2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题.pdf

一、单选题 1 已知全集UR， 集合 2 |210Mxxx，|1Nx yx， 则UC MN （） A. |1x x B. 1 |1 2 xx C. 1 |1 2 xx D. 1 | 1 2 xx 来源 学|科|网 2设,a b R，则 “ 22 ab ” 是“ 33 0ab ” 的 （） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 32018 ·渭南质检 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（） A. B. C. D. 4已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. 5若 1 sin 34 ，则cos 2 3 （） A. 5 8 B. 7 8 C. 5 8 D. 7 8 6若圆 22 :4210C xyxy关于直线 :20(0,0)laxbyab对称，则 12 ab 的最小值为（） A. 1B. 5C. 4 2 D. 4 7设函数，其中常数满足若函数（其中是 函数的导数）是偶函数，则等于 A. B. C. D. 8设等差数列 n a的前n项和为 n S ,且 满足1718 0,0SS ,则 1512 1215 , SSS aaa 中最大的项为 A. 7 7 S a B. 8 8 S a C. 10 10 S a D. 9 9 S a 9以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕， 将ABD与ACD折成互相垂 直的两个平面，得到以下四个结论：BD平面ACD；ABC为等边三角形；平面 ADC平面ABC；点D在平面ABC内的射影为ABC的外接圆圆心. 其中正确的有 （） A. B. C. D. 10设 1,2,0,OAOBOA OBOPOAOB， 且1， 则OA在OP上 的投影的取值范围（） A. 2 5 ,1 5 B. 2 5 ,1 5 C. 5 ,1 5 D. 5 ,1 5 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11已知抛物线 2 yax的准线方程为 2y ，则实数a的值为 _. 12在等比数列na中，如果3 4a ，7 16a ，那么5 a 等于 _ 13已知x、 y 满足约束条件 20 20 20 x xy xy ，则目标函数2zxy的最大值与最小值之和为 _ 14在 ABC中，角,A B C的对边分别为 , ,a b c，若，则ABC的形状 一定是 _三角形 15设椭圆 22 1 43 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过焦点 1 F的直线交椭圆于M、N两 点，若 2 MNF的内切圆的面积为，则 2 MNF S _. 16 三 棱 锥AB C D的 所 有 顶 点 都 在 球O的 表 面 上 ，AB平 面 ,1 ,2 ,B C DB CC DA BB CC D , 则球O的表面积为 _ 17已知是上的偶函数 ，且若关于的方程有三个不 相等的实数根 ，则 的取值范围是 _ 三、解答题 18已知曲线 3 fxxaxb在点2, 6P处的切线方程是 13320xy. （1）求a，b的值； （2）如果曲线yfx的某一切线与直线l： 1 3 4 yx 垂直，求切点坐标与切线的方 程. 19设函数，其中向量， （ ）求的最小正周期及单调减区间 （ ）若，求函数的值域 （ ）在中，求与 的值 20 四 棱 锥PA B C D中 , 底 面A B C D是 边 长 为2的 菱 形 , 侧 面PAD底 面 A B C D, 60BCD, 2PAPD ,E是BC中点 ,点Q在侧棱PC上. （）求证 :AD PB; （）若Q是PC中点 ,求二面角EDQC的余弦值 ; （）是否存在Q ,使 /PA平面DEQ?若存在 ,求出 PQ PC 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 21已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率与双曲线 22 1 412 xy 的离心率互为倒数， 且过点 3 1 2 P ， （1）求椭圆C的方程； （2）过P作两条直线 12 ll，与圆 2 22 3 1(0) 2 xyrr相切且分别交椭圆于M、N 两 点 求证：直线MN 的斜率为定值； 求 MON 面积的最大值（其中O 为坐标原点） 22设数列 an的前 n 项和 Sn. 已知 a1=1， 2 1 212 33 n n S ann n ，nN * . () 求 a2的值； () 求数列 an的通项公式； () 证明：对 一切正整数n，有 12 1117 4 n aaa . 参考答案 1C 【解析】由题得 11 |1x|1|1 22 U Mx xxNxC Mxx或 所以 U C MN 1 |1 2 xx,故选 C. 2B 【解析】若 33 0ab，则0ab，有 22 0ab，必要性成立； 若 22 ab，当 2,1ab 时， 3 8a 3 1b，充分性不成立； 所以 “ 22 ab” 是“ 33 0ab” 的必要不充分条件. 本题选择B 选项 . 3B 【解析】根据题意得到原图是三棱锥，底面为等腰直角三角形，高为1，故得到体积为： 故答案为： B。 4A 来源 学科网 ZXXK 5B 【解析】 1 sin() 34 ， 1 sin()coscos 32364 ， 2 2 17 cos(2)cos2()2cos ()121 36648 选 B 6D 【解析】由题设直线 20(00)axbyab， 过圆心21C， 即22ab 12112141 222444 222 ba ab ababab 故选D 7A 8D 【解析】 1718 0,0,SS 9910 170,90 ,aaa且 910 0,0,aa数列 n a为递减数列 , 1239 ,a a aa为正 , 1011 ,aa, 为负 , 12317 ,S S SS为正 , 1819 ,SS为负 , 912 129 , SSS aaa 为正 , 1011 1011 , SS aa 为负 , 12391239 ,SSSS aaaa , 9 9 S a 最大 . 故选： D 9D 【解析】法1：因为1，所以,A B P三点共线 . 如图（ 1），当P在,A B之间时（含,A B两点）， OA在OP 的投影的取值范围是0,1； 如图（2），当P在BA的延长线上时 （不含A点），OA在 OP 的投影的取值范围是 5 ,1 5 （当OP接近于平行AB时， OA在OP 的投影无限接近于 5 5 ）； 如图（3） ， 当P在AB的延长线上时 （不含A点），OA在OP的投影的取值范围是 5 ,0 5 （当OP接近于平行AB时， OA在OP 的投影的无限接近于 5 5 ）； 综上， OA在OP 的投影的取值范围是 5 ,1 5 . 法 2：不妨设O为坐标原点，0,1A，2,0B，则2 ,Pu，也就是2 1,P . 而 OA 在 OP 上的 投影为 2 2 · 4 1 OAOP OP .令 2 2 4 1 f ， 如果 0，则 2 2 22 2 584 485411,0ftttt，所以 2 1f也就是 1f，所以2 2 01 4 1 ；当0时，2 2 0 4 1 ；当0时， 2 22 485411,0ftttt， 所 以 2 5f也 就 是5f， 所 以 2 2 5 0 5 4 1 . 综上， ·OAOP OP 的取值范围为 5 ,1 5 . 10.D 点睛：处理平面向量的有关问题时，先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题 中的向量等式蕴含三点共线，因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当 我们无法挖掘向量等式隐藏的几何意义时（或者根本没有几何意义），我们就从坐标的角度 把向量问题转化为函数问题. 11 1 8 来源 学科网 【解析】将 2 yax化为 21 xy a ，由题意，得 1 2 4a ，即 1 8 a . 128 【解析】由于 357 ,a a a 正负相同 ,根据等比数列的基本性质有 537 8aaa. 134 【解析】 如图所示， 作出线性约束条件满足的平面区域是三角形OAB内部包括边界， 当直线2txy 与直线20xy重合时，目标函数2zxy取得最大值0，当直线2txy经过可行域 中的点2, 1A时，目标函数2zxy取到最小值 min 2214,zz的最大值 与最小值之和为4，故答案为4. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数 最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最 后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14等腰 【解析】由余弦定理得 222 2 2 acb ac ac ,化简得 22, baab,所以为等腰三角形. 154 【解析】 椭圆 22 1 43 xy 的左右焦点分别为F1 ，F 2，a=2， 来源:Z_xx_k.Com 过焦点 F1的直线交椭圆于 M（x1 ，y 1）， N（x2 ， y 2）两点， MNF2的内切圆的面积为 ， MNF 2内切圆半径 r=1 MNF 2面积 S= 1 2 × 1× （MN+MF2+MF2）=2a=4， 故答案为： 4 点睛：这个题目考查了椭圆的几何性质的应用；其中重点考查了焦三角形的应用；椭圆的焦 三角形周长为：2a+2c，和焦半径有直接联系，关于焦三角形的顶角当顶点在椭圆的上顶点时 顶角最大，可结合三角形的面积公式和余弦定理得证. 1614 【解析】根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=13,因为AB平面BCD故得到 1,14,5,ABADAC 三角形ABC 为直角三角形，三角形ACD 也为直角三角形， 故球心在AD 的中点上，球的半径为 1414 ,414 24 V 故答案为：14. 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切 点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关 系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径 )与该几何体 已知量的关系，列方程(组)求解 . 17 18（ 1）1,16；（ 2）1, 141, 18，,418yx或414yx. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由导数的几何意义可得' 21213fa， 2826fab，解方程可得 ,a b的值；（ 2）设切点的坐标为 00 ,xy，由两直线垂 直的条件，斜率之积为1，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，进而可得切线方程. 试题解析：（1） 3 fxxaxb的导数 2 '3fxxa， 由题意可得' 21213fa，2826fab， 解得1a，16b. （2）切线与直线 1 3 4 yx 垂直， 切线的斜率4k. 设切点的坐标为 00 ,xy， 则 2 00 '314fxx， 0 1x. 由 3 16fxxx，可得 0 1 1 1614y ，或0 1 1 1618y . 则切线方程为4114yx或4118yx. 即418yx或414yx. 19（ ） ，;（ ）（ ）， 【解析】试题分析：（1），令 即可得减区间； （2）由（）易知在上单调递增 ，上单调递减，求最值即可得值域； （3）由得，由余弦定理得，结合即可得解 . 试题解析： （ ） 令， 得 所以单调减区间为：. （ ）当时 由（）易知在上单调递增 ，上单调递减 . ，则 在上值域为 （ ） 又，则， 由余弦定理，得 即 ， ，得或（舍） ， 20（）见解析;（） 21 7 .（） 2 3 . 【解析】 试题分析： （） 证明 AD 平面 POB ，即可证明AD PB；（） 证明 PO 底面 ABCD ， 建立空间直角坐标系，求出平面DEQ的法向量，平面DQC的法向量，利用向量的夹角公式， 即可求得结论；（）求出平面DEQ 法向量，利用PA 平面 DEQ ，即 10PA n ，从而可得结 论 解析： （）取AD中点O,连接,OP OB BD. 因为PAPD,所以POAD. 因为菱形ABCD中, 60BCD,所以ABBD. 所以BOAD. 因为BOPOO,且,BO PO平面POB,所以AD平面POB. 所以ADPB. （）由（）可知,BOAD POAD, 因为侧面PAD底面ABCD,且平面PAD底面ABCDAD,所以PO底面ABCD. 以O为坐标原点 ,如图建立空间直角坐标系Oxyz.