2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件:第三章 导数及其应用 高考专题突破一 第1课时 .pptx
第1课时 导数与不等式,大一轮复习讲义,第三章 高考专题突破一 高考中的导数应用问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,1,PART ONE,题型分类 深度剖析,题型一 证明不等式,师生共研,(1)证明:g(x)1;,当01时,g(x)0, 即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数. 所以g(x)g(1)1,得证.,所以当02时,f(x)0, 即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,)上为增函数,,又由(1)知xln x1(当x1时取等号), 所以等号不同时取得,,(1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)f(x)g(x)0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性. (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式,一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体,另一种方法为转化后利用函数的单调性,如不等式f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)对x1x2恒成立,即等价于函数h(x)f(x)g(x)为增函数.,跟踪训练1 已知函数f(x)xln xex1. (1)求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;,解 依题意得f(x)ln x1ex, 又f(1)1e,f(1)1e, 故所求切线方程为y1e(1e)(x1), 即y(1e)x.,(2)证明:f(x)sin x在(0,)上恒成立.,证明 依题意,要证f(x)0,xln x0, 故xln x1时,令g(x)exsin x1xln x, 故g(x)excos xln x1. 令h(x)g(x)excos xln x1,,故h(x)在(1,)上单调递增. 故h(x)h(1)ecos 110,即g(x)0, 所以g(x)在(1,)上单调递增, 所以g(x)g(1)esin 110, 即xln xexsin x1,即f(x)sin x. 综上所述,f(x)sin x在(0,)上恒成立.,题型二 不等式恒成立或有解问题,师生共研,解 函数的定义域为(0,),,令f(x)0,得x1. 当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x(1,)时,f(x)0,f(x)单调递减. 所以x1为函数f(x)的极大值点,且是唯一极值点,,所以h(x)h(1)1,所以g(x)0, 所以g(x)为单调增函数,所以g(x)g(1)2, 故k2,即实数k的取值范围是(,2.,由例(2)解题知,,利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 (1)首先要构造函数,利用导数求出最值,求出参数的取值范围. (2)也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,跟踪训练2 已知函数f(x)ex1xax2. (1)当a0时,求证:f(x)0;,证明 当a0时,f(x)ex1x,f(x)ex1. 当x(,0)时,f(x)0. 故f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增, f(x)minf(0)0,f(x)0.,(2)当x0时,若不等式f(x)0恒成立,求实数a的取值范围.,解 f(x)ex12ax,令h(x)ex12ax,则h(x)ex2a.,在0,)上,h(x)0,h(x)单调递增, h(x)h(0),即f(x)f(0)0, f(x)在0,)上为增函数,f(x)f(0)0,,令h(x)0,解得xln(2a), 在0,ln(2a)上,h(x)0,h(x)单调递减,,当x(0,ln(2a)时,有h(x)h(0)0, 即f(x)f(0)0, f(x)在区间(0,ln(2a)上为减函数, f(x)f(0)0,不合题意.,2,课时作业,PART TWO,1.已知函数f(x)ln xx,g(x)x·ex1,求证:f(x)g(x).,基础保分练,1,2,3,4,5,证明 令F(x)f(x)g(x)ln xxxex1(x0),,1,2,3,4,5,当x(0,x0)时,G(x)0,F(x)0,F(x)为增函数; 当x(x0,)时,G(x)0,F(x)0,F(x)为减函数.,1,2,3,4,5,F(x)F(x0)ln x0x0 1,,F(x0)0,即F(x)0,f(x)g(x).,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)ax2bxxln x的图象在(1,f(1)处的切线方程为3xy20. (1)求实数a,b的值;,解 f(x)2axb1ln x, 所以2ab13且ab1,解得a1,b0.,1,2,3,4,5,(2)设g(x)x2x,若kZ,且k(x2)2恒成立,求k的最大值.,1,2,3,4,5,所以函数m(x)为(2,)上的增函数. 因为m(8)42ln 862ln e3660, 所以函数m(x)在(8,10)上有唯一零点x0,,1,2,3,4,5,即有x042ln x00成立, 故当2x0时,m(x)0,即h(x)0, 所以函数h(x)在(2,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增,,又kZ,所以k的最大值为4.,1,2,3,4,5,(1)求函数f(x)的单调区间;,解 因为f(x)aex,xR. 当a0时,f(x)0时,令f(x)0,得xln a. 由f(x)0,得f(x)的单调增区间为(,ln a); 由f(x)0时,f(x)的单调增区间为(,ln a),单调减区间为(ln a,).,1,2,3,4,5,(2)x(0,),使不等式f(x)g(x)ex成立,求a的取值范围.,1,2,3,4,5,解 因为x(0,),使不等式f(x)g(x)ex,,当x在区间(0,)内变化时,h(x),h(x)随x变化的变化情况如下表:,1,2,3,4,5,技能提升练,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解 依题意知f(x)在(0,2)上的最小值不小于g(x)在1,2上的最小值, 即f(x)ming(x)min.,则当00,,又g(x)x22bx4,,1,2,3,4,5,当b1时,可求得g(x)ming(1)52b,,当1b2时,可求得g(x)ming(b)4b2,,当b2时,可求得g(x)ming(2)84b,,1,2,3,4,5,5.已知函数f(x)为偶函数,当x0时,f(x)2ex,若存在实数m,对任意的x1,k(k1),都有f(xm)2ex,求整数k的最小值.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,解 因为f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)2ex,所以f(x)2e|x|, 对于x1,k,由f(xm)2ex得2e|xm|2ex, 两边取以e为底的对数得|xm|ln x1, 所以xln x1mxln x1在1,k上恒成立, 设g(x)xln x1(x1,k),,所以g(x)在1,k上单调递减, 所以g(x)ming(k)kln k1, 设h(x)xln x1(x1,k),易知h(x)在1,k上单调递减,,1,2,3,4,5,所以h(x)maxh(1)2,故2mkln k1, 若实数m存在,则必有kln k3, 又k1,且k为整数, 所以k2满足要求,故整数k的最小值为2.,