【名校资料】高考数学（理）一轮资源库 第三章 第4讲 导数的综合应用.doc

+二一九高考数学学习资料+第4讲导数的综合应用一、填空题1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_解析 yx381x234，yx281(x>0)令y0得x9，令y<0得x>9，来源:数理化网令y>0得0<x<9，函数在(0,9)上单调递增，在(9，)上单调递减，当x9时，函数取得最大值答案 9万件2设mR，若函数yex2mx有大于零的极值点，则m的取值范围是_解析因为函数yex2mx有大于零的极值点，所以yex2m0有大于零的实根令y1ex，y22m，则两曲线的交点必在第一象限由图象可得2m>1，即m<.答案3设p：f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，q：m，则p是q的_条件解析f(x)x32x2mx1，f(x)3x24xm.由f(x)为增函数得f(x)0在R上恒成立，则0，即1612m0，解得m.故为充分必要条件答案充分必要4若函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为_解析令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，g(x)在R上递增又g(1)f(1)2·(1)40.g(x)0x1.答案(1，)5已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)·(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是_解析结合二次函数图象知，当a>0或a<1时，在xa处取得极小值，当1<a<0时，在xa处取得极大值，故a(1,0)答案(1,0)6有一长为16 m的篱笆要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.解析设矩形的长为x m，则宽为：8x(m)S矩形x(8x)8xx2(x4)21616.答案167一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离为S27t0.45t2米，则列车刹车后_秒车停下来，期间列车前进了_米解析S(t)270.9t，由瞬时速度v(t)S(t)0得t30(秒)，期间列车前进了S(30)27×300.45×302405(米)答案304058挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)，如果截面积为20 m2，当宽为_时，使截面周长最小解析：如图所示，设半圆的半径为r，矩形的高为h，则截面积S2rh20，截面周长C2r2hr2rr2rr r.设C(r)，令C(r)0，解得r2 .故当r2 时，周长C最小，即宽为4 时，截面周长最小答案：4 9将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_解析如图所示，设ADx m(0x1)，则DEADx m，梯形的周长为x2(1x)13x (m)，又SADEx2(m2)，梯形的面积为x2(m2)，s×(0x1)，s×，令s0得x或3(舍去)，当x时，s0，s递减；当x时，s0，s递增故当x时，s的最小值是.答案10设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析若x0，则不论a取何值，f(x)0显然成立；当x>0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x<0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.答案4二、解答题11请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800.所以当x15 cm时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也就是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.12某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器为V，则由题意，得Vr2lr3.又V，故lr.由于l2r，所以0<r2.所以建造费用y2rl×34r2c2r××34r2c.因此y4(c2)r2，0<r2.(2)由(1)得y8(c2)r，0<r2.由于c>3，所以c2>0，故当r30，即r 时令 m，则m>0，所以y(rm)(r2rmm2)当0<m<2即c>时，若r(0，m)，则y<0；若r(m,2)，则y>0所以当rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2即3<c时，若r(0,2)时，y<0，函数单调减，所以当r2是函数y的最小值点综上所述，当3<c时，建造费用最小时r2；当c>时，建造费用最小时r .13已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围解(1)根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1；当a0时，f(x)不是单调函数(2)f(2)1，a2，f(x)2ln x2x3.g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g(0)2，由题意知：对于任意的t1,2，g(t)0恒成立，m9.14 设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x>0时，(xk)f(x)x1>0，求k的最大值解 (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)>0，所以f(x)在(，)单调递增若a>0，则当x(，ln a)时，f(x)<0；来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net当x(ln a，)时，f(x)>0，所以，f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x>0时，(xk)f(x)x1>0等价于k<x(x>0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零点，故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)<0；当x(，)时，g(x)>0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()来源:www.shulihua.net又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k<g()，故整数k的最大值为2.高考数学复习精品高考数学复习精品