2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第九章 平面解析几何 9.9 .pptx

§9.9 曲线与方程,大一轮复习讲义,第九章 平面解析几何,KAOQINGKAOXIANGFENXI,考情考向分析,以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在填空题中出现.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：,ZHISHISHULI,这个方程的解,方程的曲线,那么，这个方程叫做 ，这条曲线叫做 .,曲线的方程,曲线上的点,2.求动点的轨迹方程的基本步骤,任意,x,y,所求方程,3.几种常见的求轨迹方程的方法 (1)直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这个等式，化简得曲线的方程，这种方法叫做直接法. (2)定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或能利用平面几何知识分析得出这些条件.,(3)相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0，y0可用x，y表示，则将点Q的坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程，这种方法称为相关点法(或代换法).,1. f (x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件吗？ 提示 是.如果曲线C的方程是f(x，y)0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)0，以f (x，y)0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？ 提示 曲线的交点与方程组的关系 (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.,【概念方法微思考】,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”) (1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线.( ) (2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.( ),基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析,×,×,×,×,1,2,3,4,5,6,(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( ),(3)ykx与x y表示同一直线.( ),7,1,2,3,4,5,6,解析 由已知MFMB， 根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.,y2x,7,3.P64T9设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心的轨迹方程为_.,x28y8,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,解析 设P(x0，y0)，M(x，y)，,x24y21,得x24y21.,7,一条直线和一条射线,1,2,3,4,5,6,即2x3y10(x3)或x4， 故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.,题组三 易错自纠,7,6.到定点(0,7)和到定直线y7的距离相等的点的轨迹方程是_.,1,2,3,4,5,6,x228y,7,7.已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是_.,1,2,3,4,5,6,x2y24(x±2),解析 连结OP，则OP2，P点的轨迹是去掉M，N两点的圆， 方程为x2y24(x±2).,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 定义法求轨迹方程,例1 已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.,解 由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11； 圆N的圆心为N(1,0)，半径r23. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以PMPN(Rr1)(r2R)r1r242MN. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，,师生共研,定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程. (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.,解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系， E，F分别为两个切点. 则BEBD，CDCF，AEAF.,所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，,例2 已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；,题型二 直接法求轨迹方程,师生共研,设l1：ya，l2：yb，则ab0，,记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. 由于F在线段AB上，故1ab0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，,所以ARFQ.,(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.,解 设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1 ， 0)，,所以x11或x10(舍去). 设满足条件的AB的中点为E(x，y).,当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2x1. 所以所求轨迹方程为y2x1.,直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.,解 设F1(c,0)，F2(c,0)(c0). 由题意，可得PF2F1F2，,(1)求椭圆的离心率e；,消去y并整理，得5x28cx0.,题型三 相关点法求轨迹方程,师生共研,例3 如图所示，抛物线E：y22px(p0)与圆O：x2y28相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M. (1)求p的值；,解 由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)， 代入y22px，解得p1.,(2)求动点M的轨迹方程.,解 由(1)知抛物线E：y22x.,易知CD的方程为x0xy0y8，,“相关点法”的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；,(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.,设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，,题型四 参数法求轨迹方程,师生共研,(1)求证：OAOB；,可知点C的轨迹是直线MN，,x1x212，x1x216，,2x1x24(x1x2)162×164×12160， OAOB.,(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)(m0)，使得过点P任意作一条抛物线y24x的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.,解 假设存在这样的点P，由已知弦所在直线斜率不为0， 故设弦所在直线为xkym，代入y24x，得y24ky4m0， 设弦端点D(x3，y3)，E(x4，y4)，,y3y44k，y3y44m，,存在点P(4,0)满足条件，,设弦DE的中点为M(x，y)，,由消去k得y22x8， 这就是所求圆心的轨迹方程.,利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等.,跟踪训练4 设椭圆中心为原点O，一个焦点为F(0,1)，长轴和短轴的长度之比为t. (1)求椭圆的方程；,所以椭圆方程为t2(t21)x2(t21)y2t2.,解 设点P(x，y)，Q(x1，y1)，,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(x1)2y22,1.设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且PA1，则点P的轨迹方程是_.,解析 如图，设P(x，y)， 圆心为M(1,0)，连结MA，PM， 则MAPA，且MA1， 又PA1，,即PM22，(x1)2y22.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4x24y24x8y10,解析 设P点的坐标为(x，y)，,所以(2x1)2(2y2)24，整理得4x24y24x8y10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x2y50,又121，化简得x2y50.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.,由题意得，点Q(x，y)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是_.,解析 由两点间距离公式，可得AC13，BC15，AB14， 因为A，B都在椭圆上，所以AFACBFBC，AFBFBCAC214， 故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,6.已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_.,解析 设P(x，y)，由PA2PB，,3x23y212x0，即x2y24x0. P的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆. 即轨迹所包围的图形的面积等于4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,xy1(x0且x1),消去a，得xy1. 因为a0且a2，所以x0且x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_.,解析 设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1， 垂足分别为A1，B1，O1， 则AA1BB12OO14， 由抛物线定义得AA1BB1FAFB，所以FAFB42， 故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,椭圆,9.如图，斜线段AB与平面所成的角为60°，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30°，则点P的轨迹是_.,解析 可构造如图所示的圆锥. 母线与中轴线夹角为30°，然后用平面去截， 使直线AB与平面的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形， 由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如图，抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2,1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上. (1)求抛物线的方程；,解 由已知可设抛物线的方程为x22py(p0). 因为点P(2,1)在抛物线上，所以222p×1，解得p2. 故抛物线的方程为x24y.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若APB的平分线垂直于y轴，求证：直线AB的斜率为定值.,所以x1x24.,所以直线AB的斜率为定值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；,解 设M(x，y)，则D(x,0)，,点P在圆x2y24上，x24y24，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，,得(14k2)x224k2x36k240， (*),设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,四边形OAEB为平行四边形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,消去k，得x24y26x0， 由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 M到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，,中，直线xy5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意； 中，x2y29的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以菱形ABCD在椭圆上或其内部，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知过点A(3,0)的直线与x3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x3相交于点D，若直线CD与圆x2y29相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程 为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设点M(x，y)，C(3，m)，D(3，n)， 则直线CD的方程为(mn)x6y3(mn)0，,所以mn9，又直线AC与BD的交点为M，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.曲线C是平面内与两个定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离的积等于常数a2(a24)的点的轨迹.给出下列三个结论： 曲线C过坐标原点； 曲线C关于坐标原点对称； 若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于 a2. 其中，所有正确结论的序号是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为原点O到两个定点F1(2,0)，F2(2,0)的距离的积是4， 又a24，所以曲线C不过原点，即错误； 设动点P在曲线C上， 因为F1(2,0)，F2(2,0)关于原点对称， 所以PF1·PF2a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；,