湖南师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版).pdf

专业文档 珍贵文档 2016-2017 学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求. 1已知，则 cos= （） A B C D 2已知随机变量 N（3，22） ，若 =2+3，则 D =（） A0 B1 C 2 D4 3通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如表的列联表： 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由公式算得： 附表： P（K 2K 0） 0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 K01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参照附表，得到的正确结论是（） A有 99%以上的把握认为 “ 爱好体育运动与性别有关 ” B有 99%以上的把握认为 “ 爱好体育运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为 “ 爱好体育运动与性别有关 ” D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “ 爱好体育运动与性别无关” 4若定义在R 上的函数为奇函数，则实数a 的值为 （） A1 B0 C 1 D2 5下列命题为真命题的是（） A若 pq 为假命题，则 pq 为真命题 B不存在实数 ， ，使得等式 tan +tan =tan （ + ）成立 专业文档 珍贵文档 C函数 f（x）=ax 2+bx+c 为偶函数的充要条件是 b=0 D若定义在 R上的函数 f（x）满足 f（x）?f（x+1）=1，则 f（x）是一个周期为 1 的函数 6某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则 X的数学期望为（） A100 B200 C 300 D400 7若函数 f（x）=loga（8ax）满足：对任意x1 ，x 2（0，2 （x1 x 2） ，都有 （x 1 x 2） f（x1）f（x2） 0，则实数 a 的取值范围是（） A （0，1） B （1，4） C （1，4D （4，+） 8函数的零点所在的大致区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 9函数的值域为（） A B C （， 0D （， 1 10用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2， ，9 的 9 个小正方形（如 图） ，使得任意相邻 （有公共边的） 小正方形所涂颜色都不相同， 且标号为 “1 、5、 9” 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（） A108 种B60 种C48 种D36 种 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11函数 f（x）=的定义域是 12某纯净水制造厂在净化的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要 使用水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为多少？ （参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 13在ABC中，若ABC最小边为，则ABC最大边的 专业文档 珍贵文档 边长为 三、解答题：本大题共3 小题，共 35 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程 . 14已知全集 U=R，非空集合 （1）当时，求（ ?UB）A； （2）命题 p：xA，命题 q：xB，若 p 是 q 的充分条件， 求实数 a 的取值范围 15设 f（x）=2sin（ x）sinx（sinxcosx ） 2 （）求 f（x）的单调递增区间； （）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）， 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的 值 16已知 aR，函数 f（x）=log2（+a） （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）1； （2）若关于 x 的方程 f（x）+log2（x 2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值； （3）设 a0，若对任意 t，1 ，函数 f（x）在区间 t，t+1 上的最大值与 最小值的差不超过1，求 a 的取值范围 第卷一、选择题：本大题共2 小题，每小题 5 分，共 10分.在每个小题给出的 四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 17已知，且，则 cos sin 的值为（） ABCD 18已知函数，若 abcd，且 f（a）=f（b）=f（c） =f（d） ，则 a+b+c+2d 的取值范围是（） ABC D 专业文档 珍贵文档 二、填空题：本大题共1 小题， 5 分. 19若存在实数 m，n（mn）使得函数 y=a x（a1）的定义域与值域均为 m， n ，则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共3 小题，共 35 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程 . 20现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次， 命中的概率为，命中得 1 分， 没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得 2 分， 没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射 击 （）求该射手恰好命中一次得的概率； （）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX 21在锐角 ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边，且 4sin 2 cos2A= （1）求角 A 的大小； （2）若 BC边上高为 1，求 ABC面积的最小值？ 22已知函数 f（x）=ax+c（a0） ，g（x）=lnx，其中函数 f（x）的图象在点 （1，f（1） ）处的切线方程为y=x1 （）若 a=1，求函数 f（x）的解析式； （）若 f（x）g（x）在 1，+）上恒成立，求实数a 的取值范围； （）证明： 1+（n1） 专业文档 珍贵文档 2016-2017 学年湖南师大附中高二 （下） 期中数学试卷 （理 科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每个小题给出的四个 选项中，有且只有一项符合题目要求. 1已知，则 cos= （） A B C D 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】利用诱导公式化解可得tan 的值，利用同角三角函数关系式可得答案 【解答】 解：由， 则 tan=，即 又 sin2 +cos 2=1 ， 由解得： cos= 故选 A 2已知随机变量 N（3，22） ，若 =2+3，则 D =（） A0 B1 C 2 D4 【考点】 CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据 N（3，22） ，根据正态分布所给的随机变量的均值和方差，根 据方差公式得到 D =4 ，由方差的性质D =D （2 +3）=4D ，可求出 D 【解答】 解： =2+3， D =4D ， 又 D =4 ， D =1 故选 B 专业文档 珍贵文档 3通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如表的列联表： 男女总计 爱好402060 不爱好203050 总计6050110 由公式算得： 附表： P（K 2K 0） 0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 K01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参照附表，得到的正确结论是（） A有 99%以上的把握认为 “ 爱好体育运动与性别有关 ” B有 99%以上的把握认为 “ 爱好体育运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为 “ 爱好体育运动与性别有关 ” D在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “ 爱好体育运动与性别无关” 【考点】 BO ：独立性检验的应用 【分析】根据条件中所给的观测值， 同题目中节选的观测值表进行检验，得到观 测值对应的结果，得到结论有99%以上的把握认为 “ 爱好该项运动与性别有关 ” 【解答】 解：由题意知本题所给的观测值，k2=7.8， 7.86.635， 这个结论有 0.010 的机会出错， 即有 99%以上的把握认为 “ 爱好体育运动与性别有关 ” 故选： A 4若定义在R 上的函数为奇函数，则实数a 的值为 （） A1 B0 C 1 D2 【考点】 3K：函数奇偶性的判断 专业文档 珍贵文档 【分析】 利用奇函数的性质，定义在R上的奇函数 f（0）=0得到关于 a 的方程 解之 【解答】 解：因为函数是定义在R上的奇函数， 所以 f（0）=0，即=0，所以 a=1； 故选 C 5下列命题为真命题的是（） A若 pq 为假命题，则 pq 为真命题 B不存在实数 ， ，使得等式 tan +tan =tan （ + ）成立 C函数 f（x）=ax 2+bx+c 为偶函数的充要条件是 b=0 D若定义在 R上的函数 f（x）满足 f（x）?f（x+1）=1，则 f（x）是一个周期为 1 的函数 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 对于 A，若 pq 为假命题 ? p、q 中至少有一个为假命题，二者均假时 pq 为假，知 A 错误； 对于 B，令 =0，可知 B错误； 对于 C，利用偶函数的定义f（x）=f（x） ，可判断函数 f（x）=ax 2+bx+c 为偶函 数的充要条件是b=0，可知 C正确； 对于 D，由 f（x+1）=，? f（x+2）=f（x） ，即 f（x）是一个周期为2 的函 数，可知 D 错误 【解答】解：对于 A，若 pq 为假命题，则 p、q 中至少有一个为假命题，当p、 q 均为假命题时， pq 为假命题，故 A错误； 对于 B，存在实数 =0，使得等式 tan0+tan0=tan（0+0）成立，故 B错误； 对于 C，函数 f（x）=ax 2+bx+c 为偶函数 ? f（x）=f（x） ，即 ax2bx+c=ax2+bx+c ? 2bx=0，x 不恒为 0，故 b=0，反之亦然， 即函数 f（x）=ax 2+bx+c 为偶函数的充要条件是 b=0，故 C正确； 对于 D，若定义在 R上的函数 f（x）满足 f（x）?f（x+1）=1，即 f（x+1）=， 故 f （x+1）+1 =f（x） ，即 f（x+2）=f（x） ，所以 f（x）是一个周期为 专业文档 珍贵文档 2 的函数，故 D错误； 综上所述，以上命题为真命题的是：C， 故选： C 6某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子， 每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则 X的数学期望为（） A100 B200 C 300 D400 【考点】 CH ：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n 次独立重复试 验的模型 【分析】 首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000 粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数 服从二项分布，即 B又没发 芽的补种 2 个，故补种的种子数记为X=2 ，根据二项分布的期望公式即可求出 结果 【解答】 解：由题意可知播种了1000 粒，没有发芽的种子数 服从二项分布， 即 B 而每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X 故 X=2 ，则 EX=2E =2 ×1000×0.1=200 故选 B 7若函数 f（x）=loga（8ax）满足：对任意x1，x2（0，2 （x1x2） ，都有 （x1x2） f（x1）f（x2） 0，则实数 a 的取值范围是（） A （0，1） B （1，4） C （1，4D （4，+） 【考点】 3F：函数单调性的性质 【分析】根据导数的定义及导数与函数单调性的关系，可知先将函数 f （x） 在 （0， 2 单调递减， f（x）=loga（8ax）转化为 y=logat，t=8ax，两个基本函数，再 利用复合函数的单调性求解 【解答】解：由（x1x2） f（x1）f（x2） 0，即（x1x2）和 f（x1）f（x2） 异号，则0， 专业文档 珍贵文档 函数 f （x）= 0，则 f（x）在（ 0，2 单调递减， 当 0a1 时，则函 y=logat，在（ 0，2 是减函数， 由题设知 t=8ax为增函数，则需 a0，故此时无解； 若 a1，则 y=logat，在（0，2 是增函数，则 t 为减函数， 则需 a0 且 8a×20，解得 1a4， 综上可得实数 a 的取值范围是（ 1，4） 故实数 a的取值范围（ 1，4） 故选： B 8函数的零点所在的大致区间是（ ） A （0，1） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 【考点】 52：函数零点的判定定理 【分析】 利用函数的零点判定定理推出结果即可 【解答】 解：函数，函数是连续减函数， f（2）=1+ln1=10， f（3）= +ln =ln0 因为 f（2）f（3）0， 所以函数的零点所在的大致区间是（2，3） 故选： C 9函数的值域为（） A B C （， 0D （， 1 【考点】 34：函数的值域 【分析】 令 2x=t（t0） ，则=，然后利用导数求得函数的值域 专业文档 珍贵文档 【解答】 解：令 2x=t（t0） ， 则=， y=， 由 y=0，得 t=1 （舍）或 t=1+ 当 t（0，1+）时，y 0，当 t（ 1+，+）时， y 0， y= 在（0，1+）上为增函数，在（ 1+，+）上为减函数 当 t=1+时，y 有最大值为 又当 t 0 +时，y1，当 t +时， y0 =的值域为（ 0， 故选： A 10用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2， ，9 的 9 个小正方形（如 图） ，使得任意相邻 （有公共边的） 小正方形所涂颜色都不相同， 且标号为 “1 、5、 9” 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（） A108 种B60 种 C48 种D36 种 【考点】 D3：计数原理的应用 【分析】 当 1，5，9，为其中一种颜色时， 2，6 共有 4 种可能，其中 2 种 2，6 是涂相同颜色，各有2 种可能共 6 种可能 4，8 及 7，与 2，6 及 3，一样有 6 种可能并且与 2，6，3，颜色无关，当 1，5，9 换其他的颜色时也是相同的情况， 相乘得到结果 【解答】 解：首先看图形中的1，5，9，有 3 种可能， 当 1，5，9，为其中一种颜色时， 专业文档 珍贵文档 2，6 共有 4 种可能，其中 2 种 2，6 是涂相同颜色，各有2 种可能共 6 种可能 4，8 及 7，与 2，6及 3，一样有 6 种可能并且与 2，6，3，颜色无关 当 1，5，9 换其他的颜色时也是相同的情况 符合条件的所有涂法共有3×6×6=108种， 故选 A 二、填空题：本大题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 11函数 f（x）=的定义域是x| 1x2 且 x0 【考点】 33：函数的定义域及其求法 【分析】由分式中的对数式的真数大于0 且不等于 1，根式内部的代数式大于等 于 0，联立不等式组求解x 的取值集合即可得到答案 【解答】 解：由，解得： 1x2，且 x0 函数 f（x）=的定义域是 x| 1x2，且 x0 故答案为： x| 1x2，且 x0 12某纯净水制造厂在净化的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要 使用水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为多少？ （参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 【考点】 5D：函数模型的选择与应用 【分析】 先列出指数关系式，再两边取对数可得答案 【解答】 解：由题意列式（ 120%） n5%，两边取对数得 n 13.4， n14 即至少需要过滤的次数为14 13在ABC中，若ABC最小边为，则ABC最大边的 边长为 专业文档 珍贵文档 【考点】 HP ：正弦定理 【分析】 ABC中，由条件可得0AB，sinA=，可得 a 为最小边， a=，c 为最大边根据 tan（A+B）的值，可得 A+B=，C=，再由正弦定 理求得 c的值 【解答】 解： ABC中，已知 tanA， 0AB，C，sinA=，a 为最小边， a= 再根据 C为最大角，可得边c 为最大边 tan（A+B）=1，A+B=，C= 再由正弦定理可得，即=，求得 c= 故答案为： 三、解答题：本大题共3 小题，共 35 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 算过程 . 14已知全集 U=R，非空集合 （1）当时，求（ ?UB）A； （2）命题 p：xA，命题 q：xB，若 p 是 q 的充分条件， 求实数 a 的取值范围 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；1H：交、并、补集的混合 运算 【分析】 （1）当时，分别求出集合A，B 的等价条件，结合集合的基本运算 进行求解即可 （2）根据 p 是 q 的充分条件，转化为A? B，结合集合的包含关系，建立不等式 关系进行求解即可 【解答】解： （1） 当时，A= x|0= x| 2x ， B=x|0 =x| 专业文档 珍贵文档 x ， 则?UB= x| x或 x， （?UB）A= x|x （2）a 2+2a，B= x| axa2+2 ， 当 3a+12，即 a时，即 A= x| 2x3a+1， p 是 q 的充分条件， A? B， ，即； 当 3a+1=2，即 a= 时，即 A=?，符合题意； 3a+12，即 a时，即 A=x| 3a+1x2 ， 由 A? B 得 a3a+1，且 a2+22，解得a 综上所述 a， 15设 f（x）=2sin（ x）sinx（sinxcosx ）2 （）求 f（x）的单调递增区间； （）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）， 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的 值 【考点】 HJ ：函数 y=Asin（x + ）的图象变换； GL ：三角函数中的恒等变换应 用 【分析】 （）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调 性，求得函数的增区间 （）利用函数y=Asin（x + ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而 求得 g（）的值 【解答】 解： （） f（x）=2sin（ x）sinx（ sinxcosx）2 =2 sin2 x 1+sin2x=2?1+sin2x 专业文档 珍贵文档 =sin2xcos2x+1=2sin（2x ）+1， 令 2k 2x2k +，求得 k xk +， 可得函数的增区间为 k ，k + ，kZ （）把 y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）， 可得 y=2sin（x）+1 的图象； 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+1 的图象， g（）=2sin+1= 16已知 aR，函数 f（x）=log2（+a） （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）1； （2）若关于 x 的方程 f（x）+log2（x 2）=0 的解集中恰有一个元素，求 a 的值； （3）设 a0，若对任意 t，1 ，函数 f（x）在区间 t，t+1 上的最大值与 最小值的差不超过1，求 a 的取值范围 【考点】 3H：函数的最值及其几何意义；73：一元二次不等式； 7J：指、对数不 等式的解法 【分析】 （1）当 a=1时，不等式 f（x）1 化为：1，因此2， 解出并且验证即可得出 （2）方程 f（x）+log2（x2）=0 即 log2（ +a）+log2（x2）=0， （ + a）x 2=1，化 为：ax 2+x1=0，对 a 分类讨论解出即可得出 （3）a0，对任意 t，1 ，函数 f（x）在区间 t，t+1 上单调递减，由题意 可得1， 因此2， 化为：a=g （t） ，t，1 ，利用导数研究函数的单调性即可得出 【解答】 解： （1）当 a=1时，不等式 f（x）1 化为：1， 2，化为：，解得 0x1， 专业文档 珍贵文档 经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1） （2）方程 f（x）+log2（x2）=0 即 log2（+a）+log2（x2）=0，（+a）x2=1， 化为： ax 2+x1=0， 若 a=0，化为 x1=0，解得 x=1，经过验证满足：关于x 的方程 f（x）+log2（x2） =0的解集中恰有一个元素1 若 a0，令=1+4a=0，解得 a=，解得 x=2经过验证满足：关于x 的方程 f （x）+log2（x 2）=0的解集中恰有一个元素 1 综上可得： a=0或 （3）a0，对任意 t，1 ，函数 f（x）在区间 t，t+1 上单调递减， 1， 2， 化为： a=g（t） ，t，1 ， g（t）=0， g（t）在 t，1 上单调递减， t=时，g（t）取得最大值，= a 的取值范围是 第卷一、选择题：本大题共2 小题，每小题 5 分，共 10分.在每个小题给出的 四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 17已知，且，则 cos sin 的值为（） ABCD 【考点】 GI：三角函数的化简求值 【分析】利用平方法求出cossin 的值，根据判断 cos sin 的 专业文档 珍贵文档 值的正负在利用平方后开方可得答案 【解答】 解：， 即（cos +sin ） 2=1+2cossin = ， cossin = ， cos sin =M 0 则（cos sin ）2=M2， 12cossin =M 2 可得： M2= ， M0， M=，即 cos sin = 故选 B 18已知函数，若 abcd，且 f（a）=f（b）=f（c） =f（d） ，则 a+b+c+2d 的取值范围是（） A B C D 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 设 f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=k，推出 a，b 为方程 x2+2x+k=0 的不同 实根，得到 a+b=2，通过| lgc| =| lgd| 推出 1d10，然后求解 a+b+c+2d（1， ） 【解答】 解：不妨设 f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=k， 则：a，b，c，d 为 f（x）=k 的四个不同的实数根， 于是 a，b 为方程 x2+2x+k=0的不同实根，所以a+b=2， 由| lgc| =| lgd| 可知：且由于 0lgd1，可知 1d10，于是 c+2d=2d+（3， ） ， 专业文档 珍贵文档 于是： a+b+c+2d（1，） 故选： B 二、填空题：本大题共1 小题， 5 分. 19若存在实数 m，n（mn）使得函数 y=a x（a1）的定义域与值域均为 m， n ，则实数 a 的取值范围为1a 【考点】 34：函数的值域； 33：函数的定义域及其求法 【分析】 由题意结合函数的单调性可得方程ax=x有两个不同实根m，n，转化为 函数 y=与 y=lna 有两个不同交点，利用导数求得y=的单调性及其最值， 数形结合得答案 【解答】 解：函数 y=a x（a1）为增函数，且其定义域与值域均为 m，n ， 则 am=m，an=n，即方程 ax=x 有两个不同实根 m，n， 由 ax=x，可知 lnx=xlna，即，问题转化为函数y=与 y=lna 有两个不 同交点 令 y=，则 y=， 由 y=0，可得 x= ，可知当 x（0，e）时，y0，当 x（e，+）时，y 0 y= 在（0，e）上单调递增，在（ e，+）上单调递减 结合图象可得 0lna，故 1a 故答案为： 1a 三、解答题：本大题共3 小题，共 35 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验 专业文档 珍贵文档 算过程 . 20现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击一次， 命中的概率为，命中得 1 分， 没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得 2 分， 没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射 击 （）求该射手恰好命中一次得的概率； （）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX 【考点】 CH ：离散型随机变量的期望与方差；C5：互斥事件的概率加法公式； C9：相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 （I）记：“ 该射手恰好命中一次 ” 为事件 A，“ 该射手射击甲靶命中 ” 为事 件 B，“ 该射手第一次射击乙靶命中” 为事件 C ，“ 该射手第二次射击乙靶命中” 为 事件 D，由于 A=B+，根据事件的独立性和互斥性可求出所求； （II）根据题意， X的所有可能取值为0，1，2，3，4，根据事件的对立性和互斥 性可得相应的概率，得到分布列，最后利用数学期望公式解之即可 【解答】 解： （I）记： “ 该射手恰好命中一次 ” 为事件 A，“ 该射手射击甲靶命中 ” 为事件 B， “ 该射手第一次射击乙靶命中” 为事件 C， “ 该射手第二次射击乙靶命中” 为事件 D 由题意知 P（B）=，P（C）=P（D）= 由于 A=B+ 根据事件的独立性和互斥性得 P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（ ）P（ ）+P（ ）P（C）P （ ）+P（ ）P（ ）P（D） =×（1）×（1）+（1）××（1）+（1）×（1）× = （II）根据题意， X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5 根据事件的对立性和互斥性得 专业文档 珍贵文档 P（X=0）=P（）=（1）×（ 1 ）×（ 1 ）= P（X=1）=P（B ）= ×（1）×（ 1 ）= P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1）××（1）+（1 ）×（ 1）×= P（X=3）=P（BC ）+P（B D）=××（1）+×（1）×= P（X=4）=P（）=（1）×× = P（X=5）=P（BCD ）= ××= 故 X的分布列为 X012345 P 所以 E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×= 21在锐角 ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边，且 4sin 2 cos2A= （1）求角 A 的大小； （2）若 BC边上高为 1，求 ABC面积的最小值？ 【考点】 GL ：三角函数中的恒等变换应用；HW：三角函数的最值 【分析】 （1）利用三角形内角和，转化B+C，用诱导公式、降幂公式、倍角公式 化简，得到关于 cosA的方程，求得 cosA，进而求得 A （2）在 RtABD ，RtACD 中，sinB= ，sinC= ，代入三角形面积公式，求得 面积的最值， 只需化简求表达式中分母的最值，将 C用 B表示，利用两角和公式 化简，利用 B的范围求得分母的最值，进而求得面积的最值 【解答】 解： （1）A+B+C= ， sin=sin=cos ， 4sin 2 cos2A= 4cos 2 cos2A= 专业文档 珍贵文档 2（1+cosA ）（ 2cos 2A1）= ， 整理得（ 2cosA 1）2=0， cosA= ， 0A ， A= （2）过点 A 作 ADBC，在 RtABD ，RtACD中，sinB= ，sinC= ， SABC=bcsinA= ×××=， 设 y=4sinBsinC ， 则 y=4sinBsin （B）=2sinBcosB +2sin2B=sin2B+1cos2B=2sin （2B） +1， 0B，0， B，2B， 当 2B=，即 B=时，y有最大值为 3， 此时 S有最小值，为 22已知函数 f（x）=ax+c（a0） ，g（x）=lnx，其中函数 f（x）的图象在点 （1，f（1） ）处的切线方程为y=x1 （）若 a=1，求函数 f（x）的解析式； （）若 f（x）g（x）在 1，+）上恒成立，求实数a 的取值范围； （）证明： 1+（n1） 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函 数的最值 【分析】 （）求导数，利用函数f（x）的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线方程 为 y=x1，求函数 f（x）的解析式； （）若 f（x）g（x）在 1，+）上恒成立，构造新函数，分类讨论，确定