浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时42.2函数的单调性与最值课件201903122297.pptx

§ 2.2 函数的单调性与最值,教材研读,1.函数的单调性,2.判断函数单调性的方法,3.函数的最值,考点突破,考点一 求函数的单调性,考点二 分段函数的单调性,考点三 函数单调性的应用,考点四 函数的值域(最值),1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的 任意 两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),则f(x)在区间D上是 减函数 .,教材研读,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性,区间D叫做 f(x)的单调区间.,2.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断.也可转化为判断 ,f(x1)-f(x2)(x1 -x2)的符号. (2)利用函数的运算性质:若f(x)、g(x)为增函数,则在公共定义域内, (i)f(x)+g(x)为 增函数 ; (ii) 为 减函数 (f(x)恒为正或恒为负); (iii) 为 增函数 (f(x)0);,(iv)f(x)·g(x)为 增函数 (f(x)0,g(x)0); (v)-f(x)为 减函数 . (3)奇函数在两个关于原点对称的区间内单调性 相同 ;偶函数在 两个关于原点对称的区间内单调性 相反 . (4)导数法:利用导数理论研究函数的单调性. (5)图象法. (6)复合函数的单调性 如果y=f()和=g(x)单调性相同,则y=f(g(x)为 增函数 ;如果y=f(),和=g(x)单调性相反,则y=f(g(x)为 减函数 .,3.函数的最值 (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: a.对于 任意 的xI,都有f(x)M, b. 存在 x0I,使得f(x0)=M, 则称M是f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: a.对于 任意 的xI,都有f(x)M, b. 存在 x0I,使得f(x0)=M,则称M是f(x)的最小值.,4.对函数单调性的理解 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可 以有不同的单调性.即使一个函数在几个不同的区间上具有相同的单调 性,这些区间也应该用“,”隔开写,而不能用“ ”连接. 如函数y= 分别在(-,0),(0,+)内单调递减,但不能说它在整个定义域, 即(-,0)(0,+)上单调递减. (2)函数的单调区间是函数定义域的非空子集,求函数的单调区间必须 先确定函数的 定义域 .求函数单调区间的运算必须在函数定义,域内进行. (3)函数的单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是任意性;二是有大小, 即x1x2);三是同属于一个单调区间.三者缺一不可. (4)函数单调性的作用:已知函数f(x)的单调性,则可使自变量x1,x2的大小 关系与函数值f(x1), f(x2)的大小关系相互转化.如已知f(x)为增函数,则x1 x2f(x1)f(x2). (5)将较为复杂的函数分解为一些基本初等函数的组合,则利用基本初 等函数的单调性就可快速判断复杂函数的单调性.,知识拓展 函数y=ax+ (a0,b0)的图象与性质: (1)定义域:(-,0)(0,+). (2)值域:(-,-2 )(2 ,+). (3)奇偶性:奇函数,函数图象整体呈两个“对勾”的形状,且函数图象关 于原点呈中心对称,即f(x)+f(-x)=0. (4)图象在第一、三象限内,当x0时,y=ax+ 2 ,当且仅当x= 时,取等号,即x= 时,取最小值,为2 . 由奇函数性质知:当x0时, f(x)在x=- 时,取最大值,为-2 . (5)单调性:增区间为 , ,减区间为 , .,1.下列函数中,在区间(1,+)上为增函数的是 ( B ) A.y=-x+1 B.y= C.y=-(x-1)2 D.y=31-x,解析 函数y= 在(1,+)上是增函数,故选B.,2.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-,4上单调递减,则a的取值范围是 ( B ) A.-3,+) B.(-,-3 C.(-,3 D.3,+),解析 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图象的对称轴为直线x=1-a,要使函 数f(x)在区间(-,4上单调递减,只需1-a4,所以a-3,故选B.,3.若f(x)= 是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是 ( B ) A.(1,+) B.4,8) C.(4,8) D.(1,8),解析 依题意得 解得4a8,故选B.,4.给出下列说法:(中f(x)均具有单调性) 函数y=-f(x)与y=f(x)的单调性相反;当函数y=f(x)恒为正或恒为负时, 函数y= 与y=f(x)的单调性相反;当C0(C为常数)时,y=f(x)与y=C·f (x)的单调性相同,当C0,g (x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)也是增(减)函数,若f(x)0,g (x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是减(增)函数. 其中正确说法的序号是 .,解析 根据函数单调性的定义、不等式的性质可得出答案.,5.求函数f(x)= -log2(x+2)在区间-1,1上的最大值.,解析 y= 在-1,1上为减函数,y=log2(x+2)在-1,1上为增函数,所以f (x)= -log2(x+2)在-1,1上为减函数,所以所求最大值为f(-1)=3.,求函数的单调性 典例1 (1)(2017课标全国文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区 间是 ( D ) A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+) (2)下列函数中,在区间(0,+)上为增函数的是 ( A ) A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1),考点突破,解析 (1)由x2-2x-80可得x4或x-2, 所以x(-,-2)(4,+), 令u=x2-2x-8, 则其在x(-,-2)上单调递减, 在x(4,+)上单调递增. 又因为y=ln u在u(0,+)上单调递增,所以y=ln(x2-2x-8)在x(4,+)上单调递增.故选D. (2)y=(x-1)2仅在1,+)上为增函数,排除B; y=2-x= 为减函数,排除C; 因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数, 所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D; 易知y= 的定义域为-1,+),又y= 和t=x+1均为增函数, 所以y= 为-1,+)上的增函数,故选A.,方法指导,1.判断函数单调性的常用方法:(1)定义法;(2)两个增(减)函数的和仍为 增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数;(3)互 为反函数的两个函数具有相同的单调性;(4)奇函数在对称的两个区间 上具有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性; (5)利用导数研究函数的单调性.,2.复合函数单调性的判断方法:如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相同,那么y =fg(x)是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=fg(x)是减函数.,1-1 试讨论函数f(x)= (a0)在(-1,1)上的单调性.,解析 f '(x)= - = =- . 当a0时,在(-1,1)上, f '(x)0,函数f(x)在(-1,1)上递增.,典例2 函数f(x)= 是R上的单调递减函数,则实数a的取 值范围是 ( D ) A.- a0 B.a- C.-1a- D.a-1,分段函数的单调性,解析 f(x)= 是R上的单调递减函数, 解得a-1,故选D.,方法指导 若分段函数在其定义域内单调,则该函数在每一段定义域内具有相同的 单调性,同时要注意在各段定义域的交界处的函数值,保证函数整体的 单调性.,2-1 已知函数f(x)= 是R上的单调函数,则实数a的取值 范围是 ( B ) A. B. C. D.,解析 由对数函数的定义可得a0,且a1. 又函数f(x)在R上单调,而二次函数y=ax2-x- 图象的开口向上,所以函数f (x)在R上单调递减, 故有 即 所以a .故选B.,函数单调性的应用 命题方向一 利用函数单调性比较大小,典例3 已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f ,b=f(log24.1),c=f(2 0.8),则a,b,c的大小关系为 ( C ) A.abc B.bac C.cba D.cab,解析 f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x), a=-f(-log25)=f(log25), log25log24.1220.8,且y=f(x)在R上为增函数, f(log25)f(log24.1)f(20.8),即abc,故选C. 命题方向二 利用函数单调性解决不等式问题,典例4 (2015课标文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)f (2x-1)成立的x的取值范围是( A ) A. B. (1,+) C. D. ,解析 当x0时, f(x)=ln(1+x)- ,f '(x)= + ,易知f '(x)0,f (x)在(0,+)上为增函数,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,由f(x)f(2x-1)得f(|x |)f(|2x-1|),|x|2x-1|,即3x2-4x+10,解得 x1,故选A. 命题方向三 利用函数单调性求最值,典例5 设函数f(x)= +2 016sin x,x 的最大值为M, 最小值为N,那么M+N= 4 033 .,解析 f(x)= +2 016sin x = +2 016sin x =2 017- +2 016sin x. 显然该函数在区间 上单调递增,故最大值为f ,最小值为f , 所以M+N=f +f =2 017- +2 016+2 017- -2 016,=4 034- - =4 034-1=4 033.,典例6 (2019镇海中学月考)函数f(x)=x+ 在区间1,+)上为增函数,则 实数a的取值范围是 a1 .,命题方向四 利用函数单调性求参数,解析 f '(x)=1- , 函数f(x)在1,+)上是增函数, 当x1,+)时,1- 0恒成立,此时ax2恒成立, 易得a1.,规律总结,1.利用函数单调性比较大小 将自变量转化到同一个单调区间,然后利用函数单调性解答. 2.利用函数单调性解决不等式问题 对于“fg(x)fh(x)”型不等式问题,一般先研究f(x)的单调性,再利用单调性获得更具体的不等式,从而求解问题.此时注意,g(x),h(x)的取值必须在f(x)的定义域内.,3.利用函数单调性求最值 若函数在区间a,b上单调,则必在区间a,b的端点处取得最值;若函数 在区间a,b上不单调,则最小值为函数在该区间内的极小值和区间端点 值中最小的一个,最大值为函数在该区间内的极大值和区间端点值中最 大的一个.,4.利用函数单调性求参数 当已知函数在某个区间上单调时,说明这个区间是函数单调区间的子区 间,根据集合间的关系得出参数应满足的不等式(组),从而求出参数的取 值范围.,3-1 已知函数f(x)是定义在0,+)上的增函数,则满足f(2x-1)f 的x 的取值范围是 ( D ) A. B. C. D.,解析 由题意得 解得 x .,典例7 函数y= + 的值域是 2,2 .,函数的值域(最值),解析 易知函数的定义域为-3,1, y2=4+2 . 当-3x1时,0-x2-2x+34,则4y28. 又y0,故函数的值域为2,2 .,方法指导 求函数值域(最值)的方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求值域; (2)图象法:先作出函数图象,再根据图象求值域; (3)换元法:通过代数换元或三角换元等,简化函数表达形式,再用相应方 法求解,但换元过程中一定要注意新变量的取值范围对解题的影响; (4)不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后 再用基本不等式求最值;,(5)几何法:若所求式具有明显的几何特征,则可利用数形结合求解.,同类练 设g(x)是定义在R上,且以1为周期的函数,若f(x)=2x+g(x)在0,1 上的值域为-1,3,则f(x)在区间0,3上的值域为 -1,7 .,解析 当1x2时, f(x)=2x+g(x)=2x+g(x-1)=2(x-1)+g(x-1)+2=f(x-1)+2, 此时0x-11,则f(x-1)的值域为-1,3, 故1x2时, f(x)的值域为1,5. 同理,2x3时, f(x)的值域为3,7. 则f(x)在区间0,3上的值域为-1,31,53,7=-1,7.,变式练 函数f(x)= 的值域为R,则实数a的取值范围是 ( C ) A.-2,1 B.(-,-21,+) C.-1,2 D.(-,-12,+),解析 依题意,知y=2x+a(x1),y=a2+ln x(x1)在各自的定义域上单调递 增,由函数f(x)的值域为R,得2+aa2,解得-1a2,故选C.,深化练 a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.,2 -2,解析 当a=0时, f(x)=x2,此时f(x)在区间0,1上为增函数,g(a)=f(1)=1; 当a0时, f(x)的图象如图所示. (i)当a2时, 1,此时f(x)在0,1上为增函数,g(a)=f(1)=a-1; (ii)当1a2时, 1a,此时g(a)=f = ;,(iii)当0f(1),g(a)= ; 当a0时f(x)的图象关于y轴对称,所以求a0时的最 值即可.,g(a)= 其图象如图所示. 当a=2 -2时,g(a)的值最小.,