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DSP课程论文1、参数模型功率谱估计的研究背景以及主要研究内容。功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。随机信号在时域上是无限长的, 在测量样本上也是无穷多的, 因此随机信号的能量是无限的, 应用功率信号来描述。然而, 功率信号不满足傅里叶变换的狄里赫莉绝对可积的条件, 因此严格意义上随机信号的傅里叶变换是不存在的。因此, 要实现随机信号的频域分析,不能简单从频谱的概念出发进行研究, 而是功率谱。信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。利用给定的样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。谱估计方法分为两大类: 可以分为经典谱估计（非参数估计）和现代谱估计（参数估计）两种方法。作为经典谱估计,在工程中都是以DFT为基础，其主要缺陷是描述功率谱波动的数字特征方差性能较差, 频率分辨率低；方差性能差的原因是无法获得按功率谱密度定义中求均值和求极限的运算。分辨率低的原因是在周期图法中, 假定工作区域以外的数据全为零, 而对相关函数法中, 假定延迟窗以外的自相关函数全为零。这是不符合实际情况的, 因而产生了较差的频率分辨率1 刘志刚. 基于现代谱估计理论的信噪分离方法及其应用研究: 学位论文.成都理工大学，20062 胡广书 数字信号处理理论、算法与实践. 第二版. 北京：清华大学出版社，2002.。而现代谱估计的目标都是旨在改善谱估计的分辨率。为此人们提出参数谱估计的方法，不是简单地将观测区外数据假设为零，而是根据对过程的先验知识，建立一个近似实际过程的模型，而后利用观测数据或相关函数来估计假设的模型参数，最后进行识别或谱估计，回避了数据观测区以外的数据假设问题，从而避免功率泄漏，提高了分辨率。因此，参数法是基于模型的功率谱估计。1主要方法有最大嫡谱分析法(AR模型法)、Pisarenko谐波分解法、Prony提取极点法、Prony谱线分解法以及Capon最大似然法等。其中AR模型应用较多,具有代表性。3 胡广书 数字信号处理理论、算法与实践. 第二版. 北京：清华大学出版社，2002.4 胡广书 数字信号处理理论、算法与实践. 第二版. 北京：清华大学出版社，2002.5 薛年喜 MATLAB在数字信号处理中的应用. 第二版. 北京：清华大学出版社，2008.6 Robinson E A. A Historical Perspective of Spectrum Estimation. Proc. IEEE, 1982, 70(Sept):8859077 Schuster A. On the Investigation of Hidden Periodicities with Application to a Supposed 26 Day Period of Meteorological Phenomena, Terr. Mag., 1898, 3(1): 13418 Wiener N. Generalized Harmonic Analysis. Acta Math., 1930, 55: 1172589 Tukey J W. The Sampling Theory of Power Spectrum Estimates, J Cycle Res., 1957, 6: 315210 Blackman R B, Tukey J W. The Measurements of Power Spectra. New York: Dover Publication, 195911 Kay S M. Modern Spectral Estimation: Theory and Application. Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 198812 Marple S L. A New Autoregressive Spectrum Analysis Algorithm. IEEE Trans. on ASSP, 1980, 28: 44145413 Marple S L. Digital Spectral Analysis with Applications. Englewood Cliffs. NJ: Prentice-Hall, 198714 H. Akaike. Fitting Autoregressive Models for Prediction. Ann. Inst. Statist. Math., 1969, 21: 24324715 H. Akaike, Statistical Predictor Identification. Ann. Inst. Statist. 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Improved Spectrum Performance via A Data-adaptive Weighted Burg Technique. IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, 1985, 3324 田坦, 李延. 伯格谱估计算法的一种改进. 数据采集与处理. 2002, 17(3): 27627825 W Campbell, D N Swingler. Frequency Estimation Performance of Several Weighted Burg Algorithms. IEEE Transactions on Signal Processing, 1993, 41(3): 123712472、 参数模型功率谱估计的一般模型，方法及国内外研究现状2.1 国内外相关研究现状分析“谱”的概念最早由英国科学家牛顿提出。后来，1822年，法国工程师傅里叶提出了著名的傅里叶谐波分析理论。该理论至今仍然是我们进行信号分析和处理的理论基础。傅里叶级数首先在观察自然界中的周期现象时得到应用，如在研究声音、天气、太阳黑子的活动、潮汐等现象时用于测定其发生的周期。由于傅里叶系数的计算是一个困难的工作，所以又促使人们研制相应的机器，如英国物理学家Thomson发明了第一个谐波分析仪用来计算傅里叶系数，这些机器也可用新得到的傅里叶系数预测时间波形。利用该机器画出某一港湾一年的潮汐曲线约4小时，这些都是人们最早从事谱分析的尝试。19世纪末，Schuster提出用傅里叶系数的幅平方，即作为函数中功率的测量，并命名为周期图，这是经典功率谱估计的最早提法，至今仍然被沿用，只不过我们现在是通过FFT来计算离散傅里叶变换，使等于该傅立叶变换的幅平方。Schuster鉴于周期图的起伏剧烈，提出了平均周期图的概念，并指出了在对有限长数据计算傅里叶系数时所存在的“边瓣”问题，这就是我们后来所熟知的窗函数的影响。Schuster用周期图来计算太阳黑子活动的周期，以1749年至1894年每月太阳的黑子数为基本数据，得出黑子的活动周期是11.125年，而在天文学文献中太阳黑子的活动周期为11年。周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法，Yule于1927年提出了用线性回归方程来模拟一个时间序列，从而发现隐含在时间序列中的周期。他猜想，如果太阳黑子的运动只有一个周期分量，那么，黑子数可用回归方程来产生。式中是存在于k时刻的很小的冲激序列。Yule的这一工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法参数模型法的基础。Yule利用1749年至1924年的年平均黑子数作为数据，利用最小平方的方法估计出a=1.62374，估计出黑子活动周期10.08年，然后他对数据作移动平均滤波，得到周期是11.43年。 Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，并得出了在对最小二乘分析中经常应用的Yule-Walker方程。因此可以说，Yule，Walker是开拓自回归模型的先锋。Yule的工作是人们重新想起了早在1795年Prony提出的指数拟合法，从而使Prony方法形成了现代谱估计的又一重要内容。1930年，著名控制论专家Wiener出版了他的经典著作Generalized Harmonic Analysis4。他在该书中首次定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅里叶变换。这就是Wiener-Khintchine定理。该定理将功率谱密度定义为频率的连续函数，而不再是以前离散的谐波频率的函数。1949年，Tukey根据Wiener-Khintchine定理提出了对有限长数据做谱估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再用该自相关函数做傅里叶变换，从而得到估计谱。Blackman和Tukey在1958年出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法，因此后人又把经典谱估计的自相关法成为BT法。Yule提出的自回归方程和线性预测有着密切的关系，Khintchine，Slutsky，Wold等人与1938年给出了线性预测的理论框架，并首次建立了用自回归模型参数与自相关函数关系的Yule-Walker方程。Bartlett与1948年首次提出了用自回归模型系数来计算功率谱。自回归模型和线性预测都用到了1911年提出的Toeplize矩阵结构，Levinson根据该矩阵的特点于1947年提出了计算Yule-Walker方程的快速技术按方法，所有这些工作都为现代谱估计的发展打下了良好的理论基础。1965年，Cooley和Tukey的快速傅立叶变换算法问世，这一算法的提出，也促进了现代谱估计的迅速发展。现代谱估计的提出主要是针对经典谱估计（周期图和自相关法）的分辨率低和方差性能不好的问题。1967年，Burg提出的最大熵谱估计，即是朝着高分辨率谱估计所做的最有意义的努力。虽然Bartlett在1948年，Parzem于1957年都曾建议利用自回归模型作谱估计，但在Burg的论文发表之前，都没引起注意。现代谱估计的内容极其丰富，设计的学科及应用领域也相当广泛，至今，每年都有大量的论文出现。目前尚难对现代谱估计的方法做出准确的分类。从现代谱估计的方法上，大致可分为参数模型估计和非参数模型谱估计，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型哦ingdeng；后者有最小方差方法、多分量MUSIC方法等。大量的论文集中在模型参数的求解上，以求得到速度更快、更稳健、统计性能更好的算法。从信号的来源分，又可分为一维谱估计、二维谱估计及多通道谱估计；从所用的统计量来分，目前大部分工作是建立在二阶矩（相关函数、方差、谱密度）基础上的，但由于功率谱密度是频率的实函数，缺少相位信息，因此，建立在高阶矩基础上的谱估计方法正引起人们的注意。从信号的特征来分，在这之前所说的方法都是对平稳随机信号而言，其谱分量不随时间变化。对非平稳随机信号，其谱是事变的，近20年来，以Wigner分布为代表的时频分析引起了人们广泛的兴趣，形成了现代谱估计的一个新的研究领域。2.2 参数模型功率谱估计的一般模型、方法功率谱估计中最主要的参数模型有ARMA模型、AR模型、MA模型。对于下图的参数模型由已知的或其自相关函数来估计的参数，不管是确定性信号还是随机信号，对图1所示的线性系统，和之间总有如下的输入输出关系： （1） （2）对两式两边分别取Z变换，并假定，可得 （3）式中 （4a） （4b） （4c）输出序列的功率谱为 （5）对于（1）式分三种情况来讨论。如果，全为零，那么（1），（3）及（5）式分别变为 （6） （7） （8）此三式给出的模型称为自回归模型，简称AR模型，它是一个全极点的模型。“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。如果，全为零，那么（1），（2）及（5）式分别变成， （9） （10） （11）此三式给出的模型成为移动平均模型，简称MA模型，它是一个全零点的模型。 若，；，不全为零，则（1）式给出的模型称为移动平均模型，简称ARMA模型。显然，ARMA模型是一个既有极点又有零点的模型。工程中所遇到的功率谱大体可分为三种，一种是“平谱”，即白噪声的谱；另一种是“线谱”，这是有一个或多个纯正弦所组成的信号的功率谱，这两种是极端的情况；介于二者之间的是既有峰点又有谷点的谱，这种谱成为ARMA谱。显然，由于ARMA模型是一个极零模型，它易于反应功率谱中的峰值和谷值。不难想象，AR模型易反应谱的中峰值，而MA模型易反应谱中的谷值。3、 参数模型功率谱估计的主要算法及实验结果参数模型法可以大大提高功率谱的分辨率，是现代谱估计的主要研究内容，在语音分析、数据压缩以及通信等领域有着广泛的应用。按照模型化进行功率谱估计，其主要思路如下：（1） 选择模型；（2） 从给出的数据样本估计假设模型的参数；（3） 将估计出的模型参数代入模型的理论功率谱密度公式得出一个较好的谱估计值。上一节已经对AR模型进行了说明，AR模型具体的计算方法有Yule-Walker法、Burg法和协方差法等等。其主要思想是根据已知的信号数据计算出（8）式中的和，然后就可以根据公式来计算得到随机信号的功率谱密度。同样，根据系统实际情况的不同，还可以得到MA模型和ARMA模型。下面介绍围绕AR模型的参数估计的几种谱估计方法。3.1 Yule-Walker法估计通过模型分析法来进行功率谱估计，关键是要解决模型的参数估计问题。Yule-Walker法，又称自相关法，其核心是从随机信号序列的自相关序列中计算出指定阶数的AR模型的参数，以得到该随机信号序列的功率谱估计。这种方法，是用自相关法求解AR模型的参数。Yule-Walker法估计通过如下的方程求解来获得。Yule-Walker方程求解可以用递推算法Levinson-Durbin来实现。式中，是自回归系数，为相关系数。Yule-Walker法PSD估计的公式为式中e（f）为复数正弦曲线。在MATLAB函数的工具箱里，函数Pyulear用来实现Yule-Walker AR法的功率谱估计。例如，用Yule-Walker法进行PSD估计：Fs=1000;t=0:1/Fs:1;x=sin(2*pi*100*t)+4*sin(2*pi*200*t)+sin(2*pi*400*t)+randn(size(t);pyulear(x,20,Fs);实验结果如下图所示3.2 Burg法估计Burg法是一种在Levinson-Durbin递归约束的前提下，使前向和后向预测误差能量之和为最小的自回归功率谱估计的方法。Burg方法避开了自相关函数的计算，它能够在低噪声的信号中分辨出非常接近的正弦信号，并且可以用较少的数据记录来进行估计，估计的结果非常接近真实值。而且，用Burg法得到的预测误差滤波器是最小相位的。但是，当用Burg法处理高阶模型、长数据记录时，结果的精度不是很高，并且有可能会出现谱线偏移和谱线分裂现象。假定线性预测AR模型的前向预测误差和后向预测误差为和：令前后向预测误差功率之和和存在下面的递推关系式中s为阶次，s=1，2，p；为反射系数，且有。而且根据Burg法使得前向和后向预测误差能量之和相对于反射系数为最小，可求得的估计公式：然后，便可以由Levinson-Durbin递推算法求出s阶次的AR模型参数：在MATLAB函数的工具箱里，Pburg用来实现Burg法的功率谱估计。例如用Burg法进行PSD估计：nFFT=1024;Fs=1000;t=0:1/Fs:1;xn=sin(2*pi*100*t)+4*sin(2*pi*200*t)+sin(2*pi*400*t)+randn(size(t);P,f=pburg(xn,18,nFFT,Fs);Pxx=10*log10(P);figureplot(f,Pxx);grid on;xlable('Frequency(Hz)');ylabel('PSD(dB)');实验结果如下图所示3.3 Burg法估计自回归功率谱估计的协方差方法，是一种基于使前向误差最小的技术；而改进的协方差方法则是同时使前向和后向预测误差均为最小的技术。在MATLAB函数的工具箱里，函数Pcov用来实现自回归功率谱估计的协方差方法；而函数Pmcov用来实现自回归功率谱估计的改进的协方差方法。例如使用协方差方法和改进的协方差法进行功率谱估计：Fs=1000;h=fir1(20,0.3);r=randn(1024,1);x=filter(h,1,r);P1,f=pcov(x,20,Fs);P2,f=pmcov(x,20,Fs);Pxx1=10*log10(P1);Pxx2=10*log10(P2);plot(f,Pxx1,':',f,Pxx2,'-.');ylabel('Amplitude: dB');xlabel('Estimation of PSD');legend('Covariance','Modified Covariance');实验结果如图所示 局部放大之后的曲线如下图现代谱估计中还有非参数的方法，比如：Multitaper方法、Multiple Signal Classification方法、特征向量法等等，在此不再赘述。4、 小结上文主要介绍了在数字信号处理应用中占有极重要地位的常见功率谱估计的内容。功率谱估计就是在基于有限的数据中寻找信号、随机过程或系统的频率成分。它表示随机信号频域的统计特性，有着明显的物理意义，它是信号处理的重要研究内容之一。MATLAB工具箱为功率谱估计的具体应用提供了大量丰富而简便的估计函数。这些函数方法，使原来非常繁琐复杂的程序设计变成了很简单的函数调用，为信号的功率谱估计开辟了新的简介途径。5、研究内容、研究目标以及拟解决的关键问题 本文研究求解AR模型参数的Burg算法。Burg算法是一种高分辨率的谱估计算法，因其计算量较小而得到了广泛的应用。然而，大量计算表明，当数据为实数样本时，谱估计的性能不尽人意。特别是在某些数据长度S下，频率估计偏差受信号初相位的影响较大，有时可达到1/(16T)的量级。因此寻求改进算法以减小频率估计偏差仍是近年来研究的课题。本文的研究目标在于分析传统Burg算法在谱估计时产生偏差的原因，提出提高Burg算法谱估计的准确度的方法，尤其是在实数据、短序列样本的情况下，并且减小信号的初始相位对功率谱谱峰的影响。尽管修正的协方差算法等方法在谱峰偏移方面优于Burg算法，但是运算量偏大，这是制约修正的协方差算法应用的一个重大因素。同理，如果对Burg算法进行改进后，所需的运算量偏大，那么Burg算法也就失去了一个重大优点，因此在对Burg算法进行改进时，必须考虑到是否会显著增加运算量。本文拟解决的关键问题如下：（1） 分析产生谱偏差和谱线分裂的原因。（2） 改进Burg算法，减小谱偏和减弱谱线分裂。三、拟采取的研究方案及可行性分析3.1 有关方法、技术路线3.1.1 Burg算法为了克服L-D算法中因估计相关函数给功率谱带来的影响，Burg提出一种新的算法16，其基本思想是直接从观测的数据利用线性预测器得前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计预测系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR模型优化的参数。前、后向预测误差的定义式分别为将am(k) )分别代入以上两式，得按前后向预测误差均方(平方)误差的总和，有并对反射系数求偏导，且之为零，求得总平均方误差为最小时得反射系数等于上式分母中的两项分别是前向与后向最小方误差，可以证明总的最小平方误差为按L-D递推公式可求得综上所述，Burg算法步骤为(1) 根据前、后向预测误差的定义知道这时均方差等于预测器平均输出功率，故有(2) 按递推关系，估计p阶预测系数(AR模型参数)及最小预测误差的均方值，即(3) 递推高一阶前、后向预测误差，即(4) 求得的AR模型参数估值，得到功率谱估计Burg算法的优点在于（1） 频率分辨率高（2） 所得的AR模型稳定（3） 计算效率高然而，Burg方法也有公认的不足。以信号xn=cos(2fn/fs)+un为例来说明。其中f=100Hz为信号频率，fs=1000Hz为抽样频率，n=1,2,N, N=18，即样本数为18。un为均值为0的高斯白噪声，其功率待定。AR模型的阶数待定。（1） 在高信噪比时，它的谱线呈现出分裂17。将信噪比设为SNR=80dB，AR模型的阶数设为5。使用原始Burg算法得到的功率谱如图所示。由图可以看到在100Hz频率谱线的右侧又分裂出一条谱线。谱线分裂在下列情况下最有可能发生：a) 高信噪比;b) 正弦分量初始相位为45°的奇数倍；c) 数据序列长度为正弦分量1/4周期的奇数倍;d)估计的AR参数的数目与数据的个数相比占有较大百分比;e) 虚假谱峰常伴随产生谱线分裂现象，这与数据记录短有关， 因此增加数据记录长度这种现象随之消失。（2） 对于高阶模型来讲，Burg方法也可能引入假谱峰。将信噪比设为SNR=10dB，AR模型的阶数设为16。使用原始Burg算法得到的功率谱如图所示。由图可以看出除了100Hz的正确谱线外，还有多处虚假的谱峰。（3） 对于噪声中的正弦信号，Burg方法对正弦信号的初始相位呈现出敏感性。特别是对短的数据记录更是如此。3.1.2 窗函数传统Burg算法利用如下公式求预测误差Swingler 18指出，采用加权的Burg算法可以减小谱偏。即在上述求解预测误差的公式中，进行简单的加窗处理，如下公式所示上式中wn,p为窗函数，如三角窗、汉明衰减窗等。Swingler提出使用的窗函数为Kaveh 和 Lippert19提出使用优化窗函数Helme和Nikias20提出使用数据自适应窗函数这些窗函数随着递推的进行，即阶数p的增大，窗函数中心也移动，保证有效的利用数据。对比原始Burg算法的预测误差求解公式可以看出，原始Burg算法相当于使用了一个所以权值为1的窗函数。与原始Burg算法一样，对加权预测误差求偏导并经过推导可得可以看出加权后算法得到的反射系数与原始反射系数比，分子分母带有都有窗函数。3.1.3 一阶反射系数21 22 伯格算法首先从低阶开始，根据数据估计反射系数，然后利用莱文森递归公式计算预测误差滤波器的系数，从而避免了直接计算相关值和矩阵求逆。而Burg算法中一阶反射系数在计算功率谱密度中起着关键的作用。这是因为运用递推公式时，各阶PEF系数均与其有关。然而，Burg算法中一阶反射系数的计算本身就有误差，结果使谱估计的峰值产生偏差，特别是当信号长度为14信号周期的奇数倍且初相位为14(或其奇数倍)时最为严重。设观察数据是形如的正弦波，其中，t为采样间隔，为初始相位。该信号的自相关函数为由一阶最大熵方程可得到系数的精确值为a1,1 = -cos。但当利用原始伯格算法计算时，由反射系数的求解公式可得将信号的表达式代入得由上式可知，这样求出的一阶反射系数a1,1一般情况下不等于精确值-cos。只在下列两种情况上式中第二项为零：（1） 信号长度为半周期的整数倍（2） 信号长度为1/4周期的整数倍，且=0或/4 而当信号长度为1/4周期的奇数倍且初始相位为/4的奇数倍时，误差最大。由于计算误差的存在，利用伯格算法所得到的系数均带来误差，结果引起频率估计误差。改进算法不直接计算一阶反射系数，而是通过二阶PEF系数再求一阶反射系数，结果使得到的一阶反射系数与初始相位无关，从而使谱峰偏差减小，改善了谱估计的质量。由于一阶反射系数的误差是引起谱估计偏差的主要原因之一，因此从改进一阶反射系数的计算入手，将能改善谱估计的性能。改进算法的基本思想是不用原始的反射系数计算公式直接计算a1,1，而是从二阶误差总功率着手，先计算二阶PEF系数a2,1，a2,2，再计算a1,1。二阶PEF输出误差功率为上式中的前、后向预测误差分别为对a2,1和a2,2分别求偏导得其中，定义为解二元一次方程组得由二阶AR模型系数可以通过递推得到一阶反射系数对实数据来说，上式可以简化为将代入简化后的反射系数公式得可以求得一阶反射系数的值为-cos，且与初始相位无关。由于这种方法求得的一阶反射系数比原始Burg算法求得的值更精确，所以经过递推后所求得的p阶模型参数值也更精确，从而减小谱偏。3.2 实验手段 本文中涉及的实验全部都在MATLAB中实现，通过编写并运行相应的实验代码，对算法性能进行评价。3.3 关键技术分别使用窗函数和一阶反射系数都能减小谱偏，本文综合了二者，即在求预测误差时，采用加权的Burg算法，对其进行加窗操作；在求解一阶反射系数时，先求二阶模型系数，再通过递推求解一阶反射系数。由于使用了窗函数，在求解一阶反射系数时，二阶预测误差公式变为这样，一阶反射系数的表达式形式虽然不变，但是变为如下形式最终的改进算法计算步骤可归纳如下：（1） 当阶数m=1时，根据下式之一计算一阶反射系数信号为复数据时信号为实数据时其中（2） 当阶数m2时，利用步骤（1）得到的a1,1和本文3.1.2节得到的加权反射系数公式以及Levinson-Durbin递推算法计算其余阶数的AR模型参数。3.4 可行性分析 本文利用了MATLAB软件来进行实验，实验结果证明该方法具有一定的不可见性和鲁棒性，而且整个实验过程运行时间不到10秒。因此，该方法在运算成本、运算实时性和适用性方面都是可行的。3.5 实验结果 本实验使用四种方法：原始Burg算法、加权法、改进计算一阶反射系数法、综合加权和改进一阶反射系数后的Burg算法，通过分析和对比这四种方法得到的谱估计结果得到综合后的Burg算法的优点和不足。3.5.1 谱偏问题（1）信号为无噪声的单频正弦信号 表达式为xn=Acos(2fn/fs + )，n=1,2,N其中A=为信号振幅，信号的功率可由A2/2计算得到。f=100Hz为信号频率，fs=1000Hz为抽样频率，为初始相位，N为样本数。令阶数p=3。设=45°，N=35，这是最坏的情况，即初始相位为45°的奇数倍，且数据长度为正弦分量1/4周期的奇数倍。分别使用原始Burg算法、加权法、改进计算一阶反射系数法、综合加权和改进一阶反射系数后的Burg算法估计功率谱。算法中的窗函数取汉明衰减窗这种窗函数的形状如图所示无噪声时的谱估计结果如图所示图a, b, c, d分别为原始Burg算法、加权法、改进计算一阶反射系数法、综合加权和改进一阶反射系数后的改进的Burg算法得到的结果。频率偏差分别为2.0996，0.3906，-0.0977，-0.0977。可以看出后三种都比原始算法有改进，改进一阶反射系数法和综合改进算法效果相同，都大大优于原始Burg算法。（2）信号为有噪声的单频正弦信号 表达式为xn=Acos(2fn/fs + )+un，n=1,2,Nun是均值为0，功率为1的高斯白噪声，则信噪比SNR=10dB。阶数p=10，其他参数与无噪声时相同。进行30次谱估计的结果分别如下图所示。图a, b, c, d分别为原始Burg算法、加权法、改进计算一阶反射系数法、综合加权和改进一阶反射系数后的改进的Burg算法得到的结果。计算30次的平均谱偏和方差，得到下表所示数据abcd平均偏差/Hz2.00200.81540.88380.3760方差/Hz25.13571.33272.88411.0544结合图和表可以看出，加权法、改进计算一阶反射系数法和综合的Burg算法三种方法都比原始Burg算法在谱偏的均值和方差性能上有很大改进，加权法稍好于只改进计算一阶反射系数，但二者都远不如综合后的改进的Burg算法。（3）谱偏与数据长度N的关系当信号不含噪声时，令初始相位为0，阶数为3，观察样本数为1545时，谱偏f相对样本数的图像。由图像可以看出，原始Burg算法和加权后的算法谱偏与数据之间存在周期关系，周期即是样本的周期。但是对比二者的变化幅度可以看出加权后的谱偏幅度明显变小，说明了加权对谱偏的改进作用。而改进一阶反射系数和综合后的Burg算法的谱偏则与数据长度无关，且大大减小。当采用含有噪声的信号时，令信噪比为SNR=10dB，阶数p=5，得到入下所示的图像。 由图像可以看出在噪声存在的情况下，四种算法的谱偏都随N的变化而变化，但综合后的Burg算法变化幅度较小。（4）谱偏与初始相位的关系当信号不含噪声时，阶数为3，样本数N=40，初始相位的变化范围为02，谱偏f相对初始相位的图像。由图像可以看出，原始Burg算法和加权后的算法谱偏与初始相位之间存在周期关系，周期即是样本的周期。但是对比二者的变化幅度可以看出加权后的谱偏幅度明显变小，说明了加权对谱偏的改进作用。而改进一阶反射系数和综合后的Burg算法的谱偏则与初始相位无关，且大大减小。当采用含有噪声的信号时，令信噪比为SNR=10dB，阶数p=9，得到入下所示的图像。 由图像可以看出在噪声存在的情况下，四种算法的谱偏都随初始相位的变化而变化，后三种Burg算法变化幅度比原始Burg算法小，而综合后的算法是最小的。3.5.2 谱线分裂问题 由前文所述可知，原始Burg算法在高信噪比时会导致谱线分裂。前述信号在SNR = 80dB时四种方法的谱估计结果如下所示。（1） 阶数p=3时的结果如下图所示，从图中可以看出低阶时都获得好的谱线，无分裂现象。（2） p=5的结果如图所示，由图可以看出，原始的Burg算法已经出现了谱线分裂，但是另外三种经过改进的算法仍然有好的谱线。（3） p=10的结果如图所示，由图可以看出，原始的Burg算法得到的谱线分裂得更明显，同时只进行加权改进的Burg算法也出现了分裂，而改进一阶反射系数和综合的Burg算法的谱线仍然没有分裂。以上的三次模拟说明，加权和改进一阶反射系数都可以减弱谱线分裂，但是相比之下，改进计算一阶反射系数能更好的减弱谱线分裂现象。综合后的Burg算法由于结合了改进一阶反射系数，因此也可以减弱谱线分裂。3.5.3 虚假谱峰问题原始Burg算法在高阶时会导致谱线分裂。前述信号在SNR = 10dB，阶数p=30时四种方法的谱估计结果如下所示。由图可以看出，改进后的三种Burg算法同样具有高阶时的虚假谱峰问题。其中，加权算法产生的虚假谱峰幅度较小，但实质上改善不大。3.5.4 频率分辨能力