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求函数值域的几种方法 【摘要】 函数是中学数学中最重要概念之一，是中学数学的重点内容，也是难点所在。诸 多实际应用的最值问题与求函数值域密切相关，而由于常见函数的分类有几种，形式多样， 如何正确选择求值域的方法一直都是中学数学关注的问题。函数值域的求解没有通性通法， 只能根据函数表达式的特征采用不同的方法，文章在此介绍目前求函数值域的几种常见方法 以及几种常见错误。 【关键词】函数 定义域 值域 方法 定义域、值域和对应法则是函数现代定义的三要素，在这三要素中对应关系和值域起决 定作用，而值域则是由定义域和对应法则共同确定的。当我们研究函数的值域的时候，既要 重视对应法则的作用，也要特别重视定义域对值域的制约作用。如何确定函数的值域，这是 大多数学生都会感到头疼的问题，因为它所涉及到的知识面比较广，方法也是灵活多样。 一、值域的概念及基本函数的值域 1. 值域的概念 函数中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域，也就是函数在定义域中因变量所有值 的集合。 2. 基本函数的值域 (1) 一次函数0abkxy的定义域为 R, 值域为 R； (2) 二次函数0 2 acbxaxy的定义域为 R，当0a时 a bac 4 4 , 2 ；当0a时； 值域为, 4 4 2 a bac ； (3) 反比例函数 0k x k y的定义域为0xx，值域为0yy； (4) 指数函数10aaay x 且的定义域为 R，值域为0yy； (5) 对数函数10logaaxy a 且的定义域为0xx，值域为 R； (6) 正、 余弦函数的定义域为R， 值域为1 ,1； 正切函数的定义域为Zkkxx, 2 ， 值域为 R；余切函数的定义域为Zkkxx, 值域为 R。 二、确定函数值域的几种常见的方法 1. 直接观察法 通过对函数的定义域、 对应法则的观察， 再结合函数的解析式， 可以直接推出)(xfy的 取值范围。 例 1：求函数253xy的值域 解：有算术平方根的性质可知， 053x ， 故有 2253x ， 函数253xy的值域为，2. 例 2：求函数 2 1 x y的值域 解：02x，即当2x时， 0 2 1 x ， 函数 2 1 x y的值域为，00. 小结：算术平方根具有双重非负性： （1）被开方数的非负性，（2）值的非负性；分式函 数确保分母不为零。直接观察法对于一类函数值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 2. 配方法 如果一个函数是二次函数又或者经过换元可以写成形如cxbfxafxF)()()( 2 的函数， 那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。 例 3：求函数106 2 xxy，4 ,2x的值域 解：将函数的右边进行配方可得13 2 xy， 4,2x，50132 2 x， 即当4,2x时，502y. 故函数106 2 xxy的值域为50,2. 例 4：求函数1sin4cos 2 xxy的值域 解：变形函数得2sin4sin 2 xxy， 整理可得62sin 2 xy， 1sin1x，53y， 故原函数1sin4cos 2 xxy的值域为5 ,3. 小结：求函数值域不仅得重视对应关系的应用，还要特别注意定义域对值域的制约作用， 配方法是数学解题的一种重要方法。 3. 换元法 通过简单的代数换元法或是三角函数换元法，把无理数函数、指数函数、对数函数等超 越函数化为简单的代数函数来求函数的值域。 例 5：已知函数值域)(xf的值域为 2 3 4，试求)(21)(xfxfy的值域 解： 2 3 4)(，xf， 2 3 )(4xf， 有3)(212xf. 令)(21xft，则3 ,2t， 故有 2 1 2 1 )(txf，tttgy 2 1 2 1 )(， 即11 2 1 )( 2 ttgy. 3,2t， 2 1 1y， 即函数)(21)(xfxfy的值域为 2 1 1，. 小结：将无理数函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为二次函数，通过求出二次 函数的最值，从而来确定原函数的值域。此种方法体现的是换元、化归的思想方法，其应用 相当广泛。 4. 最值法 若函数)(xfy是在闭区间ba,上的连续函数，则可以求出函数)(xfy在ba,内的极 值，并且与边界值)()(bfaf、作比较从而得到函数的最大值、最小值，最终确定函数的值域。 例 6：若x 为实数，试求函数53 2 xxy的值域 解：x为实数，0x，即,0x. 又 4 29 2 3 53 2 2 xxxy且在其定义域上是增函数， 当0x时有5 min y， 因此函数53 2 xxy的值域为，5. 例 7：求函数 2 28xxy的值域 解：由028 2 xx得函数的定义域为24xx， 二次函数的对称轴方程为1x， 当1x时（2,4x） ，3 max y；当24xx或，0 min y， 函数 2 28xxy的值域为3 ,0. 小结：此种方法是将函数的值域问题转化为函数的最值。另外，对于开区间，若是存在 最值，也可通过这种方法求的值域。 5.判别式法 把函数)(xfy同解转化为关于 x的二次方程0),(yxF，再利用0确定y的范围，即 得原函数的值域。此种方法适用于函数式中含有分式和根式。 例 8：求函数 65 6 2 2 xx xx y的值域 解：由函数式可得函数定义域为32xxx或， 由 65 6 2 2 xx xx y变形得，016151 2 yxyxy. 当1y时，此方程无解； 当1y时，112415 2 yyy, 整理得，05 2 y， 检验5y时，有024246 2 xx，即02 2 x. 322xxx或，5y， 故函数 65 6 2 2 xx xx y的值域为15yyy且. 例 9：求函数xxxy2的值域 解：由函数式可得函数定义域为2,0， 将 x移至左边后两边平方得xxxy2 2 ， 整理得0122 22 yxyx，则有 2 2 814yy. 要使方程有解则需0，即0814 22 yy， 整理得2121y， 又2,0x，02xxxy， 故原函数的值域为210yy. 小结：把函数关系化为二次方程0,yxF， 由于方程有实数解， 因此判别式为非负数， 故可求得函数的值域，该方法常适用于形如 22 2 2 11 2 1 cxbxa cxbxa y（ 1 a 、 2 a 不同时为零）及 edxcxbaxy 2 的函数，解题中还要特别注意二次项系数是否为零的讨论。 6. 反函数法 假如函数)(xfy在其定义域内存在反函数，则可以利用函数值域和反函数的定义域之 间的关系，把求函数)(xfy的值域转化为求反函数的定义域。 例 10：求函数 23 34 x x y的值域 解：由原函数式可得 43 32 y y x， 则其反函数为 43 32 x x y，且其定义域为 4 3 xx， 故原函数 23 34 x x y的值域为, 4 3 4 3 ,. 小结：利用此种方法求值域的前提条件是原函数存在反函数，该方法体现的是逆向思维， 是数学解题的重要方法之一。 7. 函数有界性法 若函数)(xfy是由一些有界的初等函数复合而成的，则可以用y来表示这个初等函数， 再利用初等函数的有界性得到一个关于y的不等式，解不等式即能求出)(xfy的值域。 例 11：求函数 12 5 1 x y的值域 解：由原函数式可得1 1 5 2 y x ， 02 x 且01y， 有01 1 5 y 且1y，即4y且1y， 函数 12 5 1 x y的值域为, 11 ,4. 例 12：求函数 1 2 1 1 2 1 x x y的值域 解：由原函数可得 y y x 1 1 2 1 ， 0 2 1 x ，0 1 1 y y ，即11y， 原函数 1 2 1 1 2 1 x x y的值域为1 , 1. 小结：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性来确定原函数的值域。 8. 不等式法 利用基本不等式abba2 22 与abba20ba、是求函数值域的常用技巧之一； 有 时也需要求出原函数的反函数，再根据自变量的取值范围构造不等式来求解函数值域。 例 13：求函数 x x y 1 的值域 解： x x x x y 11 2， 当且仅当1x时，等号成立， 函数 x x y 1 的值域为，2. 小结：利用基本不等式abba2求函数值域时应满足三个缺一不可条件（1） 0,0 ba； （2）abba或为定值；（3）取等号成立的条件是ba。不等式是重要的解题 工具，它的应用十分广泛，是数学解题的方法之一。 9. 数形结合法 假若所给函数有较明显的几何意义，则可借助几何法，通过函数图象，把求函数值域的 问题化为求直线的斜率、距离的范围或直线在坐标轴上的截距等问题。 例 14：求函数 22 13xxy的值域 解：如图 1 所示 原函数可化简为13xxy， 上式可以看作是数轴上点xC到定点1A、3B之间的距离之和 . 由上图可知，当C点在线段 AB上时， 13xxy4AB; 当C点在线段 AB的延长线或是反向延长线时， 413ABxxy. 故函数 22 13xxy的值域为，4. 例 15：求函数 1 1 1 2 x x x y的值域 解：令 1 2 x u10u， 1 1 x x v10v，则1 22 vu表示的是一段圆弧， 而vuy表示直线yuv在v轴上的截距， 如图 2 所示， 当直线过10，时，截距1 min y; 当直线为圆弧的切线时，截距 max y2 . 从而函数 1 1 1 2 x x x y的值域是21yy. 例 16：求函数 x x y sin 2cos 的值域 解：将 x x y sin 2cos 变为 x x y sin0 cos2 ， 此式可看作是定点P2,0于动点 Qxxcos,sin连线的斜率 . 而动点 Q的轨迹参数方程为 xv xu cos sin ，即1 22 uv， 其图形是一单位圆，如图3 所示， 当过点20，P的直线与单位圆相切时斜率达到最大或最小， 过点20，P，可设直线为2kxy. 将原点0 ,0O代入上式得1 1 2 2 k ，即3 2 k， 解得3k，故函数 x x y sin 2cos 的值域为33yy. 小结：例 15、例 16 的解题关键是作一个恰当的变换，如bvauy（ba、为不为 0 的 常数）或 au bv y（ba、为常数） 。数学是研究数与形的关系的一门学科，因此数形结合在 数学学习中经常用到。 10.分离常数法 分子、分母是一次函数的有理数函数，则可利用分离常数法，此类问题一般也可以用反 函数法来求解。 例 17：求函数 x x e e y 3 2 的值域 解： xx x x x ee e e e y 3 6 2 3 632 3 2 ， 又0 3 6 x e ，2y， 故函数 x x e e y 3 2 的值域为,22,. 小结：求形如 dcx bax y（dcba、是常数，且0ac）这一类型函数的值域，可直接 运用此方法，解题关键是通过拼凑将分子进行常数分离。 11.复合函数法 对于复合函数ufy，xvu，可先求出xvu的值域充当ufy的定义域，继而 确定ufy的值域。 例 18：求函数 x x e e y 3 的值域 解：设 x et3 3t，则原函数可变形为， tee e y xx x 3 1 3 3 1 3 33 3t. 3t，1 3 t ，则有0y， 函数 x x e e y 3 的值域为，0. 例 19：求函数242log 2 2 1 xxy的值域 解：函数可看作是由函数uy 2 1 log与242 2 xxu复合而成， 412242 2 2 xxxu，即4u， 又当4u时，2log 2 1 uy， 函数242log 2 2 1 xxy的值域为,2. 三、求函数值域中常见的几种错误 1. 忽略中间变量的取值范围 例 20：已知函数xfy满足 11 1 1 2 2 x xf，试求函数的值域 错解：令tx 2 1，则有 1 1 t tf， 1t，0 1 1 t ， 故原函数的值域为0yy. 剖析：在求函数解析式中忽视了中间变量t的取值范围。 事实上，在换元时令tx 2 1，由110 2 x，且01t， 函数 1 1 t tf的定义域为1 ,0，则其值域为1,， 故原函数的值域为1,. 2. 盲目使用判别式 例 21：求函数 xx xx y 3 6 2 2 的值域 错解：03 2 xx，函数的定义域为,00 , 33,:I. 将原函数变形得06131 2 xyxy， 若1y，则有Ix3, 故1y，即上式方程有实数根， 05312413 22 yyy， 故原函数的值域为, 11 ,. 剖析：在变形的过程中，x的范围被扩大了，这样求出的y的范围就可能也被扩大了。 事实上，当 3 5 y时，Ix3， 3 5 y. 为避免上述解法的失误，本题可采用以下解法， xxx xx xx xx y 2 1 3 32 3 6 2 2 ， 故所求函数的值域为 3 5 1yyy且. 3. 误用反函数法（不同解变形） 例 22：求函数1log 2 3 xxy的值域 错解：将原函数变形得13 2 xx y ，即13 2 xx y ， 将上式左右平方的13 2 2 xx y ，整理得 2 33 yy x， 故原函数的反函数为 2 33 xx y， 由Rx，则所求原函数的值域为,. 剖析：从 13 2 xx y 变形到 2 33 yy x的过程并不是等价变形的， 其中y的范围扩大 了，故所求函数的自变量的取值不是原函数的值域。 事实上，1log 2 3 xxy的定义域为，1，而1 2 xx在，1上单调递 增，11 2 xx，故01log 2 3 xxy，因此所求值域为, 0. 4. 使用最值法考虑不周 例 23：求函数 2 4 2 x x y的值域 错解：xx44 2 ，且有44 2 x， 2 1 4 2 2 x x ，即 2 1 y， 故所求函数值域为 2 1 ,. 剖析：当2y代入原函数中得 2 4 2 2 x x ，整理得0822 2 xx， 0608244，上式方程无解 . 可见，上面的解答是错误的 . 错误的原因在于只求得了函数的最大值，却没有考虑 函数是否存在最小值。 事实上，将函数变形为042 2 yxyx，Rx，0164 2 y， 解得 2 1 2 1 y，故所求原函数的值域为 2 1 , 2 1 . 5. 使用配方法求解不当 例 24：求函数5 1 x xy0x的值域 错解：3 1 5 1 2 x x x xy， 又0 1 2 x x，3y， 故所求函数值域为，3. 剖析：当，36y时，有5 1 6 x x，整理得01 2 xx， 0341，上式方程无解 . 可见，在函数定义域内，无论x取何值，函数值都不可能等于6，因此上面的解 答是错误的，错误的原因在于0 1 2 x x在0x内无解。 事实上，7 1 5 1 2 x x x xy，0 1 2 x x， 且当0 1 2 x x时 有解，7y，即所求函数值域为，7. 四、结语 函数是中学数学中的重要基本概念之一，求函数值域又是函数的一个重点，它与三角函 数、方程、导数、代数式、不等式等知识有着密切联系，而且应用广泛。上述诸多方法是初 等函数中求值域比较常见的方法，所举的例子也是学生经常遇到的，从中可以比较系统全面 学习这板块的知识。不同的特征的题目其解决方法也不同，这些方法若使用得当，就可使问 题迅速解决；若使用不当，往往就会导致谬误。因此遇到求函数值域的问题应首先考虑有哪 几种基本方法可以求解，关键在于平时的积累，题目做多了，遇到某种题型我们自然可以在 多种方法中选出最优方法去解决。 参考文献 1 郝长江， “求函数值域的几种常用方法” ， 数学天地，青海教育， 2011 年第 1-2 期， 60 页。 2 徐盛怀， “求函数值域的十二法” ， 数学学习与研究，2010 年第 15 期，73 至 74 页。 3 祥凤， “求函数值域的几种常用方法” ， 中学生数理化，2010年第 1 期，80 页。 4 马英， “谈职专数学中求函数的几种方法” ， 数学学习与研究，2011 年第 5 期，63 至 64 页。 5 刘勇军， “求函数值域的几种常用方法” ， 高中数学数与学，2011 年第 6 期，25 至 26 页。 6 范运灵， “例谈求函数值域的几种方法” ， 数理化解题研究，2011 年第 8 期，13 至 14 页。 7 戈秀红， “关于函数值域的求法” ， 中学生数理化，2008年第 5 期，48 至 49 页。 8 杨青利， “谈函数值域的主要求法” ， 中学生数理化，2006年第 9 期，26 至 27 页。 9 陈庆华、廖先忠，“求函数值域的几种常见方法” ， 中学生理科月刊，2005 年第 1 期，8 至 9 页。 10 周社社， “例说求函数值域时常见的两类错误解法”， 数学教学研究，2006 年第 3 期，41 至 42 页。 11 黎贵红， “剖析求函数值域的几种常见错误” ， 数学教学研究，2000 年第 1 期，24 至 25 页。