1、函数的单调性和奇偶性专题羟典例M析类型一、曲数的单性的证明/(x)=4=)V1.证明函数JX上的单1性.证明g在(0.*8)上任取、X2(XX2)fx三X2X0、/I】*1-*2WXFbF-时.o,x20,6“百ijX1一修0：上式VO,.y=X2)-f(x)0/(x)三(0,+M)X三总结升华IUI证明函敷单调性要求运用定义I2如何比较两个量的大小？(作差IH1.如何推断一个式子的符号？I对差适当变形)【变式U用定义证明函皴f(x)X+4在区间(OjMSft.思路点拨，本题考查对单1性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的一地怪.证明；设*是区间上的意实效，且“Vx”则f(x1.)-f(x
2、j)=x1+-(xa+-)=(X1.-X2)+(-)X1.XjX】XV0x,x21.xi-X20,0xixj1.1-0V)X,XJ0故xxa,即f(x11-f(x1)o.NV*时有f(X)f(Xj)f(x)三X*-在区间(。,1X总结升华I可以用同样的方法证明此函数在.81上是J1.aiIk1.在今后的学习中常常会也到这个西数，在此可以塞试利用函数的单调性大致给出函数的BB象.类型二、求函敷的单调区间2.推断下列函敷的单调区间:(1.)y三x2-3x+21.7Hx-11+而。2尸解IU)由图象对女性，出草图“、隹(G】现濡在2,取城举一反三，r变式U求下列函数的单调区间:y=xH(2)2x-1
3、3)-X2.x+327Hi(1)I-X-I(X7)出的IJ(BB霞，函数的区间为coT1.幽R的，区间为(+8”定义域为y=-其中u=2义1为通函数，口在18,01与(O,+8为求的敷,y-.(%)则2xTI282J上为减函数：_J_.(3)定义为(8,o)U(,+,单提用区间为：8,0),单羯减区间为0.+8).总结升华IUI败形结合利用图象推断函数单图区间：2关于二次函数单区间问,单辑性改变的点与对彝轴相关.3霞合函数的单提性分析：先求函数的定义城；再将复合的数分解为内、外层函数I利用已知函数的单调性解决.关注，内外层函数同向改变二五合函数为增函数】内外层函敷反向或受=X合函数为西敏.
4、类型三、单调性的应用(比较函敷值的大小，求函敷值域，求的败的大值或小值)C3.已知函数Rx在O能244/(3-1.)(一)又除农(0,+8)上是就西蒙，则4.4.求下列的数值城;2x-1y-(1)x+2IDxe|5IO1.i2)x三(3-2)U(-2*Diy=N2/31.)x.1.,1.2)22.用路点拔(1)可应用函数的单置性I(2|数形结合.WF=7+2可看作是由4左移2个单位,再上移2个单位得到，如图2)X(8J(D)W(功”)即(-吗57收)(2)出草图DyWm1),n-1.)jW2,61.2,1.X(DJM)JBft1.e.1+3xf()【受式I】已知函数1.-3x.U)推后面数r(
5、x)的单调区间：当W1,3|时，求函数“XI的值城思路点拨：这个南数干麻视察唯目不简单着出它的单区间，但对解析式稍作处理,e.1.+3x,2f(x)三-1-即可得到我们相对热火的形式.1-3x3x-h其次问即是利用单员性求函数ttS(-.-)(-.-KO)3上单递增，在3上单1递增1,3C(-.o)(2) 3故函数f(x在11,31上单调递增v=1.时门义)存量小值，f(1)=-2f(3)三-x=3时限帝大值4-2.-xG1.,31时f(x)的值好4.Cs.已知二次西数P(XEYa.1)+5在区间上是JIaHt我实数a的取值范B1.(2)f(2的取值范国.a-1解I”)对称轴一-是确定f()单
6、性的关愧，联系BB象可知(2)Vf(2=22-2a-1.)+5=-2a+1.1.X7a4f(2=-2a+1.1.-4+11=7.f(2)e7,4w)类型四、推断函数的明6.推断下列函数的奇假性：/)居”()=G/(X)=叮(3)f(x)=x24x+3(4)f(x)=x+3-x-3(5)Ix+21-2.t-a(O),/-1.+Xx0)/O).Tg(X)-g(-)K及)IX+x0三+2+2-1.x1.XOMiH-4xe-1.,O)u(O,1.三7v(x+2)-2X.f()为奇的Ih(6),.R,f(x=-xxHxf,Cx)为奇曲数；.,(-)三:g(-)-H-)D=口g(-)-g()=()d.(7
7、)22,f1.x)为奇画数.举一反三t【变式I推断下列函数的布偈性：U)f(：，=-K.也1.(2)f(x)=x+1.-x-1.(3)f(x)=x2+x+1.1.X22x-1(x0)思路点拨，利用西数奇偶性的定义进行推断.Mf(-x)=-2x+非石=-(2x+&)=-f(x).f(x)=2x+笈为奇函数Ijaf(-x1.(x).f(x)为非奇非偈的敷1任取x0WxVO.n-x)=(x)2+2(-x)-1.=x22x-1.=(-x2+2x+1.)=f(x)任取x011-x=-1-x)2+2(-x+1.=-x2-2x+1.=-(x2+2x-1.)=-f(x)x=OBt,f(O)=-f(O)xWR时
8、R-x=4(x)f(x)为奇通数.举一反三：【变式2】已知fix),作曲为奇的效，且定义依相同，求证，RxM(x为奇曲数，fix)(x为假函数.证明：设F(XRf(X)+g(x),G(x)三f(x)g(X)JNF=f)=-F(xG=f(-x)g=-f(x)-g(x)=f(xR(X)=G(X).nx)+j(a为奇函数，f(x)R(X)为偶函数.类型五、的敷M性的应用(求值，求解析式，与单雌结合)7.已知nx)=x5axjbx8,且改2)=10,求*2).解：法一：.11-2)三(-2)5+(-2),a-(-2)b-S=-32-8a+2bX=-40.+2b=1.0.X-21.)=5Of+8舄证X
9、Xi为奇曲数.g(-2)=-g2).f-.*.fK2三-f(-2)-16三-10-16三-26.Cf1.f(X)是定义在R上的奇函孰且当YO时，f(x=xj-x,求当。时，依)的解析式，井出函数图象.解：；奇的数图象关于原点对称./.x0,.y=(-x)1.(x)即y*-x2-x又f(01.=0,09.设定义在1-3,31上的一函数fU)O,31上是单IIaMh当f(HvnH)时，求H的取值范国.1*.f(a-hf（八）ff(a)面卬1.,aeO,3I。J忖-3-1.3-3a3-2a+10-24-3a3bO,给出下列不等式，其中成立的是.f(b)-f(-a)g（八）-g(-b)f(bf(ii
10、)Vg（三）g(b(Sf(akf(-bR(bhj(-a)f（八）f(b)V*(b)以答案，.011.求下开函敷的值城，(I)Iy=-xa2x+8Q)y=4x+3x-1.-2(3)=彳+2思路点拨IU)中的数为二次函鼓开方，可先求出二次函数值*(2)由单调性求值城，此X1.也可换元解决I单调性无法确定，般换元后将之转化为熟识二次函数情形，问愿得到解决，雷留意此时t荒国.a)y=-(x-Dj9,.(x-1)30,-(x-1)30-(x-1.)j+99,yeQ.3f.,3x1.0,x-,3粒视察知，上单墙”后)=1-2x=0令现1尸+1”八(8川412.已知函数r(x)22ax+aJ1.(1)若函数
11、A2在区间0,2|上是单调的，求实数a的取值范围；当01.,I时，求的数心)的小值小)，并出量小值的数产g(a的图象.M(DTRxKxa)M/.a2(2)1,aV-1时,如图I,R（八）=ft-1.)=aj+2a3当a1.时，如图3.g（八）三f1.)a2-2aa2+2a.a+f2)=2f=2再令x=4,y=2,.*.fK42)=f(4+f2)=2+1.=3/.)=3.fKx+nx2W3可转化为111x(x-2)J(三)20x-20/()x+-0.4C0)14 .推断函敷X上的单调性，并证明.证明，任取OVX1.Vx”U1)()三+y-j+=(*1-)-V0XX2*X-X20当和巧0时3-XI
12、Xa0xX20即f(X)f(X2)/(X)=X+1在(Q1.1.XjA*Hft.当x“2(1.,+8时，xx,1=Xxa1.0/(x1)()(x1)=f+i.当XVa时,/(X)=xj-x+a+1.三(x-)j+:时，/(X)在(gf1.人./(!)，7+)沁三32x1D.=】3 .已知.敷/S)11(用-Dd+(6-2)x+(州2.76+2)为.敷,9tm的值是Ia.1B.2C.31).A4.若IHHtx)在-MT上是JtiHfc,则下列关系式中成立的是(/(-(-D/(2)o/(-1.)(-(2)A2B.，y(2)(-D(-/(-=3-1y-X.函数f()是定义在6,61上的例函数，且在卜
13、6,OI上是减函数，M()A.f(3)f(4)0B.f(-3)-f(2)0二、填空意1 .设奇画数“X)的定义域为5：1.若当Xee5时，/(X)的图徽如右图，则不等式一(X)=Jd-J=的值餐是.4 .若面数了(x)=32)/+67)x+3是他画皴，J(x)的M1.X区同是5 .函我/(X)在R上为奇附皴，且(x)=4+1.”0,Ng0./(),三、解答题1 .推者一次数y=履+人反比例数二次敷丁=+bx+cMMw1.2 .已知函我/(X)的定义域为(Tjr且同时，意下列条件：(1.)(x)是奇函数I2J(x)在定义城上单调递WU(3JQ-0)+(1.)-3c.a5d.a35 .下列四个制1
14、1)函敷/(X)在X0时是增函敷，0也是增函数，所以/(X)是1函数I若函数/(x)=bx+2与X轴没有交点，必0,*-2x3fiwj1.gU),y=1.+xjRP=jQ+x)Sf1.M其中正命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.定义在R上的函数),清信+i)=-0),且在区同：-1。上为递地，M()A./(企2)B./(3)0C./(2),D./(圾)(2)0时，/(x)=x3+x-1.,拜么x0时,/(X)=yz_B.3 .若遇数=P+bx+dTU上是奇曲/）的|析式为4 .奇函数x)在区间13.口上是，8Ht在区间工6上的大值为8,小值为,则2/=,5 .若函JB(x朵+2)x
15、b在止上是减SMt则上的取值落国为.三、解答题I.推断下列函数的奇偈性c2(x)-0,xe-6.-22,66 .已如雷数=/(X)的定义*为&,W/eR,0时，/(x)0)1 .已知wfcx”卜+Hk-H(),a+(o),j()”()的IH1.性依次为,)A.偶函数，奇函敷B.奇函敷，偶函敷C.偶函数，偶函数D.奇函数，奇的数2 .若J。)是假的数，其定义域为-8.K),且在口加0；上是减的数，则/(-)r(aa2*2的大小关系是IA.八-$/+2吗B.y+2+Cfe+支/（-：）V/（+20+.）0/乙巳吕一D吗+依吗+”)+心4 .若=TTr在区间一2，地)上是用的效，Jea的取值苒围是.5 .已知函数/(X)的定义域是(0+8),且潴意J(D)=/(x)+8),=1.假如对于。3)*O)斫等式/(r)+(3-x)Z-2.6 .当Xe阿时，M(x)=x+QP+%MM.7 .已知/(x)=-4+4w-4-/在区间.OJ内有一量大值-5,求的值./(x)三x-x31x-Pt.(x)-.已知函数2的最大值不大于宿，又当428.求，的值.
