1、第4课时二次函数与特殊四边形的综合此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,尤其求平行四边形及特殊平行四 边形存在类问题用平移法解坐标较简单.如图,点A到B的平移方式与点D到C的平移方式相同,若A (1,2) ,B (0,0) ,D (x,y),则可设C (-l,y-2).其他特殊的平行四边形结合其判定方法用边相 等、角为直角等特殊性质来突破.中考重难点突破例 如图,抛物线y = ax2+6x+c交X轴于A9B两点,交y轴于点C.直线y = -5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式(2)过点A的直线交直线BC于点M.当AMBC时,过抛物线上一动点P (不与点B,C重 合)，作直线
2、AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P 的横坐标.【解答】解：(1)当x = 0时,y=5,则C (0,-5).当 y = 0 时,x-5 = 0,解得 x = 5,则 B (5,0).把 B (5,0) ,C (0,-5)代入 y = a2 + 6x + c,得a= -1解得 cC= -525a + 30 + c = 0，C = 5，抛物线的解析式为y=-2 + 6-5;(2)令一2 + 6x-5 = 0,贝UXl = I,X2 = 5,.A (1,0).VB (5,0) ,C (0,-5)OCB为等腰直角三角形，ZOBC= ZOCB =45 .
3、VAMBC,AMB为等腰直角三角形，.AM =坐AB =4 = 2y2.以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，AM Il PQ,PQ = AM = 2i, PQXBC.过P作PD,X轴交直线BC于D,则NPDQ = 45 , PD=2PQ = 2 22 = 4.设 P (m, -m2 + 6m-5),则 D (m,m-5).当点 P 在直线 BC 上方时,PD= -n? +6m-5 - (m-5) =-n?+ 5m = 4,解得 mi = 1 (舍 去)，12 = 4;_5 +41当点 P在直线 BC下方时,PD = m 5 ( -m2 + 6m-5) =m2-5m = 4, m3=,
4、m =5-西2,综上所述,点P的横坐标为4 ,电画或匕国.(2019济宇中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c (a0)经过点A (3,0) ,B (-1,0) ,C (0, 3).(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标；(3)若点Q在X轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在,求点P的坐标；若不存在,请说明理由.解：(1)由题意可得f9a + 3b + c = 0 ?1a=la-b + c = O，解得 b = -2，Ic = 3 ,、c = - 3，则该抛物线解析式为y = x2-2x-3;(2
5、)设直线BC解析式为y = kx-3,由 B (-1,0)可得一k-3 = 0,即 k= -3,二直线BC解析式为y = - 3x-3.MN过点A作AM，BC于M,过点M作MNLX轴于N,设M (t,-3t-3) ,N (t,0),可得可N =ANn 3-t3MN = an BC = 3,即3t + = 3,；t = - 5,则 M(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况考虑：设 Q (x,0) ,P (m,m2-2m-3).由 B (-1,0) ,C (0,-3),得点 P 的纵坐标为 3,即 n?-2m-3 = 3,解得 m=l,此时 P (1 + 7,3)或 P
6、 (l-7,3);当点P在X轴下方时,四边形BCPQ为平行四边形或四边形是以BC为对角线的平行四边形,由 B (-1,0) ,C (0,-3)得点 P 的纵坐标为3,即 n? 2m 3=-3,解得 m = 0 (舍去)或 m = 2, 此时 P (2,-3).综上所述,点P的坐标为(1+S,3)或(1-巾,3)或(2,-3).百色中考专题过关1 .如图,已知抛物线Li： y=-2+4经过点A ( l,a)和点B,与X轴正半轴交于点C,且点B与 点A关于y轴对称.(1)求点B,C的坐标；(2)平移抛物线LI得到抛物线L2,且L2经过点C,那么在抛物线L2的对称轴上是否存在一点P, 使得以A,B,
7、C,P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在,写出平移过程；若不存在,请说 明理由.解：(1) .抛物线Li: y=2 + 4过点A (-l,a),a= -1+4 = 3,A (-1,3).点A与点B关于y轴对称， 点B的坐标为(1,3).令 y = o,得到-2 + 4 = 0,解得 x = 2. 点C在X轴的正半轴上， 点C的坐标为(2,0);(2)存在.设抛物线Ll的顶点为D,则点D坐标为(0,4). 四边形是以AB为边的平行四边形， AB = 2,CP = 2, 点P的坐标为(0,0)或(4,0).设抛物线L2的解析式为y= -x2 + bx + c. 点C在抛物线L2上，.*
8、 4 + 2b + c = 0,c = 4 - 2b,抛物线L2的解析式为y= -x2 + bx + 4-2b.当P (0,0)时,抛物线的对称轴为直线x = 0,b = 0,抛物线L2的解析式为y=-2 + 4,与抛 物线Ll重合，不存在坐标为(0,0)的点P；当P (4,0)时,抛物线的对称轴为直线X = 4,.b = 8,二抛物线 L2的解析式为 y=-2 + 8x- 12= - (x-4) 2 + 4,令抛物线L2的顶点为D，,则D，(4,4),此时将抛物线Li向右平移4个单位得到抛物线L2.2. (2019郴州中考)如图1,已知抛物线y=2+bx+c与X轴交于A (T,0) ,B (
9、3,0)两点, 与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为1,1与X轴的交点为D.在直线1上是否存在点M,使得四边形CDPM是 平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.(3)如图2,连接BC,PB,PC,设APBC的面积为S.求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.1 b + c = 0 , Ib = 2，解：由题意,得 c -, n解得 Q一 9 + 3b + c = 0，c = 3，抛物线的表达式为y = - X2 + 2x + 3 ;(2)图1中,连接P
10、C,交抛物线对称轴1于点E. 抛物线与X轴交于A (-1,0) ,B (3,0)两点， 抛物线的对称轴为直线X= L当t = 2时,点C,P关于直线1对称,此时存在点M ,使得四边形CDPM是平行四边形，贝U CE = EP,ME = ED. 抛物线的表达式为y = 2 + 2x + 3,C (0,3) ,P (2,3) ,M (1,6);当t2时,不存在,理由如下：若四边形CDPM是平行四边形,则CE = PE.T点C的横坐标为0,点E的横坐标为1, 点P的横坐标t=lX2-0 = 2.又t2,不存在;(3)图2中,过点P作PF丫轴,交BC于点F.设直线BC的解析式为y = mx + n (
11、m0).将 B (3,0) ,C (0,3)代入 y = mx + n,得3m + n = 0 , Im= 1，V q 解得n = 3，In = 3，直线BC的解析式为y=-X+ 3.VP (t, -t2 + 2t + 3) , F (t, -t + 3),PF= -t2 + 2t + 3- (-t + 3) = -t2r + 3t,1 39.S=1PFOB= -t2+t;C 3( 3Y 273 c(2)vs=-t-2J +y5-20)与抛物线F相交于点A (x,y)和点B (x2,y2)(点A在第二象限)，求y2y的值(用含m的式子表示)；4一一(3)在(2)中,若m=予设点A，是点A关于原
12、点。的对称点,如图2所本.判断AAAB的形状,并说明理由；平面内是否存在点P,使得以点A,B,A, ,P为顶点的四边形是菱形？若存在,求出点P的坐标； 若不存在,请说明理由.解：(1) Y抛物线y = 2 + b + c经过点(0,0)和_1,0 ,I 3).c = - = ,即 b = ,抛物线F的解析式为y = 2 + U;(2)将 y = x + m代入 y = 2+,得 2 = ,解得 XI= - m,X2= m,V点A，是点A关于原点O的对称点,YmJAAA B为等边三角形,理由如下： 888.AA =g,AB=g,A B=y, AA, =AB = ABAA, B为等边三角形；由于 Alqi,j,B*i,J,A，（子,一|/ （）综上所述,点P的坐标为2小，去,10 I3 八-33；),则( 或 1JI, 9.L 3 2J.ZAAB为等边三角形，存在符合题意的点P,且以点A,B,A, ,P为顶点的菱形,分三种 情况（如图）：
