江苏省扬州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)Word版含答案.pdf

2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试 数 学 （理科）试题 （ 全卷满分160 分，考试时间120 分钟 ） 20156 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置） 1已知集合0Ax x， 1 0 1 2B，则AB 2命题： “xR，30 x ” 的否定是 3已知复数(1)zi i （i为虚数单位） ，则 |z 4“ 4 ” 是“ tan 1” 的 条件 （从“ 充分不必要 ” 、“ 必要不充分 ” 、“ 充 要 ” 、“ 既不充分也不必要” 中，选出适当的一种填空） 5正弦曲线sinyx在 6 x处的切线的斜率为 6方程 24 1111 xx CC的解为 7四位外宾参观某校，需配备两名安保人员六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定 是两名安保人员，则六人的入门顺序共有种不同的安排方案（用数字作答） 8若函数( )yf x为定义在R 上的奇函数，且在区间(, 0 上是减函数，则不等式 (ln)(1)fxf的解集为 9设数列 n a满足 1 3a， 2 1 22 nnn aana，1,2,3,n，通过计算 2 a ， 3 a ， 4 a ，试归 纳出这个数列的通项公式 n a 10将函数 xy2sin 的图象沿x轴向左平移 6 个单位， 纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不 变 )后得到函数)(xfy图象 ,对于函数)(xfy有以下四个判断： 该函数的解析式为2sin(2) 6 yx； 该函数图象关于点(,0) 3 对称； 该函数在 6 ,0上是增函数； 若函数axfy)(在 2 , 0上的最小值为3,则32a 其中，正确判断的序号是 （写出所有正确判断的序号） 11已知定义在R 上的奇函数( )f x 和偶函数( )g x 满足关系 1 ( )( )( ) 3 x f xg x，则 (1)f (0)g （从 “ ” ，“ ” ，“ ”中，选出适当的一种填空） 12已知( )coscos()2cos sin(2) 2 f xxxxx ，若 2 ( ) 4 f x ， 0 x，则x的值为 13 已 知 函 数 2 13 ,1, ) 22 ( ) 3 21,3) 2 x xx f x x 若 存 在 1 x， 2 x， 当 12 13xx时 ， 12 ()()f xf x，则 2 1 ()f x x 的取值范围是 14若实数x，y满足 2 3 2 1 log 2cos()lnln0 8cos ()33 ye xyy xy ，其中e为自然对 数的底数，则(cos6 ) y x的值为 二、解答题 （本大题共6 小题， 计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （本小题满分14 分） 已知： 4 3 sin 7 ， 3 3 sin() 14 ，且 0 2 求：（1） tan2的值； （2）角的大小 16 （本小题满分14 分） 设命题p：函数 2 ( )lg(1)f xxax的定义域为R；命题q：函数 2 ( )21f xxax 在 ( , 1 上单调递减 （1）若命题 “pq” 为真， “pq” 为假，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式 ()(5)0()xmxmmR 的解集为M；命题p为真命题时，a的取 值集合为N当 MNM 时，求实数m的取值范围 17 （本小题满分15 分） 已知函数 22 ( )sin2sincos3cosf xxxxx （1）求函数( )fx 的最小正周期； （2）当 511 , 2424 x时，求函数 ( )f x 的值域； （3）当 97 (,) 88 x时，设经过函数 ( )f x 图象上任意不同两点的直线的斜率为k ，试判断 k 值的符号，并证明你的结论 18 （本小题满分15 分） 如图，折叠矩形纸片ABCD，使 A 点落在边BC 上的 E 处，折痕的两端点M、 N 分别在 线段AB和AD上（不与端点重合）已知2AB， 4 3 3 BC，设AMN （1） 用表示线段AM的长度，并求出的取值范围； （2）试问折痕 MN 的长度是否存在最小值，若存在，求出此时cos的值；若不存在，请说明 理由 E B C D M N A （第 18 题图） 19 （本小题满分16 分） 已知函数 3 ( )logf x x （1）若(21)( )gxf x ，求函数( )g x 的解析式，并写出( )g x 的定义域； （2）记( )()h xf xa 若|( ) |yh x在 3 1, 2 上的最小值为1，求实数a的值； 若 1 (,)A xa y， 2 ( ,)B x y， 3 (3,)Ca y为( )yh x 图象上的三点，且满足 1 y ， 2 y ，3y 成等差 数列的实数x有且只有两个不同的值，求实数a的取值范围 20 （本小题满分16 分） 已知函数 2 ( )51f xxx，( ) x g xe （1）求函数 ( ) ( ) f x y g x 的极小值； （2）设函数'( )( ) ()yfxa g xaR ，讨论函数在(,4 上的零点的个数； （3）若存在实数0,2t，使得对任意1,xm ，不等式 ( )( )xfxtg xx恒成立，求正整 数m的最大值 2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试 数 学 （理科）试题 （全卷满分40 分，考试时间30 分钟 ） 20156 21 （本小题满分10 分） 已知 4 1 () n x x 展开式中各项的二项式系数和为64 （1）求n的值； （2）求展开式中的常数项 22 （本小题满分10 分） 我市某商场为庆祝“ 城庆 2500 周年 ” 进行抽奖活动已知一抽奖箱中放有8 只除颜色外， 其它完全相同的彩球，其中仅有5 只彩球是红色现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取 三次，拿到红色球的个数记为 X （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X” 的概率； （2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望()E X 23 （本小题满分10 分） 如图，正四棱柱 1111 ABCDA BC D 中， 1 2AAAB （1）点 P为棱 1CC 上一动点，求证：11 APB D ； （2）求 1 AD 与平面1ACD 所成角的正弦值 24 （本小题满分10 分） 设 n a 为下述正整数N 的个数： N 的各位数字之和为 n，且每位数字只能取1，3 或 4 （1）求 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 的值； （2）对*nN，试探究 222nn aa与 21 2 n a 的大小关系，并加以证明 P D1 C1 B1 A1 D C B A （第 23 题图） 2015 年 6 月高二期末调研测试 理 科 数 学 试 题 参 考 答 案 一、填空题： 1 1,02xR ， 3 0 x 324充分不必要5 3 2 64 或 5 748 8( ,)e9 21n10 1112 7 12 13 4 (,2 3 14 1 8 二、解答题： 15解： （1） 4 3 sin 7 ， 0 2 1 cos 7 ， tan4 3 3 分 8 3 tan2 47 7 分 （2） 3 3 sin() 14 且0 2 0 2 且 13 cos() 14 9 分 113433 31 coscos() 7147142 （求出 3 sin 2 也可） 12分 0 2 3 14分 16解： （1）若p真：即函数 2 ( )lg(1)f xxax的定义域为R 2 10xax对xR 恒成立 2 40a，解得：22a； 2 分 若q真，则1a2 分 命题 “pq” 为真， “pq” 为假p真q假或p假q真 22 1 a a 或 22 1 aa a 或 ，解得：21a或2a7 分 （2） MNM NM9 分 (5,),( 2,2)MmmN 52 2 m m ，解得： 23m 14 分 17解： 22 ( )sin2sincos3coscos2sin 222sin(2)2 4 f xxxxxxxx （或( )2cos(2)2 4 fxx）4分 （1） T；6 分 （2） 511 , 2424 x时， 2 2 643 x，则 1 sin(2),1 42 x ( )f x 的值域为 2 22,2 2 10分 （3） k 值的符号为负号； 97 (,) 88 x， 5 22 24 x， ( )f x 在 97 (,) 88 上是减函数12分 当 12 97 ,(,) 88 xx，且12 xx 时，都有 12 ()()f xf x，从而经过任意两点 11 (,()xf x和 22 (,()xf x的直线的斜率 12 12 ()() 0 f xf x k xx 15 分 18解： （1）设 AMx，由图形的对称性可知： AMME x ， 2BME， 2BMx 2 cos(2 ) x x ，整理得： 2 21 1cos2sin x3 分 (0,) 2 又 AMAB ANAD ，即 2 2 1 2 sin 14 3 tan sin3 ， 2 sin 2 3 sin2 2 ， 42 2 2 33 ，解得：(,) 43 6 分 （2）在 Rt AMN 中， 23 11 cossincoscoscos x MN ，(,) 43 8 分 令 12 cos ,(,) 22 tt， 3 112 ,(,) 22 MNt tt ，设 312 ( ),(,) 22 h tttt10分 233 '( )133()() 33 h tttt，令'( )0h t，则 3 3 t或 3 3 t（舍） ， 列表得： t 13 (,) 23 3 3 32 (,) 32 '( )h t 0 ( )h t增极大值减 max 32 3 ( )() 39 h th当 3 cos 3 时， MN 有最小值为 3 3 2 （直接对求导或直接研究函数 3 112 ,(,) 22 MNt tt 皆可） 答：当 3 cos 3 时， MN 存在最小值为 3 3 2 15 分 19解： （1）令21tx，0x，则1t且 1 2 t x (21)( )gxf x 3 1 ( )log () 2 t g t 3 1 ( )log () 2 x g x，定义域为 (1,) ；4分 （2） 3 ( )log ()h xxa()xa 在 3 3 3 log ()(1) |log () | log ()(1) xaxa yxa xaaxa 函数在( ,1)a a上单调减，在(1,)a 上单调增；6 分 （）当 3 11 2 aa，即 1 1 2 a时，当 3 2 x时， min3 3 log ()1 2 ya， 7 1 6 a（舍） （）当 3 11 2 a，即 1 0 2 a时，当1xa时， min 0y（舍） （）当11a，即0a时，当1x时， min3 log (1)1ya2a 综上：2a； （ 7 6 a不舍扣 2 分）10分 1 y ， 2 y ， 3 y 成等差数列2132y yy ，即 333 2log ()loglog 3xax 化简得： 22 (23)0xaxa（*）13分 满足条件的实数x有且只有两个不同的值 （ *）在 ( ,)a上有两个不等实根，设 22 ( )(23)H xxaxa 22 22 (23)40 23 2 ( )(23)0 aa a a H aaaaa ，解得： 3 0 4 a16分 20证： （1） 2 ( )51 ( ) x f xxx y g xe ， x R 则 2 76(6)(1) ' xx xxxx y ee ， 令'0y，得 16x；令'0y，得1x或6x（或列表求） 函数 ( ) ( ) f x y g x 在 ( ,1) 单调减，在（1,6）单调增，在 (6,) 上单调减， 函数 ( ) ( ) f x y g x 在1x处取得极小值 3 e ；3 分 （2）'( )( )250 x yfxa g xxa e， 0 x e 25 x x a e ，5 分 设 25 ( ) x x h x e ，则 27 '( ) x x hx e ，令'( )0h x，则 7 2 x 25 ( ) x x h x e 在 7 (,) 2 上 单 调 减 ， 在 7 (,4) 2 上 单 调 增 ， 且x，( )h x， 7 2 7 ( )2 2 he， 4 (4)3he 当 4 3ae或 7 2 2ae 时， ( )h xa 有 1 解，即 '( )( )yfxa g x 在 (,4 上的零点的个数 为 1 个； 当 7 4 2 23eae时，( )h xa 有 2 解，即'( )( )yfxa g x 在 (,4 上的零点的个数为2 个； 当 7 2 2ae时，( )h xa 有 0 解，即'( )( )yfxa g x 在 (,4 上的零点的个数为0 个 8 分 （3）0 x e，存在实数0,2t，使对任意的1,xm ，不等式 ( )( )xfxtg xx 恒成立， 存在实数0,2t，使对任意的1,xm ，不等式( ) ( ) x txf x g x 恒成立 min0t 对任意的1,xm ，不等式 1 0( ) ( ) f x g x 恒成立10分 解法（一）：设 2 1 ( )( )51 ( ) x H xf xexx g x ，1,)x '( )25 x Hxex，设( )'( )25 x F xHxex， '( )20 x Fxe在 1,) 上恒成立( )'( )25 x F xHxex在 1,) 上单调减 而 11 '(1)2530He e ， 2 '(2)10He， 3 '(3)10He 0 (2,3)x，使得 0 '()0Hx，当 0 1xx 时，'( )0Hx，当 0 xx 时，'( )0Hx ( )H x 在 0 (1,)x上单调增，在 0 (,)x上单调减 1 (1)30He， 2 (2)50He， 3 (3)50He， 4 (4)30He， 5 (5)10He且5x，( )(5)0H xH（若不交代函数( )H x 的单调性，扣4 分） 正整数m的最大值为4 16 分 解法（二）：即对任意的1,xm ，不等式 2 (51)1 x xxe恒成立 设 2 ( )(51) x G xxxe ，1,)x， 22 '( )(25)(51)(34)(4)(1) xxxx Gxxexxexxexxe ， 可求得( )G x 在 (, 1)上 单调增，在( 1,4) 上单调减，在(4,) 上单调增， 则 2 ( )(51) x G xxxe 1,4) 上单调减，在(4,) 上单调增 当4m时，( )max(1)31G xGe恒成立； 当4m时，( )maxmax(1),()G xGG m，(1)31Ge， 4 (4)31Ge，而 5 (5)1Ge； 正整数m的最大值为4 16 分 21解： （1） 01 264 nn nnnCCC 6n；4分 （2） 3 3 6 4 166 4 1 ()() r rrrr r TCxC x x ，7 分 当 3 30 4 r ，即4r时， 4 56 15TC为常数项10分 22 （ 1） 21 53 3 8 15 (2) 28 C C P X C ；4分 （2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3 3 3 53 ()() (),0,1,2,3 88 kkk P XkCk X0 1 2 3 P 27 512 135 512 225 512 125 512 8 分 2713522512515 ()0123 5125125125128 E X 答：数学期望为 15 8 10 分 23解：（1）以D为原点，DA， DC ， 1 DD 所在直线分别为x轴，y轴， z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系Dxyz设1AB，则 D（0，0，0） ，A（1，0，0） ， B（1， 1，0） ， C（ 0，1，0） ，D1（0，0，2） ， A1（1，0，2） ，B1（1，1，2） ，C1（0，1，2） （ 1）设(0,1,)Pm ，则( 1,1,)APm ， 11 (1,1,0)D B 则 110AP D B 11APB D4分 （2） 11 ( 1,1, 2),(1,0,2)ACDA 设平面 1 ACD 的一个法向量( , , )nx y z（第 23 题图） z y x A B C D A1 B1 C1 D1 P 1 1 20 20 n ACxyz n DAxz ，令 1z ，则 2 0 x y ( 2,0,1)n ， | |5n7 分 设 1 AD 与面 1 ACD 所成角的大小为， 1 ( 1,0,2)AD， 1 |5AD 1 44 sin| cos,| 555 ADn， 所以 1 AD 与平面1ACD 所成角的正弦值为 4 5 10 分 24解： （ 1）1n，则1N， 1 1a；2n，则11N， 2 1a； 3n，则111N或3N， 3 2a； 4n，则1111N，13N，31N，4N， 4 4a； 综上： 1 1a， 2 1a， 3 2a， 4 4a2 分 （2）由（ 1）猜想： 21 2 222 n nna aa；3 分 记 12k Nx xx ，其中 1 x ， 2 x ， 1,3,4 k x且 12k xxxn 假定4n， 删去 1 x ， 则当1x 依次取 1， 3， 4 时， 23k xxx 分别等于1n，3n，4n 故当4n时， 134nnnn aaaa5 分 先用数学归纳法证明下式成立： 21221nnn aaa 1n时，由（ 1）得： 312 aaa ，结论成立； 假设 nk 时， 21221kkk aaa； 当1nk时， 23222212222122221 () kkkkkkkkkk aaaaaaaaaa 1nk时，结论成立； 综合， 21221nnnaaa，*nN8 分 再用数学数学归纳法证明下式成立： 21 2 222 n nn a aa 1n时，由（ 1）得： 2 243 a aa ，结论成立； 假设 nk 时， 21 2 222 k kk a aa； 当1nk时， 21 2 22242223212222322212223212221 2 2223212323222123 ()() () k kkkkkkkkkkkkkkk kkkkkkkk aaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaaaa 1nk时，结论成立； 综合， 21 2 222 n nn a aa，*nN10分