决定由 vat知 v由a与 t决定 决定的，而是由 来决 F m 定 方向平均速度与位移同向由vv0或a的方向决定 与 v的方向一致， 由 F的方向决定， 而与v0、 v的方向无关 2.对加速度大小和方向的进一步理解 例 6 (2018·高邮市期初)如图 3 所示，小球以v14m/s 的速度水平向右运动，碰到墙壁 经 t0.01 s 后以v23 m/s 的速度沿同一直线反弹小球在这 0.01s 内的平均加速度为 ( ) 图 3 A100m/s2，方向向右B100 m/s2，方向向左 C700m/s2，方向向左D700 m/s2，方向向右 答案 C 解析 令水平向右运动方向为正方向，则加速度a m/s2700 m/s2，负号 v2v1 t 34 0.01 表示加速度的方向水平向左 变式2 (多选)一物体做匀变速直线运动， 某时刻速度大小为4m/s,1 s后速度的大小变为 10 m/s，在这 1s 内该物体可能的运动情况为( ) A加速度的大小为 6m/s2，方向与初速度的方向相同 B加速度的大小为 6m/s2，方向与初速度的方向相反 C加速度的大小为 14m/s2，方向与初速度的方向相同 D加速度的大小为 14m/s2，方向与初速度的方向相反 答案 AD 解析 若初、末速度方向相同时，加速度am/s26 m/s2，方向与初速度的方 vv0 t 104 1 向相同， A 正确， B 错误 ； 若初、 末速度方向相反时， 加速度am/s214 vv0 t 104 1 m/s2，方向与初速度的方向相反，C 错误，D 正确 1从波兰中部城市罗兹往返四川成都的直达火车线路“蓉欧快铁”开通于 2013 年，全长 9826 千米， 行车时间约 13 天， 比历时 40 至 50 天的海路运输快许多， 它是中国雄心勃勃的 “一 带一路”计划的一部分关于“蓉欧快铁” ，下列说法中正确的是( ) A研究“蓉欧快铁”线路上的班列行程时，可以将班列看成质点 B分析班列通过某山口的时间时，可以将班列看成质点 C班列长度太大，任何时候都不能看成质点 D只要班列处于运动状态，就可以看成质点 答案 A 2.如图 4 所示是体育摄影中“追拍法”的成功之作，摄影师眼中的滑板运动员是清晰的，而 背景是模糊的，摄影师用自己的方式表达了运动之美请问摄影师选择的参考系是( ) 图 4 A大地B太阳 C滑板运动员D步行的人 答案 C 解析 照相机有曝光时间， 只有相机的速度与运动员的速度相同， 运动员才是清晰的， C 正确 3(2018·宿迁市模拟)如图 5 所示，物体沿曲线轨迹的箭头方向运动，直线AB、曲线ABC、 曲线ABCD、曲线ABCDE四段轨迹运动所用的时间分别是 1s、2s、3s、4s，则下列说法错误的 是( ) 图 5 A物体在AB段的平均速度为 1m/s B物体在ABC段的平均速度为m/s 5 2 CAB段的平均速度比ABC段的平均速度更能反映物体处于A点时的瞬时速度 D物体在B点的速度等于AC段的平均速度 答案 D 解析 由 可得 AB m/s1 m/s，AC m/s，A、B 正确；所选取的过程离A点越近，v x t v 1 1 v 5 2 其阶段的平均速度越接近A点的瞬时速度，C 正确；由A经B到C的过程不是匀变速直线运 动过程，故B点虽为中间时刻，但其速度不等于AC段的平均速度，D 错误 4(多选)(2018·徐州市第三中学月考)关于速度、速度的变化和加速度的关系，下列说法中 正确的是( ) A速度变化的方向为正，加速度的方向也为正 B物体加速度增大，速度一定越来越大 C速度越来越大，加速度一定越来越大 D加速度可能既不与速度同向，也不与速度反向 答案 AD 解析 加速度方向与速度变化量的方向相同， 速度变化方向为正， 加速度方向为正， 故 A 正确 ； 当加速度方向与速度方向相反， 加速度越来越大， 但速度越来越小， 故 B 错误 ； 速度越来越大， 说明物体的速度方向与加速度方向相同，但加速度可能在减小，故 C 错误；加速度是由合外 力决定的，它可以不与速度在同一直线上，这种情况下，物体做曲线运动，故 D 正确 5甲、乙两个物体在同一直线上沿正方向运动，a甲4m/s2，a乙4 m/s2，那么对甲、乙 两物体判断正确的是( ) A甲的加速度大于乙的加速度 B甲做加速直线运动，乙做减速直线运动 C甲的速度变化比乙的速度变化快 D甲、乙在相等时间内速度变化可能相同 答案 B 6汽车沿直线从甲地开往乙地 (1)若在前一半路程的平均速度为v1，后一半路程的平均速度为v2，则汽车全程的平均速度 为多少？ (2)若汽车在全程所用时间的前一半时间的平均速度为v1，后一半时间的平均速度为v2，则 全程的平均速度为多少？ (3)若v1v2，两种情况下的平均速度哪个大？ 答案 (1) (2) (3)第二种情况平均速度较大 2v1v2 v1v2 v1v2 2 解析 (1)设总路程为 2s，则 1 v 2s s v1 s v2 2v1v2 v1v2 (2)设全程所用时间为 2t，则 2 v v1tv2t 2t v1v2 2 (3) 21 vv v1v2 2 2v1v2 v1v2 v 1v224v1v2 2 v1v2 v 1v22 2 v1v2 v1v2，则 210， vv 即第二种情况下的平均速度大 1下列选项的四个图中，各运动物体不能看做质点的是( ) 答案 D 解析 研究投出的篮球运动路径， 篮球的大小相对运动路线的长度很小， 影响可以忽略不计， 篮球可以看成质点，故 A 错误；书本在桌面上移动时，书本上各点的运动情况相同，其形状 对研究时间没有影响，可以把书本看成质点，故 B 错误；研究地球绕太阳公转时，地球的大 小和形状相对于地球到太阳的距离而言，影响可忽略不计，可以把地球看成质点，故 C 错误 ； 研究子弹头横穿过扑克牌的过程，子弹头的长度相对扑克牌的宽度不能忽略，不能把子弹头 看做质点，故 D 正确 2中国选手孙杨曾在第 31 届奥林匹克运动会上以 1 分 44 秒的成绩获得男子 200m 自由泳比 赛冠军(国际标准游泳池长 50m)下列说法正确的是( ) A“1 分 44 秒”指的是时间间隔 B孙杨 200m 自由泳的平均速度为 1.92m/s C在研究孙杨技术动作时，可以把孙杨看成质点 D在游泳过程中，以游泳池里的水为参考系，孙杨是静止的 答案 A 解析 “1 分 44 秒”是孙杨游泳全程的时间，指的是时间间隔，选项 A 正确；孙杨 200 m 自 由泳的位移为零，故平均速度为零，选项 B 错误；在研究孙杨的技术动作时，不能把孙杨看 成质点，否则将无动作可言，选项 C 错误；以游泳池里的水为参考系，孙杨相对水的位置在 发生变化，故孙杨是运动的，选项 D 错误 3下列说法中正确的是( ) A高速公路路牌上显示“南京 100km” ，表示该处到南京的位移大小为 100km B博尔特比别的运动员起跑快，是因为他的加速度比别的运动员大 C磁悬浮列车运动得很快，我们说它的加速度很大 D马拉松运动员完成赛程，又跑回原来出发的地点，我们说他的位移很大 答案 B 4 (2018·伍佑中学调研)在田径运动会的 200 米比赛中， 第 1 跑道和第 8 跑道的运动员同时 到达终点下列说法错误的是( ) A两个运动员的平均速度相等 B两个运动员的平均速率相等 C研究运动员全程的平均速率时，可以把运动员看做质点 D研究运动员是否同时到达终点时，不能把运动员看做质点 答案 A 5.如图 1 所示是一张天文爱好者经长时间曝光拍摄的“星星的轨迹”照片这些有规律的弧 线的形成，说明了( ) 图 1 A太阳在运动B月球在公转 C地球在公转D地球在自转 答案 D 6.(多选)(2018·淮安市、 宿迁市学业质量检测)一质点沿一边长为 2m 的正方形轨道运动， 每 秒钟匀速移动 1m，初始位置在bc边的中点A，由A向c运动，如图 2 所示，A、B、C、D分 别是bc、cd、da、ab边的中点，则下列说法正确的是( ) 图 2 A第 2s 末的瞬时速度是 1m/s B前 2s 内的平均速度为m/s 2 2 C前 4s 内的平均速度为 0.5m/s D前 2s 内的平均速度为 2m/s 答案 ABC 7(2018·铜山中学模拟)关于质点的运动，下列说法中正确的是( ) A质点运动的加速度为零，则速度为零，速度变化也为零 B质点速度变化率越大，则加速度越大 C质点某时刻的加速度不为零，则该时刻的速度也不为零 D质点运动的加速度变大，则速度一定变大 答案 B 解析 加速度为零，速度变化也为零，但速度不一定为零，加速度不为零，速度可能为零， 故 A、C 错误；质点速度变化率越大，则加速度越大，B 正确；当速度与加速度反向时，加速 度增大，速度会减小，并且减小得越来越快，D 错误 8 (2019·江都中学月考)同一张底片对着小球单向运动的路径每隔s 拍一次照， 得到的照 1 10 片如图 3 所示，则小球在图示过程中的平均速度的大小约为( ) 图 3 A0.25m/s B0.2 m/s C0.17m/sD无法确定 答案 C 解析 题图所示过程中x6cm1cm5cm0.05m，t3×s0.3s，故 1 10 v x t 0.17m/s，选项 C 正确 9.如图4所示， 汽车向右沿直线运动， 原来的速度是v1， 经过一小段时间之后， 速度变为v2， v 表示速度的变化量结合图中所示信息可知( ) 图 4 A汽车在做加速直线运动 B汽车的加速度方向与v1的方向相同 C汽车的加速度方向与v1的方向相反 D汽车的加速度方向与 v的方向相反 答案 C 解析 根据题图，汽车的速度变小，做的是减速直线运动，选项 A 错误；汽车的加速度方向 与 v的方向相同，所以与v1、v2的方向都相反，选项 B、D 错误，选项 C 正确 10.如图 5 所示为高速摄像机拍摄的子弹头射过扑克牌的照片， 已知子弹头经过扑克牌的时间 大约为 6.25×105s，试估算子弹头经过扑克牌的平均速度约为( ) 图 5 A8m/s B80 m/s C800m/s D8 000 m/s 答案 C 解析 由于扑克牌宽度约5 cm，子弹头长度约1.5 cm，子弹头穿过扑克牌所运动的位移为x5 cm1.5 cm6.5 cm，所以子弹头经过扑克牌的平均速度为 m/sv x t 6.5 × 102 6.25 × 105 1.04×103 m/s，故选项 C 正确 11(多选)如图 6 所示，物体以 5m/s 的初速度沿光滑的固定斜面向上做匀减速运动，经过 2 s 速度大小变为 3 m/s，则物体的加速度( ) 图 6 A大小为 1m/s2，方向沿斜面向上 B大小为 1m/s2，方向沿斜面向下 C大小为 4m/s2，方向沿斜面向下 D大小为 4m/s2，方向沿斜面向上 答案 BC 解析 取初速度方向为正方向， 则v05 m/s.若 2 s 后的速度方向沿斜面向上，v3 m/s， 则a m/s21 m/s2， 即加速度大小为 1 m/s2， 方向沿斜面向下， 选项 A 错误， B v t vv0 t 35 2 正确 ； 若 2 s 后的速度方向沿斜面向下，v3 m/s，则a m/s24 v t vv0 t 35 2 m/s2，即加速度大小为 4 m/s2，方向沿斜面向下，故选项 C 正确，D 错误 12(2019·涟水中学模拟)有些国家的交通管理部门为了交通安全，特别制定了死亡加速度 为 500g(g取 10m/s2)，以醒世人，意思是如果行车加速度超过此值，将有生命危险，那么大 的加速度，一般情况下车辆是达不到的，但如果发生交通事故时，将会达到这一数值试问 ： (1)一辆以 72km/h 的速度行驶的货车与一辆以 54 km/h 的速度行驶的摩托车相向而行发生碰 撞，摩托车驾驶员被以与碰撞前货车相同的速度撞飞，碰撞时间为 2.1×103s，摩托车驾驶 员是否有生命危险？ (2)为了防止碰撞，两车的驾驶员同时紧急刹车，货车、摩托车急刹车后到完全静止所需时间 分别为 4s、3s，货车的加速度与摩托车的加速度大小之比为多少？ 答案 见解析 解析 (1)两车碰撞过程中，取摩托车的初速度方向为正方向，摩托车的速度变化量为 vv2v172km/h54 km/h 20m/s15 m/s35m/s 两车相碰撞时摩托车的加速度为 a16667m/s21666.7g v t 35m/s 2.1 × 103s 1666.7g500g，因此摩托车驾驶员有生命危险 (2)设货车、摩托车的加速度大小分别为a1、a2，根据加速度定义得a1，a2 |v1| t1 |v2| t2 所以a1a211. |v1| t1 |v2| t2 20 4 15 3