数列大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练.pdf
专题 08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的 性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度 中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学2019 届高三上学期第四次月考数学（理） 试卷）设数列 n a的前n项和， 且 123 ,1,a aa成等差数列 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 1 n a 的前 n 项和 n T，求使得成立 的n的最小值 . 【答案】（1）2 n n a（ 2）10 （2）由（ 1）可得 11 2 n n a ，所以， 由，即21000 n ，因为，所以10n，于是使得 成立的n的最小值为10. 2、 （宁夏长庆高级中学2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列 n a的公差为d，点 (,) nn a b在函数( )2 x f x的图象上（ * nN） 。 （1）若 1 2a，点 87 (,4)ab在函数( )f x的图象上，求数列 n a的前n项和 n S； （2） 若 1 1a， 函数( )f x的图象在点 22 (,)ab处的切线在x轴上的截距为 1 2 ln 2 ， 求数列 n n a b 的前n项 和 n T . 【答案】（1）（2） （2）由 函数( )f x的图象在点 22 (,)a b处的切线方程为 所以切线在x轴上的截距为 2 1 ln 2 a，从而，故 2 2a 从而 n an，2 n n b， 2 n n n an b 所以 故。 3、 （辽宁省辽河油田第二高级中学2019 届高三上学期期中考试数学（文）试题）设 nS为数列n a的前项和， 已知 1 0a ，n N （1）求 1 a， 2 a ； （2）求数列 na的通项公式； （3）求数列 n na的前n项和 【答案】（1）1，2 （2） 1 2 n n a （3） （3）由（ 2）知 1 2 n n nna，记其前n项和为 n T ， 于是 得 从而 4、 （湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019 届高三 12 月联考数学 （理） 试题） 已知数列 n a的前n项 和 n S满足，且1 1 a。 （1）求数列的通项公式 n a； （2）记， n T为 n b的前 n项和，求使 n Tn 2 成立的 n的最小值 . 【答案】（1） 12nan （2）5 （2）由（ 1）知， ， 由 n Tn 2 有 24 2 nn ，有6)2( 2 n，所以5n， n的最小值为5. 5、 （黑龙江省哈尔滨市第六中学2019 届高三12 月月考数学（理）试题）已知数列 n a满足 1 2a，且 ， * nN. （1）设 2 n n n a b，证明：数列 n b为等差数列，并求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）把 2 n nn ab代入到，得， 同除 1 2 n ，得 1 1 nn bb， n b为等差数列，首项 1 1 1 2 a b，公差为1，. （2）由，再利用错位相减法计算得： . 。 6、（安徽省肥东县高级中学2019 届高三 11 月调研考试数学（理）试题）已知数列 n a满足： 1 1a， . （1）设 n n a b n ，求数列n b 的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和nS. 【答案】 （1） （2） （2）由（）可知，设数列 1 2 n n 的前n项和 n T 则 。 7、 （广东省中山一中、仲元中学等七校2019 届高三第二次联考（11 月）数 学（理）试题）已知数列 n a为 公差不为0的等差数列 , 满足 1 5a, 且 2930 ,aa a成等比数列 . （1）求 n a 的通项公式； （2） 若数列 nb满足（nN）, 且1 3b, 求数列 1 n b 的前n项和 n T. 【答案】 （1） 23 n an （2） 对 1 3b上式也成立 , 所以, 即, 所以. 8、 （江西 省玉山县一中2019 届高三上学期期中考试数学（理）试卷）数列 n a 中，8 1 a，2 4 a，且 满足，)( * Nn （1）设，求 n S； （2）设，)( * Nn，)( * Nn，是否存在最大的正整数m，使得 对任意 * Nn均有 32 m Tn成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1） （2）7 从而 故数列 Tn是单调递增数列，又因是数列中的最小项， 要使恒成立 ，故只需成立即可， 由此解得m 8，由于 m Z * ， 故适合条件的m的最大值为7 9、 （辽宁省沈阳市东北育才学校2019 届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）已知数列 n a满足 N （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设以2为公比的等比数列 n b满足N ） ， 求数列 的前n项和 n S 【答案】 （1） 2 43 n an （2） 【解析】（1）由题知数列 3 n a是以2为首项，2为公差的等差数列， . 10、 （江西省南康中学2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 12 nn aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】 （1） 1 2 n （2） 21 21 n n 【解析】 （1）当时，得当时，有， 所以即，满足时， 所以是公比为2，首项为1 的等比数列，故通项公式为 11、已知数列 an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN* （1）若nbn ）1（，求 5 a； （2）若bn1（k） 2bn（k）对2, 1k均成立，数列an的前n项和为Sn （i ）求数列 an 的通项公式； （ii ）若k，tN * ，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值 【答案】 （1）9 5 a （2） （i ） 1 2 n n a； （ii ）k2，t3 【解析】 （1）因为，所以， 所以9 5 a. （2） （i ）因为bn1（k） 2bn（k） ，得， 令k1,， k2， 由得， +得， +得 nn aa2 1 ， 又01 1 a， 所 以 数列 n a是 以1为 首项 ， 2为公 比 的 等比 数 列 ，所 以 1 2 n n a 12、 （江苏省盐城市2019 届高三上学期期中考试）已知正项数列 n a的首项 1 1a，前n项和 n S满足 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b 是公比为4 的等比数列，且也是等比数列，若数列 + n n a b 单调 递增，求实数的取值范围； （3）若数列 n b、 n c都是等比数列，且满足 nnn abc，试证明：数列 n c中只存在三项 . 【答案】 （1） nan （ 2） 2 3 （3）见解析 【解析】 （1），故当 2n 时，两式作差得： ， 由 n a为正项数列知，即 n a为等差数列，故nan。 （2）由题意，化简得 3 1 1 b，所以，所以 ， 由题意知 恒成立，即3 1 3n恒成立，所以133，解得 2 3 ； 13、 （浙江省诸暨中学2019 届高三期中考试题） 已知数列 n a，满足1 1 a， 2 3 2 a， （1）证明：为等比数列并求 n a的通项公式； （2） n S为数列 n a的前n项和，是否存在Ntr,)(tr使得 tr SSS, 1 成等差数列， 若存在求 出tr,， 不存在，请说明理由。 【答案】 （1）（2）不存在 （2） , 1 1 S, , . 等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的 tr,，使得 tr SSS, 1 成等差数列 . 14、 （浙江省诸暨中学2019 届高三期中考试题）设数列 n a满足： （1）. 求数列 n a的通项公式； （2）. 设，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】 （1） n n a 3 1 （2）见解析 （2） 当n为奇数时， . 当n为偶数时， . 15、 （河北省衡水中学2019 届高三上学期三调考试数学（文）试卷）已知数列中， . （1）求的通项公式； （2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成 立，求的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）. 所以数列是以 3 为公比，以为首项的等比数列， 从而； （2）， . ，两式相减得 ， . ， 若 为偶数，则， 若 为奇数，则， . 16、 （湖南省长沙市雅礼中学2019 届高 三上学期月考 （一）数学（理）试题）已知是等比数列， 满足， 且成等差数列 . （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求正整数的值， 使得对任意均 有. 【答案】（1）（2）5. 得： ， 所以， 则. 由 得：当时，； 当时，； 所以对任意，且均有故 k=5.
