2019数学新设计北师大选修2-3课件：第二章 概率 习题课2 .ppt
习题课离散型随机变量的均值与方差的应用,一,二,一、常用分布的均值与方差 1.二项分布的均值与方差 在n次独立重复试验中,若XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p). 2.超几何分布的均值 若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则,一,二,二、均值与方差的性质 若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=aEX+b,D(aX+b)=a2DX. 【做一做1】 有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分数,则DY= .,一,二,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】已知的分布列为,(1)求方差; (2)设Y=2-E,求DY. 分析(1)利用方差公式求解,首先求出均值E,然后利用D的定义求方差;(2)因为E是一个常数,所以DY=D(2-E)=22D.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)Y=2-E, DY=D(2-E)=22D=4×384=1 536. 反思感悟 对于aX+b型的随机变量的均值,可以利用E(aX+b)=aEX+b求解,也可以先求出aX+b的分布列,再用定义求解,对于方差也是如此.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 与二项分布有关的均值、方差的求法 (1)求随机变量的均值与方差时,可首先分析是否服从二项分布,如果B(n,p),那么用公式E=np,D=np(1-p)求解,可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE+b以及E=np求出E(a+b),同样还可求出D(a+b).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是 (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率. (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率. (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,第三种方案:李师傅的妻子认为:投资股市、基金均有风险,应该将10万元全部存入银行一年,现在存款年利率为4%,存款利息税率为5%. 针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由. 分析在解决此类决策问题时,一般先分析题意,明确题目要求的是均值还是方差,在此基础上,将题中的数量指标用随机变量表示,把实际问题转化为随机变量的均值与方差求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策,其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量的平均水平,而方差则描述随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、预报的准确与否、机器性能的好坏等很多指标都与这两个特征量有关.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量X1,X2的均值,当EX1=EX2时,不应误认为它们一样好,需要用DX1,DX2来比较这两个随机变量的偏离程度,稳定者就更好. (2)若我们希望比较稳定,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近. (3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求,一般先计算均值,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若EX1与EX2比较接近,且均值较大者(此时均值表示较好的方面,如利润、产量)的方差较小,显然该变量更好;若EX1与EX2比较接近且方差相差不大,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择稳定性较好的.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因混淆二项分布而致误 【典例】 甲、乙两支排球队进行比赛,采用七局四胜制,即两队中有一队胜利四场时,整个比赛结束,若甲、乙两个队获胜的概率相等,记比赛的场数为X,求X的均值. 易错分析对于题目而言,对其题意的理解至关重要,如果单纯的向一些固定模型上去靠,就会容易出错.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得 把问题看成一个二项分布问题是不正确的,由于无论甲还是乙,只要有一个队胜利四场,比赛即结束,故知比赛的场数可能为4,5,6,7,而在二项分布 中X的取值为0,1,2,3,4,5,6,7共8个值,因而不是一个二项分布问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表: 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求: (1)工程延误天数Y的均值与方差; (2)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)由条件和概率的加法有:P(X300)=0.3, P(300X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4, P(700X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2, P(X900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1. 所以Y的分布列为,于是,EY=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3, DY=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2.已知随机变量X+=8,若XB(10,0.6),则E,D分别是( ) A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6 解析若两个随机变量,X满足一次关系式=aX+b(a,b为常数),当已知EX,DX时,则有E=aEX+b,D=a2DX.由已知随机变量X+=8,所以有=8-X. 因此,求得E=8-EX=8-10×0.6=2, D=(-1)2DX=10×0.6×0.4=2.4. 答案B,1,2,3,4,5,3.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 解析记不发芽的种子数为,则B(1 000,0.1), 所以E=1 000×0.1=100. 又X=2,所以EX=E(2)=2E=200. 答案B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
