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    第十六章 多元函数的极限于连续.docx

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    第十六章 多元函数的极限于连续.docx

    1、第十六维多元函数的极限于连续R20I平面点集与多元函数I.判断下列平面点集,哪些是开集,闭集,有界集或区域?井分别指出它们的聚点与界点:.)c.=0:(4)xy)y(5) x.y)xZy2;(x,y)y)(7)j:(8-.y)+y=1.i1.!0=0.0x1(9)Iky)Ifix,y)=,2,求/(U)syxfix,y)=+y2-Xfg.求R1.Xjy).7.设F(x,y)=1.nXIny,证明:uO,vO,则F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v);8.求卜列各界函数的定义域,画出定义域的图形,并说明这是何种点集:22r+V1:f(,y=;X-J2f+3y+y

    2、0.12(IO)卜冬.丫)1入,.丫均为整数上2 .试问集合(x.y)0qx-立0卜一同界与集合标.刈,一5枚一目HmyjyOIIT1.C6,求下列个函数的函数值:arctg(x+y)1+31-34/Uy)=1.-J.求arctgx-y)-(3)fbi.y)、其;/(x,y)=1.nx+1.ny,/Cr.)=1.n(y-x)f(x,y)=V-A+JyTf(x,y)=JSin(f卜y);f-”;(9)f(x,y.z)=,一,+y+|(IO)fx,ytZ)=JR-y-z:+I,1.7=;,(R“1.x+y+z-r9 .证明,开集与闭集具有对偶性一一若E为开集,则匕为闭集:若E为由集,则EC为开集

    3、10 .证明;(I)若RF2为闭集,则尸U方与Fd2都为闭集:(2)若匕.Ez为开集.则E1.与;CE2都为开型:3)若F为闭集E为开集,则FE为闭集,RF为开集.11 .试把闭域套定理推广为闭套定理,并证明之。12 .证明定理16.4(有限覆限定理2二元函数的极限1.试求下列极限(包括非正常极限:(1)Iim=7.y1.JfIim()IO.O)I2211+x+y-I(3)Iim(5)Iim(x.y.2)2x-y(6)Iini(.r+y)sin:(.yH(1.,)2X+y.3s11(V+V)(7)Iim-1.(*.y(0.0)y2.讨论下列函数在点(0.0)的Ig极限与累次极限.y(D(.r

    4、y)=-ry+y(2)f(x.y)=(.t+y)sin-sin-;XyxV3)(.y)=-JVy+U-y)/(x,y)=1-2-V+)rv/(x.y)=-x+y(7)/Uy)=3.证明:若JjI1.1.J(X)存在且等于a.2o在b的某领域内,存在有Iimfx,)=由),),则hmIimf(x,y)=A.ry6.t4 .试应用一6定义证明Iim上工=0.vAu&s.+y5 .叙述并证明:二元函数极限存在的唯性定理.局部有界性定理与局部保号性定理.6.试写出下列类型极限的精确定义:(1) in/(x,y)=7.试求下列极限:Iimf(x,v)=4;JJ1.TD加)(I)IimJXy(3)Iim

    5、1+)y1.,2-v-(*y)1Iim(1+)-+H,+00.时,(1)两个累次极限存在而重极限不存在:(2)两个累次极不限存在而用极限存在:(3)重极限和畏次极限都不存在:(4重极限与一个素次极限存在,另一个界次极限不存在”9.证明定理16.5及其推论3.3二元函数的连续性1.讨论下列函数的连续性:(1/(,y)=fg(+y)=VIXf(x.y)=.1.Sinxsiny2.叙述并证明二元连续函数的同部保号性.3.设rG2Z,/(y)=为一致连续,证明f在S上处处连续.5 .证明:若。U是行界闭城.f为D上连续函数,则F(D)不仅行界(定理16.8),而且是闭区间,6,设f(.r.y)在集合GuR上对X连续,时y满足利普希茨条件:f(x.y)-fx.)“1.y-y.其中(x.y).(x,y*)G.1.为常数,试证明f在G上处处连续.7 .若一元函数dt)在a.b上连续,令/(x,y)=0(x),(,y)。=”,Zx(-x,8).试讨论f在D上是否连续,是否一致连续?8 .设fx,y)=-.(x.y)eD(0,1.)|0.1).1-.xy证明f在D上连续但不一致连续.9,设f在R?上连续,且照Kx,y)=A,r=J?+y1证明f在R?上有界:f在R2上一致连续。10.设f在R2上分别对每一个自变量X和y是连续的,并且每当固定X时对y是单调的.证明f是R2上的二元连续函数.


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