江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2016届高三上学期期中抽测数学试题(含选做题).pdf

江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市2015-2016学年度第一学期高三 期中抽测数学试题 数学 参考公式： 1.样本数据 n xxx, 21 的方差,)( 1 2 1 2 n i i xx n s其中; 1 1 n i i x n x 2.锥体的体积公式：, 3 1 ShV锥体 其中 S是锥体的底面积，h 是高 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1已知集合,11xxA则ZA 2.若复数iimiz)(2)(1(为虚数单位）是纯虚数，则实数 m的值为 3数据 10，6，8，5， 6 的方差 2 s 4抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2， 3，4 的正四面体，记底面上的数字分别为yx,，则 y x 为整数 的概率是 5 已 知双 曲线)0(1 2 2 2 m m y x的 一 条渐 近 线方 程为 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共4 页包含填空题 （第 1 题第14 题） 、解答题 （第 15 题第20 题） 本卷满分160 分，考试时间为120 分钟考试结束后请将答题卡交回 2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用05 毫 米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚 4如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 1, 2 nS 8n Y 输出 S 结束 开始 S S 1 1 1nn 第 6 题图 , 03yx则m 6执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 7底面边长为2，侧棱长为 3的正四棱锥的体积为 . 8在等比数列 n a中，若),1(4, 14531aaaa则 7 a 9已知),2, 1(, 2, 1baba则向量ba,的夹角为 10.直线01yax被圆02 22 aaxyx截得的弦长为2，则实数 a的值是 11将函数,2)( 2 xxxf则不等式)2()(log2fxf的解集为 12将函数xy2sin的图象向左平移)0(个单位，若所得图象过点) 2 3 , 6 ( ，则的 最小值为 13 在ABC 中 ，,3,2 ACAB角A的 平 分 线 与AB边 上 的 中 线 交 于 点 O ， 若 ),(RyxACyABxAO则yx的值为 14已知函数exexf x (2)( 1 为自然对数的底数） ，,3)( 2 aaxxxg若存在实数 21,x x，使得, 0)()( 21 xgxf且, 1 21 xx则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14 分） 在锐角ABC 中，角CBA,所对的边分别为,6,4,cbcba且.32sinBa （1）求角 A的大小； （2）若D为 BC 的中点，求线段AD的长 . 16. （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥ABCDP中，ACBDACCDAB,/与BD交于点,O 且平面 PAC平面EABCD ,为棱 PA上一点 . （1）求证：;OEBD （2）若,2,2EPAECDAB求证：/EO平面.PBC 17.（本小题满分14 分） 已知数列 n a满足),(2 * 21 RkNnkaaa nnn ，且.4, 2 531 aaa （1）若,0k求数列 n a的前n项和; n S （2）若, 1 4 a求数列 n a的通项公式. n a 18. （本小题满分16 分） 如图， 墙上有一壁画， 最高点 A离地面 4 米，最低点B离地面 2 米，观察者从距离墙)1(xx 米，离地面高)21(aa米的 C 处观赏该壁画，设观赏视角.ACB （1）若,5.1a问：观察者离墙多远时，视角最大？ （2）若, 2 1 tan当a变化时，求x的取值范围 . P E AB C D O 第 16 题图 a 2 4 x A B C （第 18 题图） 19. （本小题满分16 分） 如图，椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的上、下顶点分别为BA,，右焦点为,F 点P在椭圆 C 上，且.AFOP （1）若点P坐标为),1,3(求椭圆 C 的方程； （2）延长 AF 交椭圆 C 于点Q，若直线 OP 的斜率是直线BQ的斜率的2 倍，求椭圆C 的 离心率； （3）求证：存在椭圆C ，使直线AF平分线段.OP 20.（本小题满分16 分） 已知函数., 1cos)( 2 Raaxxxf （1）求证：函数)(xf是偶函数； （2）当, 1a求函数)( xf在,上的最大值和最小值； （3）若对于任意的实数 x恒有,0)(xf 求实数 a的取值范围 . O A P F B Q x y 第 19 题图 徐州市 20152016 学年度高三第一学期期中质量抽测 数学 (附加题 ) 21.【选做题 】本题包括DCBA,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内 作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4 1：几何证明选讲 （本小题满分10 分） 如图，AB是 O 的直径， CB 与 O 相切于点EB,为线段 CB 上一点，连结, AEAC分别 交 O 于GD,两点，连结 DG 并延长交 CB 于点,F若,3,1,3GAEGEFEB求线段 CE 的长 . B.选修 42 ：矩阵与变换 （本小题满分10 分） 已知矩阵, 12 11 , 1 21 B x A向量 y 2 ，若,BA求实数yx,的值 . C.选修 4 4 ：坐标系与参数方程（本小题满分10 分） 已知直线 l 的参数方程为t ty tx ( 2 2 2 2 1 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为,cos2sin2若直线 l 与曲线 C 交于BA,两点， 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共4 页包含填空题 （第 1 题第14 题） 、解答题 （第 15 题第20 题） 本卷满分160 分，考试时间为120 分钟考试结束后请将答题卡交回 2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置 3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用05 毫 米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚 4如需作图须用2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗 5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 A F B G D O EC 第 21A 图 求线段 AB的长 . 【选做题 】第 22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分 .请在答题卡指定区域内作答，解答题 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10 分） 已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2 名男生、 3 名女生，乙组有3 名男生、 1 名女 生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2 名成员参加某项活动. （1）求选出的4 名选手中恰好有1 名女生的选派方法数； （2）记 X 为选出的4 名选手的人数，求X 的概率分布和数学期望. 23. （本小题满分10 分） 已知抛物线:C)0(2 2 ppyx过点)1, 2(，直线 l 过点)1,0(P与抛物线 C 交于BA,两点， 点A关于 y轴的对称点为 ' A，连接BA ' . （1）求抛物线 C 标准方程； （2）问直线BA ' 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. B P A ' A O （第 23 题图） x y 徐州市 2015 -2016学年度高三年级摸底考试 数学 I 参考答案及评分标准 一填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 11,0,1223 16 5 4 1 2 5 3 3 617 4 3 84 9 2 3 10211(0,1)(4,)12 6 13 5 8 142,3 二解答题：本大题共6 小题， 1517 每小题 14 分， 1820 每小题 16 分，共计90 分 请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤 15 （ 1）由正弦定理，得 sinsinaBbA， ,2 分 因为 b4，sin2 3aB，所以 3 sin 2 A，,4 分 又 0 2 A，所以 3 A,6 分 （2）若 b4， c6，由余弦定理得 a 2b2c22bccos A 16362×24× 1 2 28， 所以 a 2 7 ,8 分 又因为sin2 3aB，所以 21 sin 7 B，从而 2 7 cos 7 B， ,10 分 因为D为BC的中点，所以BDDC7 在 ABD由余弦定理，得 222 2cosADABBDAB BD B ， 即 2 2 7 36726719 7 AD，所以，19AD ,14 分 16 （ 1）因为平面PAC底面ABCD，平面PAC底面ABCDAC，BDAC， BD平面 ABCD，所以 BD平面PAC，又因为 OE 平面 PAC ， 所以BDOE,6 分 （2）因为/ABCD，2ABCD，AC与BD交于O，所以:1: 2CO OACDAB， 又因为2AEEP，所以 :CO OAPE EA，所以/EOPC，又因为PC 平面PBC， EO平面PBC，所以/EO平面PBC ,14 分 17 （ 1）当 0k 时， 12 2 nnn aaa，即 211nnnn aaaa， 所以，数列 n a是等差数列,2 分 设数列 n a公差为 d ，则 1 1 2, 264, a ad 解得 1 2, 4 . 3 a d ,4 分 所以， 2 1 (1)(1)428 2() 22333 n n nn n Snadnnn ,6 分 （2）由题意， 4352aaak，即 24k ，所以2k ,8 分 又 43221 22326aaaaa，所以 2 3a，由 12 22 nnn aaa， 得 211 ()()2 nnnn aaaa， 所以，数列 1nn aa是以 21 1aa为首项，2为公差的等差数列 所以 1 23 nn aan， ,10 分 当2n时，有 12(1)3nnaan， 于是， 12 2(2)3 nn aan， 23 2(3)3 nn aan， , 32 223aa ， 21 2 13aa， 叠加得， 1 2(12(1)3(1),(2) n aannn， 所以 2(1) 23(1)241,(2) 2 n n n annnn， ,13 分 又当1n时， 1 2a也适合 所以数列 n a的通项公式为 2* 41, n annnN ,14分 18 （ 1）当1.5a时，过C作AB的垂线，垂足为D， 则0.5BD，且ACDBCD ， 由已知观察者离墙x米，且1x， 则 0.52.5 tan,tanBCDACD xx ， ,2 分 所以，tantan()ACDBCD 22 2.50.52 222 5 2.5 0.51.251.25 55 11 2 4 xxx x xxx ， 当且仅当 5 1 2 x时，取“” ,6 分 又因为tan在(0,) 2 上单调增，所以，当观察者离墙 5 2 米时，视角最大,8 分 （2）由题意得， 24 tan,tan aa BCDACD xx ，又 1 tan 2 ， 所以 2 21 tantan() (2) (4)2 x ACDBCD xaa ，,10 分 所以 22 684aaxx， 当12a时， 2 0683aa，所以 2 043xx， 即 2 2 40 430 xx xx ，解得01x或34x ，,14 分 又因为1x，所以34x， 所以x的取值范围为3,4,16 分 19 （ 1）因为点(3,1)P，所以 1 3 OP k， B a A C D 4 2 x （第 18 题图） 又因为 AFOP， 1 1 3 b c ， 所以，3cb，所以 22 34ab ， ,2 分 又点(3,1)P在椭圆上，所以 22 31 1 ab ， 解之得 221313 , 34 ab 故椭圆方程为 22 1 1313 34 xy ,4 分 （2）由题意，直线AF 的方程为1 xy cb ，与椭圆 C方程 22 22 1 xy ab 联立消去y，得 22 2 22 2 0 acx x a cc ， 解得0x或 2 22 2a c x ac ，所以Q点的坐标为 222 2222 2() (,) a cb ca acac ，,7 分 所以直线BQ的斜率为 22 22 22 22 () 2 BQ b ca b bc ac k a ca ac ， 由题意得， 2 2cbc ba ，所以 22 2ab， ,9 分 所以椭圆的离心率 2 2 2 1 2 cb e aa ,10 分 （3）因为线段OP 垂直 AF，则直线 OP 的方程为 cx y b ， 与直线 AF 的方程1 xy cb 联立，解得两直线交点的坐标( 22 22 , b c bc aa ) 因为线段OP 被直线 AF 平分，所以P 点坐标为 ( 22 22 22 , b cbc aa )， ,12 分 由点 P 在椭圆上，得 4224 642 44 1 b cb c aa b ， 又 222 bac ,设 2 2 c t a ，得 22 4(1)1ttt(*) ,14 分 令 2232 ( )4(1)14()1f ttttttt， 2 '( )4(221)0fttt，所以函数( )f t 单调增，又(0)10f，(1)30f，所以， ( )0f t在区间 (0,1) 上有解，即 (*) 式方程有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线 AF 垂直平分 ,16 分 20（1）函数( )f x 的定义域为R， 因为 22 ()cos()()1cos1( )fxxaxxaxf x ， 所以函数( )f x 是偶函数,3 分 （2）当1a时， 2 ( )cos1f xxx，则'( )sin2fxxx ， 令( )'( )sin2g xfxxx ，则'( )cos20gxx，所以'( )fx 是增函数， 又'(0)0f，所以'( )0fx ，所以( )f x 在0， 上是增函数， 又函数( )f x 是偶函数， 故函数( )f x 在， 上的最大值是 2 2，最小值为0 ,8 分 （3）'( )sin2fxxax ， 令 ( )'( )sin2g xfxxax，则'( )cos2g xxa， 当 1 2 a时，'( )cos20gxxa，所以'( )fx 是增函数， 又'(0)0f，所以'( )0fx ，所以( )f x 在0，+) 上是增函数， 而(0)0f，( )f x 是偶函数， 故( )0f x 恒成立 ,12 分 当 1 2 a时，'( )cos20gxxa，所以'( )fx 是减函数， 又'(0)0f，所以'( )0fx ，所以( )f x 在(0，+) 上是减函数， 而(0)0f，( )f x 是偶函数，所以( )0f x，与( )0f x 矛盾，故舍去 ,14 分 当 11 22 a时，必存在唯一 0 x(0， )，使得 0 '()0gx， 因为'( )cos2g xxa 在0， 上是增函数， 所以当 x(0，x0)时，'( )0g x ，即'( )fx 在 (0，x0)上是减函数， 又'(0)0f，所以当x(0，x0)时，'( )0fx ， ，即( )f x 在(0，x0)上是减函数， 而(0)0f，所以当 x(0，x0)时，( )0f x ，与( )0f x 矛盾，故舍去 综上，实数a 的取值范围是 1 2，+) ,16 分 江苏徐州、淮安、连云港、宿迁四市 2015-2016 学年度第一学期高 三期中抽测数学试题数学参考答案及评分标准 21 【选做题】 A因为1,3EGGA, 所以4EAEGGA, 又因为 2 EG EAEB， 则2EB，又3EBEF ，所以 2 3 EF， 4 3 FB，,4 分 连结 （BD，则ABDAGD，90ABDDAB ， 90CCAB ， 所以CAGD，所以180CDGE ， 所以,C E G D四点共圆,8 分 所以 2 FBFCFEFDFG，所以 8 3 FC ， 2CECFEF ,10 分 B 22 2 y xy A， 2 4 y y B，,4 分 由 A= B 得 222 24 yy xyy ， ，解得 1 4 2 xy，,10 分 C由2sin2cos，可得 2 2 sin 2 cos ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2y2 2y2x， 标准方程为 (x1) 2(y1)22 直线 l 的方程为化成普通方程为xy10,4 分 圆心到直线l 的距离为 111 2 2 2 d， 所求弦长 2 2 2 2()6 2 L ,10 分 D要证)()( a b faabf，只需证|1|abab， 只需证 22 )() 1(abab，,6 分 而0)1)(1(1)() 1( 22222222 bababaabab， 从而原不等式成立,10 分 22 （ 1）选出的 4 名选手中恰好有一名女生的选派方法数为 1121 2333 21CCCC种, 3 分 （ 2）X的可能取值为0,1,2,3,5 分 2 3 22 54 31 (0) 10620 C P X C C ， 1121 2333 22 54 23337 (1) 10620 C C CC P X C C ， 21 33 22 54 333 (3) 10620 C C P X C C ， (2)1(0)(1)(3)P XP XP XP X 9 20 ,8 分 X的概率分布为： X 0 12 3 P 1 20 7 20 9 20 3 20 179317 ()0123 2020202010 E X,10 分 23 （ 1）将点(2,1)代入抛物线C 的方程得，2p， 所以，抛物线C 的标准方程为 2 4xy ,4 分 （2）设直线l 的方程为1ykx，又设 1122 (,),(,)A x yB xy，则11(,)Axy， 由 2 1 , 4 1, yx ykx 得 2 440xkx，则 2 1212 16160,4,4kxxxxk， 所以 22 21 2121 2112 44 ()4 A B xx yyxx k xxxx ， 于是直线A B 的方程为 2 221 2 () 44 xxx yxx，,8 分 所以， 2 21221 2 ()1 444 xxxxx yxxx， 当0x时，1y，所以直线A B过定点(0,1),10 分