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1 约数与倍数 基础知识： 1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为 a的约数 . 如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这 若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干 个自然数的最大公约数 . 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b， c）表示 . 例如: （8，12）4，（6，9，15）3. 2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几 个数互质 . 3. 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是 这若干个自然数的公倍数. 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍 数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号a，b，c 表示. 例如:8 ，12 24，6 ，9，15 90. 4. 约数个数公式、约数和公式. 例 1.360 有多少个约数？ 答疑编号 5721260101 2 【答案】 24 【解答】，所以 360共有 24 个约数. 例 2. 一个数是 6 的倍数，但它的约数之和与6 互质，这个数最小 是. 答疑编号 5721260102 【答案】 36 【解答】这个数可以表示成，与 6 互质， 所以x2，y2， 故最小数为. 基础知识 5. 求最大公约数和最小公倍数的基本方法： （1） 分解质因数法 : 将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质 因数， 找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的 最大公约数；观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组 数的最小公倍数 . （2） 辗转相除法 : 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下： 用b除a，得abmx（0x）. 若x0，则（a，b） b；若x0， 则再用x除b，得bxny （0y）. 若y0，则（a，b） x，若 y0，则继续用y除x, 则继如此下去， 直到能整除为止 . 其最后一个非零除 数即为（a，b）. 3 （3） 两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数 的乘积： （a，b）×a，b a×b. 例 3. 甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条 件的自然数有几组？ 答疑编号 5721260103 【答案】 6 组 【解答】，由此得a和ab的 值为 1988的互补因子 .1988 有（11）×（ 11） ×（21）12 个约 数，所以答案为 6 组. 例 4. 已知将自然数 84 的全部约数的乘积分解质因数为 ， 那么等于. 答疑编号 5721260104 【答案】 24 【解答】，它有 3×2×212 个约数. 这些约数可以分成两 两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就 是 . 所以 126624. 4 例 5. 两数乘积为 2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数 个数多 1. 那么这两个数分别是 . 答疑编号 5721260105 【答案】 175和 16 【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个 数必为一奇一偶 . 而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能 是 1、，经试验只有这个平方数取， 另一个数为时，分别有 5、6 个约数 . 所以这两个数分别为175和 16. 例 6. 三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？ 答疑编号 5721260106 【答案】 900 【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数， 所以B是完全平方数，又40321×21，所以B只可能是、可 得B225. 那么A最大是 225×4900. 例 7. 一个正整数是 2004 的倍数，且恰有 24 个约数是偶数，那么这个 数最多有个约数是奇数 . 答疑编号 5721260107