2019届高三第二次模拟测试数学(理)试题.pdf

第卷 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知复数1zi，则 2 2z zz （） A-1 B1 Ci Di 2. 设全集(3,)U，集合 2 |142Axx，则 U C A（） A(3,2) 3,) B(2,2)3,) C(3,2( 3,) D2,2( 3,) 3. 某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8 ，0.7 ，0.6 ，只有通过前一天才 能进入下一关，且通过每关相互独立. 一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为 （） A0.56 B0.336 C 0.32 D0.224 4.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知sin20sinabCB， 22 41ac， 且8cos1B，则b（） A6 B4 2 C3 5 D7 5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体 积为（） A4 B5 C6 D7 6. 若函数 2 21,1 ( ) 1,1 x x f x xaxx 在R上是增函数，则a的取值范围为（） A2,3 B2,) C1,3 D1,) 7. 记不等式组 2 22 20 xy xy y ，表示的平面区域为，点P的坐标为( , )x y. 有下面四个命题： 1 p：P，xy的最小值为6； 2 p：P， 22 4 20 5 xy； 3 p：P，xy的最大值为6； 4 p：P， 222 5 2 5 5 xy. 其中的真命题是（） A 1 p， 4 p B 1 p， 2 p C 2 p， 3 p D 3 p， 4 p 8. 若 (12 ) n x x 的展开式中 3 x的系数为80，其中n为正整数，则 (12 ) n x x 的展开式中各项系 数的绝对值之和为（） A32 B81 C 243 D256 9. 我国古代数学名著九章算术里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田 七亩，价五百. 今并买一顷，价钱一万. 问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1 亩价值 300 钱；坏田 7 亩价值 500 钱. 今合买好、 坏田 1 顷，价值 10000 钱 . 问好、坏田各有多少亩？” 已知 1 顷为 100 亩，现有下列四个程序框图，其中S的单位为钱，则输出的x，y分别为此 题中好、坏田的亩数的是（） A B C D 10. 若仅存在一个实数(0,) 2 t，使得曲线C：sin()(0) 6 yx关于直线xt对称， 则的取值范围是（） A 1 7 ,) 3 3 B 4 10 ,) 33 C 1 7 ( , 3 3 D 4 10 (, 33 11. 设正三棱锥PABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径为R，若二面角PABC的 正切值为 35，则 H R （） A5 B6 C7 D 8 12. 设双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左顶点与右焦点分别为A，F，以线段AF为 底边作一个等腰AFB，且AF边上的高hAF. 若AFB的垂心恰好在的一条渐近线 上，且的离心率为e，则下列判断正确的是（） A存在唯一的e，且 3 (,2) 2 e B存在两个不同的e，且一个在区间 3 (1, ) 2 内，另一个在区间 3 (,2) 2 内 C存在唯一的e，且 3 (1,) 2 e D存在两个不同的e，且一个在区间 3 (1, ) 2 内，另一个在区间 3 (,2) 2 内 第卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上. 13. 在平行四边形ABCD中，若 ADACBA，则 14. 若圆C： 221 () 2 xyn m 的圆心为椭圆M： 22 1xmy的一个焦点， 且圆C经过M 的另一个焦点，则圆C的标准方程为 15. 若 2 2cos () 422 13sin()，,(0,) 2 ，则 tan tan 16. 已知集合 1 | 2 Mx x， 32 |310AxMxxa， |20BxMxa， 若集合AB的子集的个数为8， 则a的取值范围为 三、解答题：共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60 分. 17. 已知数列 n a， n b的前n项和分别为 n S， n T，21 n nn ba，且 12 22 n nn STn. （1）求 nn TS； （2）求数列 2 n n b 的前n项和 n R. 18. 某大型超市在2018 年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3 个红球， 3 个黄球和1 个 蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3 个小球，每位顾客每次抽 完奖后将球放回抽奖箱. 活动另附说明如下： 凡购物满100（含 100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； 凡购物满188（含 188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； 若取得的3 个小球只有1 种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10 元的红包； 若取得的3 个小球有3 种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5 元的红包； 若取得的3 个小球只有2 种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包 . 抽奖活动的组织者记录了该超市前20 位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所 示的茎叶图 . （1）求这 20 位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到 整数部分）； （2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为X，求X的分布列及数学期望，并计算 这 20 位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平 均值 . 19. 如图，在各棱长均为2 的正三棱柱 111 ABCABC中，D，E分别为棱 11 AB与 1 BB的中点， M ，N为线段 1 C D上的动点，其中，M更靠近D，且 1 MNC N. （1）证明： 1 AE平面 1 AC D； （2） 若NE与平面 11 BCC B所成角的正弦值为 10 20 ， 求异面直线BM与NE所成角的余弦值. 20. 已知0p，抛物线 1 C： 2 2xpy与抛物线 2 C： 2 2ypx异于原点O的交点为M，且 抛物线 1 C在点M处的切线与x轴交于点A， 抛物线 2 C在点M处的切线与x轴交于点B，与 y轴交于点C. （1）若直线1yx与抛物线 1 C交于点P，Q，且2 6PQ，求OP OQ； （2）证明：BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为定值. 21. 已知函数 2 ( )3 x f xex，( )91g xx. （1）比较( )fx与( )g x的大小，并加以证明； （2）当0xa时，45( ) x xexf xa，且 2 (3)350 m memm(02)m， 证明：0am. （二）选考题：共10 分. 请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分 . 作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问 的小题号 . 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 2 3 3 2 3 3 x t t y t （t为参数，且0t） ，以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为4cos. （1）将曲线M的参数方程化为普通方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M与曲线C交点的极坐标(0,02 ). 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数( )413f xxx. （1）求不等式( )2f x的解集； （2）若直线2ykx与函数( )fx的图象有公共点，求k的取值范围 . 高三数学详细参考答案（理科） 一、选择题 1-5: ABDAC 6-10: ACCBD 11、12：CA 二、填空题 13. 2 14. 22 (1)4xy 15. 2 16. 51 , 1)( 1, ) 28 三、解答题 17. 解： （1）依题意可得 11 3ba， 22 5ba，21 n nn ba， nn TS 1212 ()() nn bbbaaa 2 (222 ) n n 1 22 n n. （2）2 nnn SST() nn TS 2 nn， 2 2 n nn S， 1 n an. 又 21 n nn ba，2 n n bn. 1 22 n nn bn ， n Rn 2 12 () 222 n n ，则 11 22 n Rn 231 12 () 222 n n ， 11 22 n Rn 21 111 () 2222 nn n ， 故 1 11 22 2 1 1 2 n n Rn 2 2 22 nn nn n. 18. 解： （1）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为 1 (101102104108109 11 110112115188189200) 1438 131 11 . （2）X的可能取值为2，5，10， (10)P X 2 7 22 35C ， (5)P X 11 33 2 7 9 35 C C C ， (2)P X 21 34 2 7 224 35 C C C ， 则X的分布列为 X2 5 10 P 24 35 9 35 2 35 故 249 ()25 3535 E X 2113 10 3535 . 这 20 位顾客中，有8 位顾客获得一次抽奖的机会，有3 位顾客获得两次抽奖的机会， 故共有 14 次抽奖机会 . 所以这 20 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为 113 1445.2 35 元. 19. 解： （1）证明：由已知得 111 ABC为正三角形，D为棱 11 AB的中点， 111 C DAB， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA底面 111 ABC，则 11 AAC D. 又 1111 ABAAA， 1 C D平面 11 ABBA， 11 C DA E. 易证 1 AEAD，又 1 ADC DD， 1 A E平面 1 AC D. （2）解：取BC的中点O， 11 BC的中点 1 O，则AOBC， 1 OOBC， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则(0,1,0)B，(0,1,1)E， 1(0, 1,2) C， 3 1 (,2) 22 D， 设 11 C NC D 33 (,0) 22 ， 则 11 NEC EC N 33 (0,2,1)(,0) 22 33 (,2, 1) 22 ， 易知(1,0,0)n是平面 11 BCC B的一个法向量， cos,NE n 2 3 2 365 10 20 ，解得 1 3 . 3 3 (, 1) 62 NE， 11 2C MC D 3 (,1,0) 3 ， 11 BMBCC M 3 (, 1,2) 3 ， ， cos,NE BM 13 2 62 1016 33 11 10 40 ， 异面直线NE与BM所成角的余弦值为 11 10 40 . 20. （ 1）解：由 2 1 2 yx xpy ，消去y得 2 220xpxp. 设P，Q的坐标分别为 11 (,)xy， 22 (,)xy， 则 12 2xxp， 12 2x xp. 2 11PQ 2 (2)4( 2 )2 6pp ，0p，1p. 1212 OP OQx xy y 1212 (1)(1)x xxx 1212 21x xxx4211. （2）证明：由 2 2 2 2 ypx xpy ，得2xyp或0xy，则(2,2)Mpp. 设直线AM： 1 2(2 )ypkxp，与 2 2xpy联立得 22 11 24(1)0xpk xpk. 由 222 111 416(1)0p kpk，得 2 1 (2)0k， 1 2k. 设直线BM： 2 2(2 )ypkxp，与 2 2ypx联立得 22 22 24(1)0k ypypk. 由 22 222 416(1)0pp kk，得 2 2 (1 2)0k， 2 1 2 k. 故直线AM：22(2 )ypxp，直线BM： 1 2(2 ) 2 ypxp， 从而不难求得( ,0)A p，( 2 ,0)Bp，(0,)Cp， 2 BOC Sp， 2 3 ABM Sp，BOC的面积与四边形AOCM的面积之比为 2 22 1 32 p pp （为定值） . 21. （ 1）解：( )( )f xg x. 证明 如下： 设( )( )( )h xf xg x 2 391 x exx，'( )329 x h xex为增函数， 可设 0 '()0h x，'(0)60h，'(1)370he， 0 (0,1)x. 当 0 xx时，'( )0h x；当 0 xx时，'( )0h x. min0 ( )()h xh x 0 2 00 391 x exx， 又 0 0 3290 x ex， 0 0 329 x ex， 2 min000 ( )2991h xxxx 2 00 1110xx 00 (1)(10)xx. 0 (0,1)x， 00 (1)(10)0xx， min ( )0h x，( )( )fxg x. （2）证明：设 ( )45( ) x xxexf x 2 (3)45(0) x xexxx， 令'( )(2)(2)0 x xxe，得 1 ln 2x， 2 2x， 则( )x在(0,ln 2)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)上单调递增 . 2 (2)92e，设( )2(ln 22)tt， 2 (3)350 m memm(02)m， 2 (3)45 m memmm(02)m，即()mm (02)m. 当0at时，( )(0)2xa，则45( ) x xexf xa. 当tam时， min ( )( )xa，45( ) x xexf xa，( )aa，t am. 当2ma或2a时，不合题意. 从而0am. 22. 解： （1） y t x ， 2 3 3 x y x ，即3(2)yx， 又0t， 2 3 30 x ，2x或0x， 曲线M的普通方程为3(2)yx（2x或0x）. 4cos， 2 4cos， 22 4xyx，即曲线C的直角坐标方程为 22 40xxy. （2）由 22 3(2) 40 yx xxy 得 2 430xx， 1 1x（舍去）， 2 3x， 则交点的直角坐标为(3, 3)，极坐标为(23,) 6 . 23. 解： （1）由( )2f x，得 1 222 x x 或 14 02 x 或 4 282 x x ， 解得05x，故不等式( )2f x的解集为0,5. （2）( )413f xxx 22 ,1 0,14 28,4 x x x xx ， 作出函数( )f x的图象，如图所示， 直线2ykx过定点(0,2)C， 当此直线经过点(4,0)B时， 1 2 k； 当此直线与直线AD平行时，2k. 故由图可知， 1 (, 2),) 2 k.